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INTEGRALI - FORMULE

matematica


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INTEGRALI

INTEGRALI

Calcoliamo integrali solo relativamente a un D costituito da un intervallo, una semiretta oppure tutto R (senza buchi). Il simbolo:


f (x) dx

rappresenta l'integrale indefinito di f (x) ossia l'insieme di tutte le funzioni la cui derivata f (x) che si dicono le sue primitive.

F (x) primitiva di f (x) se e solo se F' (x) = f (x)

Se l'intervallo [a , b] tutto 636d39g contenuto in D, il simbolo:

b

f (x) dx

a

rappresenta l'integrale definito di f (x) in [a , b] ossia la somma algebrica delle aree delle parti di piano comprese tra l'asse x, il grafico di f (x) e le rette verticali x = a e x = b; prendiamo con segno positivo le aree che si trovano al di sopra dell'asse x e con segno negativo quelle che si trovano al disotto.

Il teorema fondamentale del calcolo integrale dice:

b

f (x) dx = F (b) - F (a)

a

dove F (x) una qualsiasi primitiva di f (x).

Per calcolare l'area sottesa del grafico della funzione f (x) in [a , b] (considerando cio con segno positivo anche le aree delle parti del piano al disotto dell'asse x), necessario individuare i punti in cui f (x) si annulla, calcolare l'integrale separatamente su ciascun pezzo di [a , b] in cui f (x) ha segno costante, e infine sommare i loro valori assoluti (ossia cambiando segno all'integrale quando f (x) negativa).

FORMULE

Nel seguito a , b sono n fissati, c una costante che pu assumere qualsiasi valore, f (x), g (x) sono funzioni e F (x), G (x) sono loro primitive, ossia F' (x) = f (x), G' (x) = g (x).

RIEPILOGO DELLE PRINCIPALI FORMULE SUGLI INTEGRALI:

1.      Integrazione di somme e di prodotti per costanti:

(a f (x) + bg (x)) dx = a f (x) dx + b g (x) dx

2.      Integrazione per sostituzione:

f (g (x)) . g' (x) dx = F (g (x)) + c

3.      Integrazione per parti:

f (x) . G (x) dx = F (x) . G (x) - F (x) . g (x) dx

Esempio 1: Casi importanti relativi alla formula 2.


                    f (ax + b) dx = 1/a F (ax + b) + c


                    f (x) . f '(x) dx = (f (x))2 + c

Esempio 2: Casi importanti relativi alla formula 3.

        Se n un n intero positivo e f (x) una delle funzioni ex, cos (x), sin (x) allora:


f (x) . xn dx = F (x) 2 . xn - F (x) . nxn-1 dx

permette di trasformare l'integrale iniziale in uno pi semplice.

        Per ogni esponente α Є R (α ≠ -1) si ha:


xα + 1 xα xα + 1 xα + 1

xα . ln (x) dx = . ln (x) - dx = . ln (x) - + c

α + 1 α + 1 α + 1 (α + 1)2

xα + 1 1

ponendo f (x) = xα e G (x) = ln (x) e F(x) . g (x) = .

α + 1 x



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