ELETTROSTATICA NEL VUOTO - CARICHE ELETTRICHE, ISOLANTI E CONDUTTORI

Fg= G m1m2

R²

6,67 x 10-11

Un'altra iterazione fondamentale è quella elettromagnetica, di cui un'aspetto particolare è la fo 959e45j rza elettrica.

Oggi attribuiamo le forze in parola a cariche elettriche, che preesistono nei corpi e che passano da un corpo all'altro per strofinio.

I corpi elettrizzati sono detti elettricamente carichi.

I corpi che si caricano per strofinio sono detti isolanti, perché capaci di trattenere la carica elettrica, mentre i corpi che non trattengono carica sono detti conduttori.

Esistono 2 tipi di cariche elettriche, positive e negative:

Due corpi, isolanti, carichi entrambi positivamente o negativamente si respingono.

Un corpo isolante carico positivamente e uno carico negativamente si attraggono.

Nel processo di carica per strofinio, i 2 corpi acquistano sempre una carica di segno opposto.

STRUTTURA ELETTRICA DELLA MATERIA, QUANTIZZAZIONE DELLA CARICA ELETTRICA

La materia stabile che ci circonda, è formata da 3 costituenti fondamentali:

MASSE CARICHE me = 9,11 x 10-31 Kg mp, mn = 1,67 x 10-27 Kg

elettrone e;

protone p;

neutrone n.

La carica elettrica dell'elettrone, è la più piccola osservata sperimentalmente; essa è chamata CARICA ELEMENTARE, ed è indicata con e.

Il protone ha carica +e, ugual in valore assoluto a quella dell'elettrone;

Il neutone invece ha carica elettrica nulla (è neutro).

Tutte le particelle subatomiche osservate, hanno una carica che, in valore assoluto, è uguale alla carica elementare, oppure è multipla intera di queste.Quindi la carica è una GRANDEZZA QUANTIZZATA.

I tre costituenti si aggregano in strutture chiamate atomi, la cui composizione è espressa da due numeri:

- NUMERO ATOMICO Z = numero di protoni ed elettroni nell'atomo

- NUMERO DI MASSA A = Z + N = numero di protoni + numero di neutroni.

Dato che il numero di protoni in un atomo è uguale al numero di elettroni, la carica elettrica totale, somma delle singole cariche, è nulla, e l'atomo è neutro.

Le proprietà elettriche di un atomo, sono descritte dal numero atomico z.

In conclusione, un processo di carica per strofinio, è un processo in cui vengono separate, attraverso un agente meccanico, delle cariche (elettroni) e trasferite da un corpo all'altro.

La carica trasferita, può assumere solo valori mutipli interi della carica elementare, in accordo col fatto che LA CARICA ELETTRICA E' QUANTIZZATA.

Questo risponde al principio di conservazione della carica: IN UN SISTEMA ELETTRICAMENTE ISOLATO, LA SOMMA ALGEBRICA DI TUTTE LE CARICHE RIMANE COSTANTE NEL TEMPO, CIOE' SI CONSERVA.

FENOMENO DI IONIZZAZIONE

Quando ad un atomo sono aggiunti o tolti elettroni, si trasforma rispettivamente in uno IONE NEGATIVO, o uno IONE POSITIVO. Il fenomeno è detto IONIZZAZIONE.

LEGGE DI COULOMB

Il confronto tra 2 cariche diverse in modulo, può diventare quantitativo solo se si conosce l'espressione della forza con cui interagiscono le carche elettriche.

La formulazione precisa, della forza elettrica è dovuta a Coulomb. Egli stabilì che 2 cariche puntiformi, q1 e q2, poste a distanza r, interagiscono con una forza f diretta secondo la loro congiungente, di modulo:

F = K q1q2 ( in Newton)

R²

La forza cioè è direttamente proporzionale alle cariche, e inversamente proporzionale al quadrato della distanza.

(La struttura della legge di Coulomb è uguale a quella della forza gravitazionale).

K dipende dalla scelta delle unità di misura, e dal mezzo in cui le cariche sono immerse (il vuoto o un dielettrico).

Come unità di carica si è poi definito il Coulomb (C), che è pari alla carica trasportata da una corrente di 1 Ampere in un secondo.

Quindi:

K= 8,9875 x 10⁹ Nm²

C

Costante dielettrica a (o percettività) del vuoto, e ha il valore 8,86 x 10-12 C2 Nm2

Per comodità è meglio esprimere K come:

K= 1

Il valore della carica elementare espressa in Coulomb risulta:

qe = 1,6022 x 10^{-19 C}

da cui 1 C = 1 = 6,24 x 10¹⁸ elettroni

e

DIFFERENZA TRA LA FORZA DI NEWTON E QUELLA DI COULOMB

La legge di Newton si può applicare a tutti i corpi esistenti in natura perché hanno certamente massa; Coulomb si può applicare solo a corpi con carica;

La grandezza tra le 2 misure è molto diversa G<<K;

Mentre la forza di Newton è solo attrattiva, la forza di Coulomb sia attrattiva che repulsiva.

FORMA VETTORIALE DELLA LEGGE DI COULOMB

F = 1 q1q2 û versore di r, che và da q1 a q0

4∏ R²

Se qo e q1 hanno lo stesso segno, (q1q0>0) la forza ha lo stesso verso di û, è cioè repulsiva.

Se q0 e q1 hanno segno opposto ( q0q1<0) F ha verso opposto ad û, è attrattiva.

In accordo al principio di azione e reazione, la forza che qo esercita su q1 è F.

CAMPO ELETTROSTATICO

Per campo si intende un insieme di valori assunti da una grandezza fisica in uno spazio.

La grandezza vettoriale E = lim F viene chiamata CAMPO ELETTROSTATICO.

q 0 q0

E ed F sono paralleli e concordi.

Il campo elettrostatico E, generato in un punto dello spazio da un sistema di cariche ferme, è definito come la forza elettrica risultante F che agisce su una carica di prova q0 positiva, posta in quel punto divisa per la carica q0 stessa.

UNITA' DI MISURA: N

C

Nei casi concreti, la carica di prova q0 può perturbare la distribuzione originale, per cui la definizione di campo sarebbe più precisa se    q 0 in modo da far scomparire la perturbazione.

Per cui q0<<q.

CAMPO ELETTROSTATICO PRODOTTO DA UNA CARICA PUNTIFORME Q1 NEL PUNTO P.

E = 1 q1 û

4∏ R²

Se q1 è positiva il campo è uscente da q1, viceversa è entrante.

In accordo con il principio di sovrapposizione, il campo generato da un sistema di cariche puntiformi:

E = i 1 q1 û

4∏ R²

Fissato un sistema di cariche, si può associare ad ogni punto P (x,y,z,) un valore del campo elettrostatico E(x,y,z), indipendentemente dalla carica di prova q0.

Se q0 viene posta in P, risente della forza:

F(x,y,z)= q0 E (x,y,z)

Diciamo che il sistema di cariche è la sorgente del campo elettrostatico E: la carica q0 interagisce con queste subendo la forza F; l'azione elettrica tra cariche, che è un'azione a distanza, avviene attraverso il campo.

CAMPO ELETTROSTATICO PRODOTTO DA UNA DISTRIBUZIONE CONTINUA DI CARICHE

Se la distribuzione di cariche è continua, il campo elettrostatico che essa crea, in un punto P si può ottenere dividendo la carica in elementi infinitesimi dq.

Si ottiene: dE= dq û

4∏ R²

Il campo elettrostatico risultante in P si calcola ricorrendo al PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE, poiché la somma è estesa ad un numero infinito di contributi infinitesimi, essa si riduce ad un integrale vettoriale esteso a tutta la distribuzione continua:

E = 1 ∫ dq

4∏ R²

APPLICAZIONI

Calcolare il campo generato da un anello di raggio R lungo il suo asse.

+q

In questo caso, non possiamo usare Gauss perché non c'è un volume che lo racchiude e che gode di una particolare simmetria.

Prendiamo un pezzettino dl sulla circonferenza:

dq = λdl

Definiamo una densità di carica lineare = q

2∏R

In questo caso possiamo fare così perché q è uniforme su tutta la circonferenza.

_^

dE = dq r

r²

_^

E = dq r questo però è un vettore.

C r²

La figura, nonostante tutto, ha alcune simmetrie:

Consideriamo 2 elementi dl di anello, diametralmente opposti, nei punti dell'asse si ha che le componenti lungo l'asse z si sommano, mentre le componenti lungo gli altri assi si elidono.

dEz = dE cos α = dq cos α

4∏є0

Il campo elettrostatico risultante nei punti dell'asse è parallelo all'asse e si calcola integrando la componente u di ciascun elemento dl:

Ez ∫ λ cos α dl

l 4∏є0 r²

Al variare della posizione di dl sull'anello, il raggio e l'angolo rispetto all'asse z restano costanti, quindi posso portarli fuori l'integrale:

	è l, quindi 2∏r

Ez= = λ cos α dl = λ 2 r cos α = q cos α

4∏є0 r^{2 l} 4∏є0 r² 4∏є0 r²

			è uguale a q

Questo è il campo calcolato lungo l'asse z; se vogliamo il campo totale, abbiamo E= Ez k

Però r = √R² + x²

cos α = z , per cui sostituiamo:

R² + z²

Ez = q z u_x Campo generato da un anello

4 0 (R² + z²) ^3/2

Se z tende ad infinito, ci sembra che l'anello sia una carica puntiforme, infatti anche nella formula:

Ez = q z u_x

4∏є0 (R² + z²) ^3/2

Se z>>R, R è trascurabile. Con le semplificazioni, esce il campo di una carica puntiforme:

E = q u_x

4∏ 0 x²

Campo prodotto da un disco

Noi sappiamo che il campo prodotto da un anello è:

Ez anello = q z u_x

4∏є0 (R² + z²) ^3/2

E = 1 σ r ds

4∏є0 r²

Qualsiasi sia la distribuzione di carica, questo è il campo.

Per risolvere l'integrale, posso scegliere un quadratino, oppure posso scegliere qualsiasi altra forma infinitesima. Posso anche vedere il disco come una serie di infiniti anelli concentrici.

Ez anello = q z u_x

4∏є0 (R² + z²) ^3/2

Dobbiamo scrivere questo campo per il disco.

dq = σ 2Πr dr

σ = q

ΠR²

La somma degli anelli, produrrà il campo lungo l'asse z.

dEz disco = dq z .

4∏є0 (z² + r²)^3/2

Ez disco, sarà l'integrale di questo:

Ez disco = z σ 2∏r dr

^disco 4∏ є0 (z² + r²)^3/2

Questo è l'integrale per gli infiniti dr. Ogni volta che cambiamo dr, la z non cambia. Cambia il raggio, ma il punto di osservazione z è costante.

Quindi:

_R

Ez disco = 2∏ σ z r dr -σ ( 1 - z )

4∏ є0 ⁰ (z² + r²)^3/2 2 є0 ^√ z² + r²

Posso usare questa formula anche per calcolare un campo generato da un piano infinito di carica (può essere anche un disco infinito).

E(z) = . σ ( 1 - z ) K

2є0 (z² + r²)

La z si trascura, perché r>>z. r è infinito, quindi sarà z/∞ , che corrisponde ad un numero su infinito, che fa 0. Quindi il risultato è:

.E = σ . campo generato da un piano infinito di carica.

2є0

Naturalmente, abbiamo posto z>0. Se invece z era minore di 0, basta cambiare il segno alla

definizione di campo.

LINEE DI FORZA DEL CAMPO ELETTROSTATICO

Una carica di prova posta in un qualsiasi punto del campo, risente della forza attribuita all'interazione con il campo elettrostatico. Partendo da una generica posizione e muovendosi per tratti infinitesimi successivi, si ottiene una linea che è detta LINEA DI FORZA o LINEA DI CAMPO. In ogni suo punto tale linea per definizione è tangente al campo e il suo verso di percorrenza indica il verso del campo. Tracciando un certo numero di linee di forza si ha una rappresentazione grafica complessiva del campo in tutto lo spazio.

PROPRIETA' DELLE LINEE DI CAMPO

una linea di forza in ogni suo punto è tangente e concorde al camp in quel punto;

le linee di forza si addensano dove l'intensità del campo è maggiore.

Le linee di forza non si incrociano mai;

Le linee di forza hanno origine dalle cariche positive e terminano in quelle negative; qualora ci siano solo cariche di uno stesso segno, le linee di forza si chiudono all'infinito.

Nel caso di cariche di segno opposto, ma eguali in modulo, tutte le linee che partono dalle cariche positive, si chiudono in quelle negative, alcune passando eventualmente per l'infinito. Se le cariche non sono eguali in modulo, alcune linee terminano o provengono dall'infinito.

Un campo elettrostatico uniforme è rappresentato da linee parallele (costanza di direzione e verso) ed equidistanti (costanza del modulo). Tali sono le linee del campo elettrostatico di un piano indefinito uniformemente carico.

PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE

Le forze elettriche agenti su una carica q0 dovute alle cariche circostanti si sommano come vettori, vige cioè il principio di sovrapposizione. Consideriamo tre cariche puntiformi, fisse in un sistema di riferimento inerziale q0 q1 q2. La carica q1 esercita separatamente la forza F1 su q0 e la carica q2 esercita la forza F2. quando entrambe le cariche sono presenti, la forza F su q0 è data dalla somma vettoriale delle due forze.

MOTO DI UNA CARICA IN UN CAMPO ELETTROSTATICO.

Se una carica q e immersa in un campo elettrostatico generato da un sistema di cariche ferme, essa è sottoposta ad una forza F=qE. La legge della dinamica di Newton, in condizioni non relativistiche si scrive:

qE=ma a= d²r = qE

dt² m

Se E è uniforme, (cioè costante in modulo e direzione), l'accellerazione a è una costante del moto = se q è positiva l'accelerazione sarà nel verso di E, se la carica q è negativa sarà nel verso opposto.

DENSITA' DI CARICA

Ci sono tre tipi di densità diverse:

1 Densità lineare.

Siamo in caso di densità lineare ad esempio in presenza di un filo.

λ = dq → dq= λdl → q= ∫λdl

dl

2 Densità superficiale

Siamo in caso di densità superficiale ad esempio in presenza di un foglio.

σ = dq → dq= σds → q= ∫σds

ds

3 Densità volumetrica

Siamo in caso di densità volumetrica ad esempio in presenza di un corpo esteso tridimensionale.

ρ= dq → dq= ρ dV → q= ∫ ρdV

dV

CONVENZIONE DI FARADAY

Faraday usò una convenzione per ci permette di indicare l'intensità di un campo.

n

Egli stabilì che data una superficie, dipende dalla posizione in cui lo poniamo, le linee di forza che ha.

Quindi data la normale alla superficie analizziamo l'angolo che si forma con la linea di campo, e da questo capiamo da quante linee è attraversato, quindi capendo l'intensità.

Il numero delle linee di forza in una superficie è:

Ntot = Σ ΔNi = Σ E ΔS

Ntot = ∫E ds