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ESPERIENZA DI LABORATORIO N.4 - PENDOLO REVERSIBILE

fisica


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ESPERIENZA DI LABORATORIO N.4


PENDOLO REVERSIBILE


L'esperienza di laboratorio ha lo scopo di determinare il punto di reversibilità di un pendolo composto, consistente in una sbarra di lunghezza  l = 0,1322 cm provvista di due coltelli S1 e S2 contrapposti alla distanza d = (0,9939 ± 0,0015) m. La sbarra viene sospesa su un supporto mediante i due coltelli che così costituiscono i due assi di rotazione del pendolo. Sulla sbarra scorrono due dischi metallici di masse m1 = 1,000 kg e m2 = 1,400 kg, che si trovano da parti opposte rispetto al coltello S1 e distanti 21 cm da esso.





Gli strumenti utilizzati nell'esperienza sono:

Pendolo composto costituito da due coltelli

Fotocellula elettronica



I FASE


Nella prima fase dell'esperienza la massa m1 rimane alla distanza fissa di 21 cm dal coltello S1, mentre si fa variare la distanza iniziale di m2 dal coltello S1 di 5 cm in più e 5 cm in meno. Si ottengono così tre punti sperimentali coincidenti con le distanze d1 = 21 cm , d2 = 26 cm, d3 = 16 cm. Grazie al supporto della fotocellula elettrica si compiono 20 oscillazioni intorno ai due coltelli S1 e S2 per tutte e tre le distanze con angolo di partenza pari a 3°.


I valori ottenuti sono stati riportati nelle seguenti tabelle:


Coltello S2

Distanza d1 = 21 cm

Periodi











media


deviazione standard


deviazione standard della media



Coltello S1

Distanza d1 = 21 cm

Periodi











Media


Deviazione standard


Deviazione standard della media




























Coltello S2

Distanza d2 = 26 cm

Periodi











Media


Deviazione standard


Deviazione standard della media


Coltello S1

Distanza d2 = 26 cm

Periodi











Media


Deviazione standard


Deviazione standard della media




Coltello S2

Distanza d3 = 16 cm

Periodi











Media


Deviazione standard


Deviazione standard della media



Coltello S1

Distanza d3 = 16 cm

Periodi











Media


Deviazione standard


Deviazione standard della media







































Con i valori ottenuti possiamo tracciare un grafico costituito da due rette:


la prima formata dalla media dei tempi di oscillazione di tutte e tre le distanze con centro di rotazione coincidente con coltello S1

la seconda formata dalla media dei tempi di oscillazione delle tre distanze con centro di rotazione coincidente con il coltello S2.


Il punto in cui le due rette si intersecano rappresenta una stima del punto di reversibilità del pendolo composto.

Dal grafico si evince che questo punto coincide con la distanza d1 = 21 cm della massa m2 dal coltello S1.




























II FASE


Nella seconda fase dell'esperienza si infittiscono le misure intorno al punto stimato nella prima fase, facendo variare m2 di 1 cm dal coltello S1, in modo da ottenere con maggiore precisione il punto di reversibilità, il quale può o meno coincidere con quello determinato precedentemente.

In questa fase per ogni punto sperimentale consideriamo 40 oscillazioni partendo sempre da un angolo di 3°. Iniziando da d1 = 21 cm, consideriamo le distanze d2 = 22 cm, d3 = 23 cm, d4 = 24 cm e d5 = 20 cm, d6 = 19 cm, d7 = 18 cm.

Otteniamo i seguenti valori riportati in tabelle:

Coltello S2

Distanza d1 = 21 cm

Periodi























Media


Deviazione standard


Deviazione standard della media



Coltello S1

Distanza d1 = 21 cm

Periodi





















Media


Deviazione standard


Deviazione standard della media


















Coltello S1

Distanza d2 = 22 cm

Periodi





















Media


Deviazione standard


Deviazione standard della media


Coltello S2

Distanza d2 = 22 cm

Periodi





















Media


Deviazione standard


Deviazione standard della media






















Coltello S1

Distanza d3 = 23 cm

Periodi





















Media




Deviazione standard


Deviazione standard della media


Coltello S2

Distanza d3 = 23 cm

Periodi





















Media


Deviazione standard


Deviazione standard della media


Coltello S1

Distanza d4 = 24 cm

Periodi





















Media


Deviazione standard


Deviazione standard della media


Coltello S2

Distanza d4 = 24 cm

Periodi





















Media


Deviazione standard


Deviazione standard della media


Coltello S1

Distanza d5 = 20 cm

Periodi




















Media


Deviazione standard


Deviazione standard della media


Coltello S2

Distanza d5 = 20 cm

Periodi




















Media


Deviazione standard


Deviazione standard della media




Coltello S1

Distanza d6 = 19 cm

Periodi























Media


Deviazione standard


Deviazione standard della media


Coltello S2

Distanza d6 = 19 cm

Periodi





















Media


Deviazione standard


Deviazione standard della media


Coltello S2

Distanza d7 = 18 cm

Periodi





















Media


Deviazione standard


Deviazione standard della media































Coltello S1

Distanza d7 = 18 cm

Periodi





















Media


Deviazione standard


Deviazione standard della media






Una volta ottenuti tutti i periodi determiniamo la media, le deviazioni standard e le deviazioni standard della media.

Su un grafico si riportano la media dei periodi e le distanze della massa m2 dal coltello S1.

Quando si compie il best fit di una misura si tende a trascurare l'effetto dell'errore su x, quindi per verificare quale delle due variabile deve essere posta sull'asse delle x bisogna verificare la seguente disuguaglianza:



dove b è la pendenza della retta ottenuta dal grafico considerata con il suo valore assoluto, σmax è il massimo valore della deviazione standard della media e Δy è l'errore sulla variabile posta sull'asse delle y.

Decidendo di considerare la media dei periodi come variabile indipendente e la distanza come variabile dipendente otteniamo il seguente grafico:



Determiniamo la regressione lineare per entrambe le rette:



Serie1











Serie2














Il primo elemento a sinistra della matrice delle regressioni lineare rappresenta la b cioè la pendenza delle due rette.

Conoscendo questo valore si può determinare  per entrambe le rette, e si ottiene:

  • Prima retta: = 363,3 * 0,0001 = 0,04
  • Seconda retta: = 92,2 * 0,0001 = 0,009

Ricordando che Δy = 0,1 cm è l'errore di sensibilità sulle distanze, dovuto allo strumento utilizzato, possiamo osservare che la disuguaglianza è verificata.

Quindi l'ipotesi assunta che la media dei periodi è la variabile indipendente e la distanza la variabile dipendente è giusta.

Poiché sull'asse delle ordinate abbiamo delle misure affette da errore di sensibilità si può semplicemente ricorrere ad un  fit non pesato per determinare le rette dei minimi quadrati.



III FASE


Nell'ultima fase dell'esperienza si vuol determinare il valore dell'accelerazione di gravità

Per prima cosa si nota che nel punto di reversibilità, cioè il punto in cui le due rette sono incidenti, c'è una dipendenza statistica dei parametri in quanto la stima di un parametro influenza la stima degli altri anche se i punti sperimentali sono statisticamente indipendenti.

Si determinano le covarianze per entrambe le rette con la seguente formula:



Dove k rappresenta l'incertezza statistica sulle y, uguale per tutti i punti sperimentali, ottenuto dalla matrice della regressione lineare.


  • La covarianza per la prima retta è cov(a1, b1 ) = -2199,372141
  • Per la seconda retta è cov(a2, b2 ) = -75,07874649

In seguito si determinano le coordinate del punto di intersezione P delle due rette dei minimi quadrati :


per la prima retta

per la seconda retta



determiniamo la con la seguente formula:



e infine la


Per l'accelerazione di gravità si deve usare la formula :


m/s2


Dove l = 0,9939 m  rappresenta la distanza tra i due coltelli S1 e S2.

L'errore su g si determina facendo la derivata della sua equazione rispetto a T ottenendo:


=


Quindi g = (9,797 ± 0,008) m/s2







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