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Formulario di Comunicazioni Elettriche

elettronica


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Probabilità di A dato B

detta  una partizione di

    Teorema della probabilità totale

Formula di Bayes per passare dalla priorità a priori a quella a posteriori

Formula di Bernoulli di  successi su  eventi

Funzione di distribuzione cumulativa o ripartizione di probabilità

       Proprietà          1) è non decrescente      2) è continua a destra



                                                           3)       4)

                                                           5)                        6)

Probabilità di trovarsi in un intervallo

Funzione densità di probabilità

          Proprietà          1)                            2)

                                                           3)

Densità normale

                                                                         

Densità normale o gaussiana (usata per modellare il rumore).

                                                                                 

                                                                                 

                                                                                                       

                                                                                                            

                                                                                                                        

Distribuzione di Laplace che modella il segnale vocale

                                                                                                        

Distribuzione esponenziale che modella i guasti

                                                          

Distribuzione binomiale

=# successi in un esperimento bernoulliano di  prove

Distribuzione geometrica

=# di volte che devo eseguire un esperimento per avere successo

Media o valore atteso o momento del primo ordine 444c24e

      se continua                                 se discreta

in generale

Si definisce la varianza come la differenza tra il valore quadratico medio e la media quadratica

Funzione di distribuzione cumulativa congiunta

Le distribuzioni marginali si ricavano come segue

    

Densità di probabilità congiunta

se  ed  sono statisticamente indipendenti

TEORIA DELL'INFORMAZIONE

quantità di informazione associata al simbolo  e si misura in bit

Entropia di informazione

          l'uguaglianza vale solo nel caso di equiprobabilità

Un codice è univocamente decodificabile e non viola la regola del prefisso e vale la disuguaglianza di Kraft

# medio di bit

 se  ossia se il # di bit del simbolo  è proprio

TEORIA DEI SEGNALI

 con supporto

si dice che  è ortogonale a  se

con   detta simbolo o delta di Kronecker

se  allora le  si dicono ortronormali

Un segnale  ad energia finita o a potenza media finita definito su si può rappresentare su  come combinazione lineare dei segnali  come segue

       con 

Considerazioni energetiche

       ove

Un insieme di segnali è completo se l'errore quadratico medio è nullo, in formule

Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt

Si parte da un insieme generico di segnali  a supporto su

Si definiscono i segnali  e i segnali  che sono rispettivamente i segnali ortogonali e ortonormali.

1° segnale)                                     

2° segnale)                                         

                        dove     è la proiezione di  su

° segnale)                                   

                        dove      è la proiezione di  su

SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER

 segnale ad energia finita o a potenza media finita su

sia  la base di Fourier, allora  si può scrivere come segue

               con          si ricorda che

se  è reale il suo sviluppo in serie è reale e i coefficienti sono generici con

se  è reale e pari il suo sviluppo in serie è reale e anche i coefficienti, dove

se  è reale e dispari il suo sviluppo in serie è reale e i coefficienti immaginari puri, dove

per l'energia del segnale si ha  

TRASFORMATA DI FOURIER

                     

Proprietà della Trasformata di Fourier F

F

F

F

F

F

F

F

F

Se  è reale pari  è reale

Se  è reale dispari  è immaginaria pura

ALCUNE IMPORTANTI RELAZIONI

Definizioni della  di Dirac:                                                   

                                                                     

                                                                                                 

Prodotto di convoluzione

Energia di un segnale  definito su         



Densità spettrale di energia :

Teorema di Parseval (per i segnali ad energia finita e a potenza media finita) che mi dice che trasformando o sviluppando in serie di Fourier io non perdo alcuna informazione sul segnale

    oppure            

Formulazione generale del Teorema di Parseval per segnali ad energia finita (o periodici a potenza media finita)

    se   allora  

Potenza media (normalizzata) di un segnale

Spettro di potenza o densità spettrale di potenza

              è reale, non negativo e pari

                   potenza normalizzata

Se  è periodico si può scrivere come

    e         

posto                   allora  

quindi    da cui  

allora la potenza di  si esprime come       

ed il suo spettro di potenza come        

Definizioni di decibel

Se la grandezza in esame è una potenza allora il decibel è

Se la grandezza in esame è una tensione o una corrente allora il decibel è

Si definisce decibel al milliwatt

Formula trigonometrica di Eulero        

TEORIA DEI SISTEMI

Un sistema è lineare se ad una combinazione lineare degli ingressi corrisponde una combinazione lineare delle uscite.


Un sistema si dice tempo invariante o invariante per traslazioni temporali se l'uscita  ritardata di una quantità  coincide con l'uscita  ottenuta inviando in ingresso il segnale  ritardato della stessa quantità.


La risposta all'impulso caratterizza un sistema LTI (Linear Time Invariant)

             dove è la risposta del sistema LTI quando all'ingresso c'è

facendo la trasformata di Fourier

                dove    è detta funzione di trasferimento

Densità Spettrale di Energia dell'ingresso

Densità Spettrale di Energia dell'uscita

Un sistema LTI è non distorcente se il modulo dell'uscita è costante e la fase varia in maniera lineare con

Scritto                 lineare con                lineare con

PROCESSI CASUALI

Stazionario dell' ordine

Stazionario del primo ordine

Un processo casuale (p.c.) che dipende dal tempo in maniera periodica è detto ciclostazionario

Media temporale di un p.c.

p.c. stazionari

 

Media statistica o media di insieme di un p.c.

p.c. ergodici

 
Se un p.c. stazionario è tale che  il processo si dice ergodico

Funzione di autocorrelazione

se il p.c. è stazionario del secondo ordine la media congiunta non dipende dal tempo, posto

Spettro di potenza di un segnale numerico sotto l'ipotesi di stazionarietà

           con   e  simbolo

POSSIBILI FORME D'ONDA ELEMENTARI

NRZ (non return to zero)


                                                           NRZ unipolare

                                                           NRZ antipodale

RZ (return to zero)       è detto duty cycle


                                                           RZ unipolare

                                                           RZ antipodale

PARAMETRI CHE CARATTERIZZANO UN SISTEMA DI TRASMISSIONE

        è la velocità di trasmissione espressa in

        è la velocità di segnalazione espressa in

        è la banda (unilatera) occupata dal segnale       espressa in

è l'efficienza espressa in

SEGNALE

NRZ binario

==

1

RZ (50%) binario

==




0,5

NRZ quaternario

==

2

                                                                                                         

INTERFERENZA INTERSIMBOLICA (ISI)

                                                                                 

                                   posto                  segue  

                                   detto  l'istante di campionamento    

Distorsione di picco

           con : è minima. Bisogna che  altrimenti si hanno errori sistematici

Primo teorema di Nyquist che ci dice come deve comportarsi la trasformata di Fourier di un segnale elementare affinché questo segnale elementare ci assicuri ISI nulla.

       dove  è il segnale elementare

SEGNALE A COSENO RIALZATO

      con  e

graficamente:

 è la banda minima

 inizio e fine raccordo

 banda totale (unilatera)

Coefficiente di ROLL-OFF

       rapporto tra la banda aggiuntiva  e la banda minima richiesta

se  è zero mi trovo nel caso di una porta e non ho banda aggiuntiva, se  è uno vuol dire che ho

quindi . Conoscendo  si calcola  come

            detta  la velocità do segnalazione in  e  segue

 ossia  e se ho una banda , siccome  segue che  

IL RUMORE

Sia  un p.c. stazionario, ergodico, gaussiano, la densità spettrale del suo valore quadratico medio vale

          con  in ,  è la costante di Plank

                                                            è la costante di Boltzman

Se ci si trova ad operare con  e  allora l'espressione del valore quadratico medio di  si approssima come

 è la potenza disponibile (siamo in situazione di adattamento) che si distribuisce a valle e vale

 (N.B. la resistenza non ha pedice perchè siamo in adattamento)

La densità spettrale della potenza di rumore termico disponibile di una resistenza

a vuoto sarà

  con      che è la potenza di rumore

CIFRA DI RUMORE

Il sistema è lineare e supponiamo il guadagno  costante

Notare che  è costante perchè generato internamente al bipolo.

Integrando sulla banda si ha per  la seguente espressione

        dove  è la potenza di rumore disponibile all'uscita.

Nel caso in cui il doppio bipolo fosse una linea si ha che ,ossia la cifra di rumore coincide con l'attenuazione della linea.

Riepilogando:la cifra di rumore è il rapporto tra la densità spettrale della potenza di rumore all'uscita del doppio bipolo e la densità spettrale della potenza di rumore alluscita del doppio bipolo ne caso che il doppio bipolo non introduca rumore.

 questa è la definizione operativa di cifra di runore.

Temperatura equivalente DI RUMORE

 per convenzione.

Si ha

Essendo  il termine che tiene conto della generazione interna

di rumore del doppio bipolo. Si vede facilmente che

 e che

Cifra di rumore equivalente e temperatura equivalente di una cascata di  doppi bipoli

CANALE HERTZIANO

La potenza ricevuta è

Con     guadagno dell'antenna ricevente e  guadagno dell'antenna trasmittente

             guadagno di propagazione nello spazio libero

             potenza trasmessa

             è la lunghezza d'onda ed  è la frequenza a cui stiamo operando

             è la distanza tra le due antenne

Detta  la densità spettrale della potenza di rumore disponibile all'ingresso di un canale, la densità spettrale della potenza di rumore disponibile all'uscita dello stesso canale sarà

Ossia

Un processo casuale gaussiano è detto bianco o non colorato, quando non dipende dalla frequenza, ossia quando la sua densità spettrla edi potenza è costante e vale per convenzione , il fattore ½ tiene conto del fatto che le bande in genere sono unilatere.Con

PROBABILITA' DI ERRORE SUL SIMBOLO E SUL BIT (2-ASK, BPSK, 2-PSK)

Detta  la quantità in figura, la probabilità di errore di un simbolo vale



CASO NRZ ANTIPODALE BINARIO

      con  banda del segnale (unilatera) ed  come già definito

Si ha  dove  è il rapporto segnale rumore  (all'uscita). Se il segnale è binario si ha , ossia la probabilità di errore sul simbolo coincide con quella sul bit, quindi  e  con . Si userà l'espressione più adatta in base al contesto.

0

 
CASO NRZ UNIPODALE BINARIO

      con  banda del segnale (unilatera) ed  come già definito

A

 


Si ha  dove  è il rapporto segnale rumore  (all'uscita). Siamo nel caso di segnale è binario.

Notare che a  causa della presenza della  nel mezzo della banda l'energia del segnale è dimezzata.

FILTRO ADATTATO (esalta il segnale ma non il rumore)

Sia  un segnale ed  un p.c. (rumore)

Le ipotesi sono:

1)                  è limitato nel tempo, es.

2)                  è nota

Segue che il filtro adattato ha la seguente Funzione di Trasferimento (FdT)

              Si ha  dove

Quindi utilizzando un filtro adattato ho un guadagno di , perché a parità di probabilità uso metà energia ovvero a parità di energia dimezzo la probabilità di errore.

4-ASK

Probabilità di errore sul simbolo in una costellazione equispaziata (indipendente dal segnale elementare).

Per i segnali alle estremità vale  (una sola coda accavallata)

Per i segnali centrali invece vale  (entrambe le code accavallate)

La probabilità media vale invece , in generale, con costellazioni equispaziate di  simboli si ha . La probabilità di errore sul bit si ricava, nota , come , con  numero dei simboli.

Probabilità di errore sul simbolo in una costellazione equispaziata (segnale NRZ antipodale).

Fissata l'origine tra  ed , l'energia media , da cui  e quindi .

Siccome  e  si ha.

INVILUPPO COMPLESSO

, con  pulsazione istantanea,  segnale modulato, reale, la cui  è centrata in 0

La densità spettrale di potenza di  si può scrivere come

, notare che  può essere complesso

MODULAZIONE DI AMPIEZZA

                                       :segnale modulante.

                  :segnale di portante

           :segnale modulato

In questo caso  e quindi

Efficienza .            Per l'utilizzo di un demodulatore coerente deve essere

PROBABILITA' DI ERRORE DI UN 4-PSK

Detta  la probabilità di errore sul simbolo e sul bit di un BPSK si ha in generale

                       

ma se il demodulatore del 4-PSK è composto di due demodulatori BPSK indipendenti si ha:

                                 e quindi il BPSK ed il 4-PSK hanno la stessa probabilità di errore sul bit.

PROBABILITA' DI ERRORE DI UN 16-QAM

NUMERO MEDIO DI RITRASMISSIONI IN UN SISTEMA CON CRC

     dove  indica la probabilità di ritrasmettere

PCM

Canale BSC con probabilità di errore , quantizzatore con  bit

Livelli di quantizzazione

       passo di quantizzazione

     potenza associata all'errore di quantizzazione

      potenza di segnale all'uscita del quantizzatore

       rapporto segnale rumore all'uscita del quantizzatore, numero puro

             rapporto segnale rumore all'uscita del quantizzatore in

              rapporto segnale rumore all'ingresso del quantizzatore, numero puro

      potenza associata all'errore sul bit in trasmissione

            rapporto segnale rumore massimo all'ingresso del ricevitore

      rapporto segnale rumore medio all'ingresso del ricevitore

in  ed in corrispondenza di  vale

          relazione tra massimo e medio

    rapporto segnale rumore sul bit all'uscita del canale BSC

                        rapporto segnale rumore sul bit all'uscita del canale BSC in

 è la probabilità di soglia che si ricava ugluagliando  e  ottenendo

      valore della probabilità di soglia

       è il numero massimo di bit del quantizzatore per un afissata

Dato il guadagno  in , allora si può scrivere


Se  aumenta  si sposta a sinistra e viceversa.

Rapporto segnale rumore all'ingresso del ricevitore                   dove:

         è la costante di Boltzmann

        è la potenza di segnale all'ingresso della linea

        questo fattore è dovuto alla modulante che è una sinusoide

Il rapporto segnale rumore all'uscita del demodulatore raddoppia o in  si somma 3







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