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Relazione della conferenza sul calcolo combinatorio

matematica


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Relazione della conferenza sul calcolo combinatorio

La conferenza si è divisa in cinque parti:

  1. insiemi finiti e infiniti;
  2. permutazioni di un insieme finito;
  3. combinazioni semplici;
  4. disposizioni;
  5. combinazioni con ripetizione.

1.      Gli insiemi finiti e infiniti.

E' stato il punto di partenza del professore per introdurre poi tutto il suo discorso: prima di poter calcolare quante combinazioni 454f54e o permutazioni di oggetti possiamo avere, dobbiamo sapere con che insiemi stiamo lavorando.

Gli insiemi si possono distinguere in infiniti (l'insieme dei numeri naturali oppure i punti di una circonferenza) e finiti (le persone presenti in un'aula oppure le aule di una scuola). Ovviamente se dobbiamo calcolare un numero che tiene conto di tutte le possibili relazioni tra gli elementi dell'insieme considerato, dovremo assolutamente lavorare con un insieme finito (cioè che è possibile elencare i suoi oggetti e ad un certo punto bisogna fermarsi perché si sono finiti gli oggetti).

2.      Le permutazioni di un insieme finito.

Nelle permutazioni semplici non contano gli oggetti che compaiono, bensì l'ordine in cui si trovano questi elementi: se consideriamo i simboli delle carte da poker la permutazione C Q F P viene considerata differente da C F Q P.

Quindi se consideriamo n posti (dove n rappresenta il numero di elementi da permutare) in cui posizionare gli n elementi di cui disponiamo, all'inizio possiamo scegliere fra n oggetti; per posizionare il secondo possiamo scegliere fra n-1 oggetti. finché arriviamo a n-(n-1)=1. Da questo ragionamento si può allora trarre anche la formula generale per calcolare le permutazioni di n elementi: Pn = n!.

3.      Le combinazioni semplici.

In questo caso i gruppi di elementi che andremo a formare si differenzieranno solo per qualche elemento e l'ordine in cui li posizioneremo non avrà alcuna importanza: se consideriamo ancora l'insieme dei segni delle carte da poker si avrà che la combinazione Q F P è uguale alla combinazione F Q P.

Le combinazioni semplici di n elementi di classe k si scrive: Cn,k ;e la formula per calcolarle è: (n!):[k!(n-k)!].

4.      Le disposizioni semplici.

Le disposizioni semplici di n elementi presi a k a k non sono altro che i gruppi dove si contano k elementi scelti tra gli n dell'insieme considerato.

Ogni gruppo si differenzia dagli altri per l'ordine dei suoi elementi o per gli elementi che compaiono.

Per ricavarne la formula bisogna rifarsi all'esempio fatto per le permutazioni: il primo elemento lo posso scegliere fra n elementi; il secondo fra n-1; questa volta però ci fermeremo all'elemento che occupa il k - esimo posto (cioè l'ultimo) e che potrà essere scelto fra n-(k-1) elementi. Pertanto la formula sarà: Dn,k = n(n-1)(n-2).[n-(k-1)].

5.      Le combinazioni con ripetizione.

Come i gruppi delle combinazioni semplici anche quelli delle combinazioni con ripetizione si differenziano tra loro per qualche elemento.

Questi gruppi si possono indicare anche con: CIn,k ; e per trovare il numero dei possibili gruppi di n oggetti di classe k bisogna rifarsi alla formula delle disposizioni e delle permutazioni, infatti dobbiamo calcolare le disposizioni semplici dove il numero degli elementi è dato dalla somma di n e k-1; e di classe k. Tutto questo va diviso per le permutazioni dove n=k. Da questo deriva la formula: CIn,k = D(n+k-1),k : Pk.







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