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La Proporzionalità

matematica


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La Proporzionalità

La Proporzionalità

Prima di impostare il concetto di "grandezze proporzionali", bisogna conoscere la definizione di "grandezze omogenee".

Due grandezze si dicono omogenee se sono confrontabili (uguali, maggiori o minori) e sommabili.

Esempio:

Due o più segmenti sono omogenei perché

Confrontabili e sommabili.

Anche due 939f51j angoli lo sono.



Grandezze Proporzionali

Date 4 grandezze, A,B,C,D a due a due omogenee si dice che esse sono in proporzione se

A:B = C:D.  (ricorda che: Il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi!)

Teorema del quarto proporzionale

Date 3 grandezze A,B,C omogenee esiste ed è unica la grandezza D tale che A:B = C:D.

Grandezze direttamente proporzionali

Due insiemi di grandezze si dicono direttamente proporzionali se il rapporto tra due grandezze nel primo insieme è uguale al rapporto delle corrispondenti grandezze nel secondo insieme.

Esempio:

Insieme 1:                                                                                                  Insieme 2:


Il primo quadrato è di lato uno, mentre il secondo di lato 3. Quindi, il perimetro del primo sarà 4 mentre del secondo 12.

Il rapporto sui lati, è di 1:3

Il rapporto sui perimetri è di 4:12 (1:3)  quindi:  le due grandezze sono direttamente proporzionali.

Grandezze inversamente proporzionali

Due insiemi di grandezze si dicono inversamente proporzionali quando il rapporto tra 2 grandezze nel primo insieme è uguale al rapporto inverso delle corrispondenti grandezze nel secondo insieme.

Esempio:

Insieme 1:                                                                                                   Insieme 2:


                              

Il Primo triangolo ha altezze 2 e base 3. Il secondo base 6 e altezza uno.

Il rapporto tra le basi: 3:6 (1:2)

Il rapporto tra le altezze: 2:1

Nota che: il rapporto delle basi è l'inverso delle altezze!




Criterio generale di proporzionalità diretta

Condizione Necessaria e Sufficiente (C.N.E.) affinché due insiemi di grandezze si dicano direttamente proporzionali è che si verifichino le seguenti proprietà:

1)      A grandezze uguali nel primo insieme corrispondono grandezze uguali nel secondo insieme

2)      A somme di grandezze nel primo insieme corrispondono le corrispondenti somme nel secondo insieme

Esempio:

Insieme 1:                                                                              Insieme 2:

                                                                  A

                                                                  

                                                 C                           B

                                                                  D                                       

AB (arco) = CD (arco)      come       AOB (angolo) = COD (angolo)

AB (arco) + BD (arco) = AD (arco)      come      AOB (angolo) + BOD (angolo) = AOD (angolo)

Il criterio generale è soddisfatto poiché tutte e due le condizioni sono verificate.

Esempio 2: ( il criterio in questo caso non è soddisfatto)

Insieme 1:                                                                                                    Insieme 2:

                                                               A         B

                                                          C                  D

AC (corda) = BD (corda)        come         BD (arco) = AC (arco)

AC (corda) + CD (corda) =  AB (corda)        ma   AC (corda) + BD(corda) = ??







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