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STATICA: Regole generali di teoria - Vettori e Forze, Vincoli

architettura


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                STATICA: Regole generali di teoria

Vettori e Forze

L'efficacia meccanica della F nel muovere orizzontalmente un corpo dipende dalla direzione della F. Più vicina è all'orizzontale, maggiore è il rendimento.

-         COMPONENTI di una forza. Una F formante un angolo a con l'asse x, ha componente cartesiana lungo tale asse data da: 

Fx =F*   cos a



La componente cartesiana lungo y è :

                                                Fy =F*  cos b =F* sen  a        ( b complementare a)

Se  a  è acuto Fx è positiva, se  a  è ottuso Fx è negativa.      

-  RISULTANTE di una forza.

Se più forze sono applicate contemporaneamente al punto materiale, il loro effetto meccanico è lo stesso di quello provocato da un'unica forza R  di direzione e modulo opportuni.

Componenti cartesiane di R  . Note le componenti di ciascun vettore le componenti della R sono:

                        Rx =  Svx

                                Ry =  Svy     

Il modulo R di R  e l'angolo ^Rx  sono: 

                       

                        R=   Rx^2 + Ry^2       

                                   

                        tga = Ry/Rx

Vincoli

Gradi di libertà (g.di l.):numero di parametri geometrici indipendenti, necessari e sufficienti ad individuare la posizione del punto materiale rispetto ad un prefissato sistema di riferimento (dette "coordinate libere" o "coordinate lagrangiane" ).

Vincolo è un dispositivo che limita la libertà di un punto materiale, sottraendo dei g.di l. . Un vincolo si dice :

liscio se è senza attrito, scabro se ha attrito;

fisso se la sua posizione non varia col tempo, altrimenti mobile;

bilatero se tutti gli spostamenti consentiti sono reversibili, unilatero se tutti o alcuni spostamenti sono irreversibili.

Legge di Coulomb

a) Il coefficiente di attrito 919b18j radente dinamico:  considerato un blocco di peso N1 trascinato da una forza T con velocità cost. La forza d'attrito Ft  sul piano orizz.scabro, che si oppone al moto, deve essere in modulo uguale alla T , poiché il moto avviene con v. cost.  Ponendo un secondo blocco di peso N2  sopra il primo, si trova che la forza d'attrito cresce proporzionalmente alla forza normale N1+ N2  che preme il blocco contro il piano (m è la cost di proporzionalità) :

                                                                                    

                         Ft  =mdin*N      (N= Fn)           

 N è la risultante di tutte le forze peso che premono il blocco contro il piano

 

mdin   dipende dai due materiali a contatto e non dall'area delle superfici a contatto.

b)Il coefficiente di attrito 919b18j radente statico: se il blocco è inizialmente fermo, per metterlo in moto occorre una forza maggiore di quella necessaria per mantenerlo in moto con velocità cost., cioè il coefficiente d'attrito prima che cominci il moto è maggiore del coefficiente di attrito 919b18j dinamico.

Tale coefficiente prende il nome di "coefficiente di attrito 919b18j statico" e si indica con mst .

Il prodotto di mst  per la forza N normale alla superficie di scorrimento è la forza minima necessaria per mantenere il movimento una volta iniziato:

                       

                        Fst = T = mst   * N

Finché  T < mst * N     esiste Fst = mst   * N    che equilibra il tiro T ed il corpo in quiete non si muove;

quando T > mst * N     il corpo si muove.  Il valore limite T = mst * N    per cui il corpo inizia a muoversi (moto incipiente) è detto "tiro" di primo distacco.

Leggi di Newton

II LEGGE: Legge fondamentale della dinamica:

Un corpo puntiforme soggetto all'azione di una forza risultante F  si muove con accelerazione  a  proporzionale alla forza F secondo la relazione vettoriale:

                       

                            F = m* a

La costante m, massa, che caratterizza l'inerzia del corpo è legata alla quantità di materia presente nel

corpo. Il peso P di un corpo è la forza esercitata su quel corpo dalla massa terrestre. Per la II Legge di Newton, detta  g l'accelerazione di caduta nel vuoto.

                        P = m* g

III LEGGE: Principio di azione e reazione:

Se un corpo esercita una forza su un altro corpo, questo esercita sul primo una forza (detta "reazione") uguale in modulo e direzione e di verso opposto alla precedente.

I LEGGE: Principio d'inerzia:

E' un caso particolare della II Legge quando  F =0  e quindi a = 0.

Si enuncia: "Ogni corpo persevera nel proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché non agisce su di esso una qualche causa esterna".

 

Peso e Massa unitari :

Dato un corpo 3-D omogeneo (tale per cui è cost. la massa delle particelle in cui può pensarsi suddiviso), di massa m e volume V, il rapporto

                                                                                    r = m/ V

prende il nome di "massa unitaria" o "densità" del corpo. Se il corpo non è omogeneo, la r dà una densità media. L'unità di misura nel S.I. è, per il corpo 3-D  [ Kgm /m3 ]  e nel S.T. è [ Kgf × s2/ m ]    m3.

Nel caso il corpo abbia una dimensione molto minore rispetto alle altre due gli può essere associato un modello 2-D; la densità in tal caso è definita dal rapporto tra massa e area

                                                                                    r = m/  A

Quando un corpo ha due dimensioni trascurabili rispetto alla terza, può essere associato a un modello 1-D; la densità è allora il rapporto tra massa e lunghezza

                                                                                    r = m/ L

Analogamente il "peso unitario" o "peso specifico" , g,  di un corpo è definito dal rapporto tra il modulo della forza-peso ed il suo volume (oppure area, oppure lunghezza):

                                                                                                                        S.T.                  S.I.

                                    corpo 3-D                                g = P/ V                   [ Kgf /m3 ]         [ N /m3 ]

                                    corpo 2-D                                g = P/ A                   [ Kgf /m2 ]         [ N /m2 ]    

                                    corpo 1-D                                g = P/ L                    [ Kgf /m ]          [ N /m ]

Energia. Lavoro. Potenza.

Energia cinetica:                                                                                                                                               D

L'energia cinetica T di una massa puntiforme è la grandezza istantanea definita:   T = ½× m× v2

L'unità di misura nel  S.I. è:  Kgm × m2/s2 = (Kgm ×  m/ s2) × m = N × m = J   (joule).

Lavoro di una forza:

Una forza cost. F agisca su un punto materiale P . Nel moto piano prodotto dal sistema di forze il punto subisca uno spostamento s. Si definisce "lavoro della forza  F nello spostamento s" del suo punto di applicazione la seguente quantità:                                                             

L = F× s × cosa              con a = F^s

Se  0 £ a £ p/2    Þ   lavoro motore  L > 0

a =0                    Þ   cosa = 1  : lavoro motore massimo

a =p/2                 Þ   lavoro nullo

Se p/2 £ a £ p     Þ   lavoro resistente L< 0  

a = p                   Þ   cosa = -1 : lavoro resistente massimo

Il lavoro è una grandezza scalare; la sua unità di misura nel S.I. è il  N × m = J,  nel S.T. è il Kgf × m

In un cammino "chiuso" 0®1®0  il lavoro complessivo è nullo. L = 0 . E' come se il campo gravitazionale restituisse in  1®0  il lavoro che aveva assorbito in  0®1 : si dice che il campo di forza gravitazionale è un  "campo conservativo".

Potenza(istantanea) di una forza: velocità nel compiere un lavoro   P(t) = dL/dt = F×dP/dt× cosa= F(t)× v(t)× cosa.  L'unità di misura nel S.I. è   N*m/s = J/s = 1 watt  (W)  , nel S.T. è   Kgf*m/s.

 

Momento.Equivalenza e Massima Riduzione.Baricentri.

Si chiama "braccio b" di  F  rispetto ad un vincolo O, la distanza  b  di  O dalla retta d'azione di F.

La forza è più efficace nel produrre una rotazione attorno ad O, se la sua retta d'azione ha direzione ^ rispetto alla retta  passante per O. L'effetto di rotazione di una forza intorno ad un perno dipende, oltre che dal modulo della forza, anche dalla distanza del perno dalla retta d'azione della forza, cioè dal "braccio della forza". Il prodotto di una forza per il suo braccio si chiama  momento della forza,

 (M= F×b).

Si definisce vettore momento  Mo di un vettore  F applicato in A, valutato rispetto ad un polo O, il vettore avente:

·        Direzione perpendicolare al piano di F;

·        Verso antiorario (rotazione di una vite destra immaginata ruotare nell'ideale verso di rotazione di  F attorno ad O);

·        Modulo  Mo= F*b, con F modulo di  F e b braccio di F rispetto al polo O.

1.      Teorema di Varignon: il momento risultante, rispetto ad un polo di un sistema di vettori concorrenti in un punto A, eguaglia il momento della risultante pensata applicata in A, valutato rispetto allo stesso polo.

2.      Legge di trasformazione del momento al cambiare del polo: il momento risultante, rispetto ad un polo O', di un sistema di vettori applicati, eguaglia la somma del momento del sistema rispetto ad un generico altro polo O, più il momento, rispetto al polo O' , della risultante del sistema pensata applicata in O:

Mo' = Mo  + Mo'Ro         " O,O'

                                                                                                                 Mo = F1 × b1 + F2 × b2

                       b1               O                                                  F1                     Mo'= F1 × (b1 + a) + F2 × (b2+ a)



     A1                                                                                                                                                  = F1 × b1 + F2 × b2 + (F1+ F2)× a

                                                             O'                                              R

                      A2                                                                                                                                             Mo                          R


          F1                                                                                                                                     Mo'= Mo + Mo'Ro

                                      F2                                                                                     F2

                            

                                        b2                      a


Se un sistema di vettori ha risultante nulla  R = 0   il momento non varia al variare del polo.

Se due diversi sistemi di vettori hanno:

- stessa risultante;

-  stesso momento rispetto ad un particolare polo O,

si può concludere che essi hanno eguale momento rispetto a qualunque altro polo O'.

Coppia di forze: è un sistema di due vettori aventi

·        Egual modulo;

·        Eguale direzione;

·        Versi opposti:

La distanza "b" delle rette d'azione è detta braccio della coppia.

La risultante di una coppia di vettori è nulla ed il momento M  della coppia è un vettore avente:

-         direzione  ^ al piano su cui giace la coppia,

-         verso antiorario (di una vite destra che ruoti nell'ideale verso di rotazione associato alla coppia)

-         modulo  F*b, con  b braccio della coppia ed  F  modulo comune ai due vettori.

Postulato della meccanica del Corpo Rigido: "non si modifica l'effetto meccanico di un sistema di forze agente su un C.R. se si applicano al sistema di forze le seguenti "operazioni invariantive elementari":

-         scorrimento del generico vettore lungo la sua retta d'azione;

-         sostituzione di due vettori (incidenti) con la loro risultante;

-         sostituzione di un vettore applicato in P con due o più vettori che ammettano quello come loro risultante.

Queste operazioni sono utilizzate nelle costruzioni per determinare la "massima riduzione " di un dato sistema di vettori, oppure nel metodo grafico, per determinare un punto P*  dell'asse centrale, detto "poligono funicolare" . (vd. Pag. 33 "Compendio di Statica" , A.Carotti-F.Mazza).

Massima riduzione di un sistema di forze parallele: Si consideri un'asta incernierata a terra in O sulla quale agisce un sistema di due forze parallele ed equiverse  F1  e  F2. La risultante  R deve produrre lo stesso effetto dei componenti (rotazione attorno ad O), perciò il momento rispetto ad O di R deve essere uguale alla somma algebrica dei momenti rispetto ad O delle due forze date:

                                                        

                                                                            asse centrale      

                        O                A       C       B                              N.B. per 2 vettori // e di versi opposti

                                                                                                l'a.c. è esterno al segmento AB dalla

                                x1                    a        b                                               parte del vettore di modulo maggiore.

                                        F1                      F2

                                x2

                                x         

                   R = F1  +  F2


                                                                                                                          F1  × x1 + F2 × x2

                                                            R × x = F1  × x1 + F2 × x2           Þ      x =                               1)                                                                                                                                F1  +  F2                           Si vuole studiare la massima riduzione del sistema, cioè determinare l'asse centrale. La direzione dell'asse centrale è nota (è la direzione di R comune ai due vettori), resta da trovare l'intersezione di C, di ascissa x, con l'asse orizzontale.

La 1) vuole che CÎ(A B); è quindi opportuno riformularla tenendo conto che   x = x1 + a ;  x2 = x1 + a +b

       R(x1 + a) = (F1  +  F2)(x1 + a) = F1 × x1+ F2(x1 + a +b)         Þ  F1 a = F2 b        Þ  a / b = F2 / F1

L'asse centrale di due forze // e concordi divide la distanza AB tra i punti  di applicazione delle due forze in due parti "a" e "b" che sono inversamente proporzionali ai moduli delle forze.

Si può estendere la 1) ad un numero qualsiasi di forze //:               Si Fi × xi

                                                                                              x* =

                                                                                                         Si Fi

"Centro" di un sistema di vettori paralleli: Se si considera un sistema di vettori // di cui è stato individuato l'a.c. e a partire da quello se ne genera un altro ruotandoli tutti di uno stesso angolo a , il nuovo sistema ottenuto avrà un proprio a.c., retta // alla nuova direzione dei vettori.

Sia C il punto di intersezione dei due a.c. dei sistemi di vettori considerati. Se, in modo analogo, generiamo ora un terzo sistema di vettori //, ruotandoli tutti di uno stesso angolo b, si scopre che il nuovo asse centrale, retta // alla nuova direzione, incontra i primi due nello stesso punto C, e così via generando altri sistemi, come i precedenti.

 Al punto C si dà il nome di "centro" del generico sistema di vettori // considerati:

COORDINATE del CENTRO:

 

y                   a.c.4               a.c.3                                                                  Si=1N Fi× xi

                                                                                    xc =

                                                                                               Si=1N Fi

                             C                                                   

                                                 a.c.2                                                Si=1N Fi× yi

                                                                                    yc =

   yc                                                                                                                                                                            Si=1N Fi


xc                                               x       

                                        a.c.1             

"Centro" di un sistema di Forze-Peso. Baricentro di un sistema materiale.

Ogni porzione elementare del corpo è attirata verso il centro della Terra, e il peso è, in realtà, la risultante di tutte queste forze // locali. Modulo e posizione della sua retta d'azione si possono calcolare con i metodi dell'asse centrale. La forza gravitazionale agente su ciascun elemento di un corpo è diretta verticalmente verso il basso, per cui anche il risultante. La retta d'azione del risultante occuperà, però, una posizione diversa, rispetto al corpo, al variare dell'orientamento. Variando la posizione del corpo si creerà un fascio di rette passanti per uno stesso punto, che prende il nome di "centro di gravità" o "baricentro" G del corpo. Il peso del corpo si può perciò pensare come una singola forza il cui punto di applicazione è il baricentro G.  

-         Sistemi materiali discreti: Nel caso di un sistema discreto di N masse puntiformi la massima riduzione di tale sistema è ad un solo vettore, la risultante R, applicata in G.

          Si=1N mi ×g ×xi      Si=1N mi ×xi                                           Si=1N mi ×yi                                               Si=1N mi ×zi

xG =                          =                     ;               yG =                         ;               zG =

            Si=1N mi ×g          Si=1N mi                                                    Si=1N mi                                         Si=1N mi

Proprietà del baricentro per sistemi discreti:

1.       Se la distribuzione di m puntiformi Î ad una retta r,  G  Î ad r.

2.       Se la distribuzione materiale Î ad un piano, G  Î a tale piano.

3.       Se la distribuzione di m ammette uno o più assi di simmetria geometrica e fisica, G  Î a ciascuno di tali assi.

4.       Proprietà distributiva: se un sistema materiale discreto C viene scomposto in N sottosistemi discreti Ci ciascuno di massa mi , si può innanzitutto calcolare G(Ci) di ciascun sottosistema. Il baricentro complessivo è il baricentro del sistema materiale discreto formato dalle N ideali masse puntiformi  mi  pensate collocate nei G(Ci).



5.       Il baricentro di una distribuzione piana di masse  mi    è interno al minimo inviluppo convesso contenente le masse.

-         Sistemi materiali continui: Nel caso la m  sia diffusa su una regione G del piano Oxy, sostituendo                                le masse concentrate mi  del caso discreto con le masse "elementari" dm del caso continuo e le sommatorie con somme integrali, le coordinate di G diventano.

           òG  xP dm                                  òG  yP dm                                  

xG =                         ;               yG =                         ;                           con  P(xG , yG)  generico punto del

            òG  dm                                      òG  dm                                       dominio  G .

Se la massa è "spalmata" omogeneamente sulla regione G del piano, la densità (massa unitaria) r è costante, dm = r * dG , che va sostituito nelle precedenti formule.

Proprietà del baricentro di sistemi continui:

1.       Il baricentro di un segmento materiale rettilineo, Î alla retta.

2.       Il baricentro di un sistema materiale piano, Î al piano.

3.       Se il sistema materiale ammette uno o più assi di simmetria, G Î a ciascuno di tali assi.

4.       Proprietà distributiva. Se un sistema materiale continuo occupante il dominio G è decomponibile in  n  sottosistemi Gi ciascuno di massa  mi    , G complessivo coincide con il baricentro del sistema materiale discreto formato dalle masse  mi    pensate collocate nei baricentri Gi  dei sottosistemi Gi .

                                                                                                                     òG  xP dm          Si=1N mi ×xGi

                                G                                                                          xG =                     =

                                                                                                                        òG  dm             Si=1N mi


                                                                                                            Analogamente per yG.

5.       Il baricentro di una lamina G  è interno al minimo inviluppo convesso racchiudente il corpo stesso.

6.       Un'importante applicazione dell'additività caratteristica dell'espressione delle coordinate del baricentro riguarda la possibilità di valutare la posizione del baricentro di una lamina piana con "buchi", considerando dapprima la lamina come se fosse "piena" (cioè aggiungendo materia dove in realtà non c'è), e poi ripristinando la realtà fisica attribuendo massa negativa (cioè -r) a ciascun "buco".

Lo stesso procedimento si può attuare in caso di lamina piana con "nervature", attribuendo però a queste la propria densità in riferimento alla massa posseduta.

PESO LAMINA         = A*g = m1                                con Teo di Guldino trovo

PESO NERVATURA = L*g = m2                                     i baricentri G1 e G2                  Þ  S mi × xGi / S mi

Teoremi di Guldino: consentono il calcolo della posizione del baricentro con semplici relazioni algebriche, per due classi di sistemi materiali assai importanti per le applicazioni strutturali:

-  le linee materiali piane omogenee;

-  le lamine materiali piane omogenee.

1° Teorema di Guldino:

Sia data una linea materiale piana omogenea (r  costante) di lunghezza L ed un asse che non la intersechi (ex.asse y). Fatta ruotare idealmente attorno a tale asse, sia S l'area della superficie ottenuta dalla rotazione: l'area S eguaglia il prodotto della lunghezza della linea per la lunghezza della ideale circonferenza descritta dal baricentro nella rotazione.


    y                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            x                                                                                                                                                                                                                                           

Ruotando attorno all'asse y si determina xG  :    

                        S = 2p* xG *L              Þ        xG  = S / 2p* L

Ruotando attorno all'asse x, si può determinare yG :

                        S = 2p* yG *L              Þ        yG  = S / 2p* L

Se nella figura esiste un asse di simmetria è sufficiente trovare una sola delle due coordinate del baricentro per individuare G.

2° Teorema di Guldino:

Sia data una lamina materiale piana omogenea di area A ed un asse ad essa complanare, che non la intersechi (ex.asse y). Fatta ruotare idealmente attorno a tale asse, sia V il volume del solido generato: il volume V eguaglia il prodotto dell'area A della lamina per la lunghezza della ideale circonferenza descritta dal baricentro nella rotazione.

Ruotando attorno all'asse y:                  V = 2p* xG *A                        xG  = V / 2p* A

Ruotando attorno all'asse x:                  V = 2p* yG *A                         yG  = V / 2p* A

Momento statico e Teorema di Varignon: Fissato il sistema xOy e concentrate in G1, G2 , G3 dei tronchi AB,BC,CD le masse proporzionali alle lunghezze L1 ,L2 ,L3, dei 3 segmenti della spezzata, per def. il M.S. del sistema rispetto x e y è:     Sx = L1*y1+L2*y2+L3*y3                        Sy = L1*x1+L2*x2+L3*x3

Per il Teorema di Varignon:                       Sx = yG *(L1+L2+L3)                      Sy = xG *(L1+L2+L3)

 Quindi             L1*y1+L2*y2+L3*y3 =  yG *(L1+L2+L3) Þ  yG = (L1*y1+L2*y2+L3*y3) / (L1+L2+L3)    

                        L1*x1+L2*x2+L3*x3 = xG *(L1+L2+L3)  Þ xG = (L1*x1+L2*x2+L3*x3) / (L1+L2+L3)

Vincoli e Mobilità.

Libertà e vincoli per il C.R. : Si definisce "corpo rigido" un corpo per cui valga:½Pi - Pj ½= cost., " Pi Pj , punti del corpo, cioè valga l'invarianza delle caratteristiche geometriche intrinseche del corpo stesso.

Un modello mono-dimensionale di C.R. è l'asta rigida.

Nel piano un'asta ha tre gradi di libertà (g.di l.): sono sufficienti e necessarie tre informazioni geometriche per individuarne una configurazione.

La coordinata libera xA descrive la mobilità traslatoria // all'asse x, la coordinata yA la mobilità traslatoria // all'asse y, la coordinata q la mobilità angolare.

La mobilità rispetto al mondo esterno, viene controllata mediante  vincoli  esterni , dispositivi che servono appunto a ridurre le libertà del corpo:

-     incastro: sopprime tutti i gradi di libertà del corpo, è un vincolo triplo;

-         cerniera: blocca le coordinate traslatorie xA, yA, è un vincolo doppio;

-         carrello: consente la traslazione lungo la propria rotaia di scorrimento e la rotazione attorno ad A, è un vincolo semplice;

-         biella  o  pendolo: consente la stessa mobilità (elementare) consentita dal carrello. Si tratta di asta rigida, di forma qualsiasi, priva di carichi e con cerniere di estremità, di cui una a terra.

      Detta   r  la retta che infila le due cerniere della biella, c'è identità tra biella e carrello se r' ^ r .

-    manicotto o pattino: può essere pensato come un carrello cui sia stata bloccato lo snodo, consente la           

     traslazione  lungo la rotaia r' , è un vincolo doppio.

Si noti che la traslazione (elementare) consentita dal pattino nella direzione della rotaia r', può essere vista come rotazione  (elementare) attorno ad una cerniera all'infinito C¥ nella direzione ^ alla rotaia stessa C¥ , detta "cerniera impropria".

Teorema di Chasles: lo spostamento dalla configurazione AB alla spostata A'B' può essere descritto in infiniti modi diversi come rototraslatorio , sempre con la stessa componente rotatoria, e in un unico modo come rotatorio attorno ad un  centro-di-istantanea-rotazione,  c.i.r.

                          r (B)                                                                              r (B)

                A            C                    r (A)                                A                                                             r (A)

dA                                                                                                                              C                 

             A'

                                                                                    A'

                                                                                              j

                   B             B'                                                                  B                            B'

                                                                                                                                                               

                                                                                               

                                    dB                                                                                        B''

Teorema di Eulero: dice come trovare questo c.i.r.

Se dell'asta rigida sono noti gli spostamenti di due punti (dA, dB), il c.i.r. C coincide con l'intersezione delle perpendicolari  r(A), r(B) a quegli spostamenti.

                                                                                    C = r(A)Ç r(B)

Labilità:

La condizione  V ³ L è necessaria ma non sufficiente per assicurare l'impossibilità di qualsiasi spostamento. I vincoli potrebbero essere "non ben posti"; ciò si verifica quando, nel complesso, i vincoli ammettono un c.i.r. comune ; ad esempio quando uno o più vincoli, per la loro particolare posizione od orientamento impongono al sistema restrizioni già imposte da altri anziché impedire movimenti ancora consentiti. In tal caso si parla di "labilità" della struttura.



Spinta idrostatica.

                                                                                                                                                                                                                     s

                      p (y)                                  B                                                                               L

                                                                                                                                                


                                                                   y                                                                           B

                                                                                h

                                                       

                                                         P

                                                                                                                                     A

                                                        

                                        p(y)                       h/3

            A


                                      pMAX

Detta r la densità del fluido, g l'accelerazione di gravità, y la distanza vert. dalla superficie libera del fluido ed L il tratto di paramento di contenimento in esame, la "pressione idrostatica" è sempre perpendicolare al paramento e, per il principio di Pascal, cresce linearmente con la profondità y:

 varia da 0 al pelo libero (se si trascura la pressione atmosferica), ad un valore pMAX  alla sezione di base:

                                                           

p(y) = r*g*L = g*y*L

Nel caso di paramento di altezza h:        pMAX = g*L*h

La spinta risultante S è data dalla risultante del carico triangolare:

S = pMAX × h× 1/2  = g × Lh2/ 2

Essa è applicata ad h/3 a partire dalla sezione di base sempre ^ al paramento stesso.

L'effetto ribaltante della spinta è caratterizzato dal momento di S rispetto al punto A della sezione di appoggio a valle, il quale funziona da perno:

Mrib = S×h/3

Nel caso di muri massicci l'effetto stabilizzante è dato dal momento del peso P rispetto ad A :

                                                           

Mstab = P×s/2

Se   Mstab = Mrib     , cioè,    P×s/2 = S×h/3           c'è equilibrio.

Sistemi articolati.

L'arco a tre cerniere: E' in sistema di due aste collegate tra loro da una cerniera interna  C e collegate a terra con altre due cerniere A e B ("ideali", cioè non offrono alcuna resistenza a rotazione: dunque, in equilibrio, il momento M nella cerniera è nullo).

G.di l.= 3*2 = 6,         G.di v.= 2+2+2 = 6

L'arco è isostatico se i vincoli sono "ben posti", cioè se le 3 cerniere non sono allineate.

Questa proprietà continua a valere nel caso in cui una o più cerniere siano all'infinito (in presenza cioè di pattini che, come visto, sono cerniere improprie ).

Per la ricerca delle azioni interne è necessario aprire la struttura. Possibili strategie:             C

1.        rottura delle due cerniere esterne: 4 incognite scalari, 4 equazioni

Restx = 0

Resty = 0

MestA = 0                                                    

MCBC = 0                                                                                                A                                 B


2.       rottura della cerniera interna: 2 incognite scalari, 2 equazioni

MACA = 0   

      MBCB = 0

           

3.       rottura di una cerniera esterna: 2 incognite scalari, 2 equazioni

 MAC,CBA = 0          

      MACC = 0   

La trave Gerber: E' una trave ad asse rettilineo isostatica. Questo schema consente di aumentare la luce (distanza) tra i due appoggi E ed F.

Anche questo schema può essere studiato per parti :

-          dapprima la trave appoggiata centrale AB;                            C              E         A         B        F             D

-          e quindi le 2 travi "esterne" A'C e B'D.                                                            A'  B'

Gli anelli internamente isostatici : E' un sistema doppiamente connesso  internamente ed esternamente isostatico.

Per "aprire" anelli isostatici conviene sempre rompere il vincolo interno più debole da cui escono dei g.di l.  a cui riferire le equazioni .

Equazioni di equilibrio:

1.       Calcolo delle 3 reazioni vincolari a terra (3 equazioni cardinali necessarie e sufficienti per il corpo rigido)

2.       "apertura" dell'anello: si rompe il vincolo interno più debole.

Se una delle aste è una biella ( cioè un'asta scarica):

1.       Ricerca delle 3 componenti reattive esterne

2.       Apertura dell'anello togliendo la biella (che è il vincolo più debole), e traduzione dell'equilibrio al g.di l. rotatorio introdotto.

I sistemi "triangolati". La trave reticolare: Il modulo base è costituito da un anello triangolare di 3 aste rettilinee, connesse da 3 cerniere non allineate: è internamente isostatico. Se a questo "modulo triangolare" si aggiunge un secondo modulo, il nuovo sistema è anch'esso internamente isostatico .

Questo "sistema triangolato" si comporta dunque come un corpo rigido.

Se operiamo inoltre nell'ipotesi di forze esterne agenti esclusivamente nei nodi, ciascuna delle n aste è una biella e la ricerca delle azioni interne si riduce alla ricerca delle azioni assiali  Ni = 1,2,.,n

Se le tre libertà esterne del sistema triangolato vengono bloccate con tre gradi di vincolo ben posti, il sistema è anche esternamente isostatico. Ricerca dell'equilibrio:

1.Determinare le 3 comp.reatt.esterne;   2. Si considera un nodo a 2 aste: punto in equilibrio sotto 3F ,1 nota e 2 note in direzione (bielle).Con i metodi grafici e analitici si determinano tali 3 incognite;    3. Tali forze sono azioni assiali nelle 2 bielle confluenti;   4. Si passa ad un altro nodo a 2 aste e si procede come prima.

Le azioni interne nelle aste rigide.

Le tre azioni interne apparse nella generica sezione di un'asta rettilinea in equilibrio sotto tutte le forze attive e reattive esterne cui è sottoposta, sono 2 forze e 1 coppia (3 su una faccia e 3, uguali ed opposte, sull'altra faccia). Esse sono le azioni che, assieme alle forze esterne che competono al generico tronco in esame, garantiscono l'equilibrio di quel tronco:

-         N(x) : azione assiale nella sezione di ascissa x,

-         T(x) : azione tagliante nella sezione di ascissa x,

-         M(x) : momento flettente nella sezione di ascissa x.

Per convenzione si assumono positivi i seguenti versi:

 

                                                                                 

                                                                                                                                                                              Oppure

  a)  Una pratica procedura di calcolo delle azioni interne può essere la seguente:

1.      si parte da un estremo in cui sono note tutte le forze esterne (se c'è un vincolo bisogna anzitutto romperlo e trovarne le reazioni vincolare con le 3 equazioni di equilibrio;

2.      si immagini ora di camminare sull'asta a partire da quell'estremo: arrivati nella generica sezione S di ascissa x si guardi la faccia della sezione che si ha di fronte e le relative convenzioni di segno;

3.      su quella faccia calcolare:

T(x) = Si ± Vi

N(x) = Si ± Hi

M(x) = Si ± Vi*bi

La sommatoria è estesa a tutte le forze che ci siamo lasciti alle spalle . Ad ogni addendo si darà segno "+" o "-" a seconda che la forza o la coppia in esame abbia verso concorde o discorde a quello della convenzione di segno.

  b)  Può essere vantaggioso spostare via via l'origine dell'asse x di riferimento all'inizio del nuovo tratto da studiare. Così il tratto precedente può essere cancellato. Si devono ovviamente mettere in conto, all'inizio del nuovo tratto, trattandolo come forze esterne, le 3 azioni N,T,M che competono alla sezione finale del tratto precedente. Esse costituiscono la "memoria meccanica" di ciò che ci siamo lasciati alle

spalle. 

Legami differenziali tra carico distribuito q, taglio T, momento flettente M.

              dT(x)                          dM(x)                         d2M(x)

q(x) =                  ;        T(x) =                 ;        q(x) =  

               dx                                dx                               dx2   

                                                                                                                                                 

                                                                                   

                                                                                   

                                                                                               

Importanti conseguenze:

·        Se in un tratto di asta è q(x) = 0(carichi concentrati), in quel tratto il taglio T(x) è costante ed il momento M(x) è lineare;

·        Se in un tratto di asta è q(x) =costante (carichi uniformemente distribuiti),in quel tratto il taglio T(x) è lineare ed il momento M(x) è parabolico;

·        Le coppie concentrate, avendo RT = RN = 0 sono tali da non produrre alcun effetto sull'azione assiale N(x) e sul taglio T(x), ma contribuiscono soltanto al momento M(x), il quale rimane costante tra una coppia e l'altra;

·        Una forza concentrata in un punto P dell'asta ( e ^ all'asta stessa) provoca in P una discontinuità di

I specie "gradino" nel diagramma del taglio T(x) ed una "cuspide" (cambiamento di pendenza) nel diagramma del momento M(x);

·        Se sull'asta agisce un carico q(x) costante a tratti, ossia con un gradino nel generico punto P: il diagramma del taglio T(x) avrà in P una cuspide (pur rimanendo il taglio sempre lineare) e il diagramma del momento M(x) presenterà in  P un cambiamento di curvatura (discontinuità nella derivata 2°);

·        Se il taglio T(x) è lineare e in un punto A dell'asta è T(A) = 0, allora il momento M(x), parabolico, presenta in  A  stazionarietà, cioè tangente orizzontale.

 

 

 

Sovrapposizione di effetti:

In presenza di più carichi sull'asta, l'analisi degli effetti   N, T, M   può essere effettuata considerando dapprima, gli effetti di ciascun carico come se agisse da solo (diagrammi  N,T,M, dovuti al carico i-mo),

e successivamente sommando punto a punto i diagrammi omonimi.






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