Leggi costitutive e definizioni - Proprietà fisiche dei fluidi

   V° = V/n = R_uT/P  [m³ kmol^-1] su n moli  

   Per miscele di gas:   V* = Σω_i V*_i    con ω = frazione massiva

Peso specifico:    γ = mg/V = ρg   [N m^-3]

Viscosità dinamica: μ = τ/γ°  [Pa s] indica quanto è forte lo sforzo di deformazione in      funzione dell'aumento delle velocità relative di scorrimento 

μ = μ_{(T, P)}      la viscosità dipende da T e P:   nei gas è direttamente proporzionale, nei liquidi è inversamente proporzionale a T.

gas:    μ_g = μ_{g(T riferimento)} (T/T_rif)^α    

liquidi:   μ_l = μ_{l(T riferimento)} exp[(1/T - 1/T_rif) β] con α e β costanti e T in Kelvin

Modulo di comprimibilità

   k = -V* dP/dV* = ρ dP/dρ  [Pa] definisce la comprimibilità di un fluido

gas perfetti:  compressione isoterma:     P = R_uT/V°   k = -V° (-R_uT/V°²) = R_uT/V° = P

   tras. adiabatica isoentropica:    PV°^γ = cost, con γ = Cp°/Cv° k = γP

liquidi:        ho leggi empiriche (es acqua)   V*_{(T P)} = V*_o [1+λ(T-T_o+aP)²-k_oP]

   con V*_o = 1,00008 10^-3 m³/kg , λ = 8 10^-6 1/K² , a = 2 10^-7 Pa/K , T_o = 277°K

ottengo:    k = [1+ (T-T_o+aP)²-k_oP] / [k_o - 2a (T-T_o+aP)] = 2,0003 10⁹ Pa

Tensione superficiale = forza per unità di lunghezza, è dovuta al fatto che le forze idrostatiche al pelo libero non sono bilanciate. Se considero una bollicina tagliata di traverso, devo avere che la forza esterna è bilanciata da quella interna:

ΔP πr² = σ 2πr     ΔP = 2σ/r   per un cilindro: ΔP = σ/r

l'effetto della tensione superficiale è importante per raggi piccoli; ad esempio, per le bolle di vapore in un liquido, se ΔP supera la tensione di vapore, la bollicina collassa.

Capillarità: θ = bagnabilità, è l'angolo che si forma tra il menisco e i bordi del capillare. L'equilibrio statico impone che la spinta verso l'alto dovuta alla tensione superficiale F_σ , sia bilanciata dal peso della colonna di liquido sollevata:

   σ cosθ π d = ρ g π/4 d² H      H = 4 σ cosθ / ρ g d risalita capillare

Tensione di vapore:    Nel piano P/T rappresenta il luogo dei punti che tra il punto triplo e il punto critico separa liquido da gas, esprime la volatilità di una sostanza.

Statica dei fluidi

Isotropia della pressione:   considero un triangolo rettangolo e forze agenti su cateto x (p_y), sul cateto y (p_x) e sull'ipotenusa s (p_s) e una forza peso pari a ρg dxdy/2 = γ dxdy/2 diretta verso la parte negativa delle ascisse. Le equazioni della statica sono:

   Rx = 0    p_xdy - p_sds senθ = 0

   Ry = 0   p_ydx - p_sds cosθ - γ dxdy/2 = 0

   Essendo ds cosθ = dx e ds senθ = dy, ottengo:

   (p_x - p_s)dy = 0

(p_y - p_s)dx - dxdy/2 = 0

Mandando al limite dx e dy a 0 ottengo p_x = p_y = p_s  per qualunque angolo θ

Campo di pressione:   δP/δz = -ρg   EQUAZIONE FONDAMENTALE DELLA STATICA DEI FLUIDI

   Mentre le derivate parziali x e y sono uguali a 0 perché P varia solo in funzione della quota.

   Integrando ottengo P_(z) = P_(z1) - ρg (z - z₁)     che mi indica la variazione di P da una quota conosciuta z₁ a una quota qualsiasi z.

Pressione in termini di altezza liquida:    H = P/ρg = P/γ  se soddisfatta, ovvero ρ è costante, si parla di campo di pressione idrostatico.

   Nei gas perfetti:   ρ = P/R_xT     dP/dz = -P/R_xT     (equazione differenziale)

   dP/P = -g/R_xT dz integro   ln(P/P_o)  = -g(z-z_o)/R_xT = -ρg(z-z_o)/P_o  

   P = P_o exp(-ρg(z-z_o)/P_o)

Forze su superfici    consideriamo un diga inclinata di un angolo α con la verticale, sia η la profondità, Y le 

contenenti fluidi: coordinate lungo la linea verticale della diga e X lungo il bordo di essa. Se scegliamo una superficie arbitraria A, ad una qualsiasi quota η si avrà una spinta pari a Fext + Fint:

  dF = -P_odA + (P_o + γη)dA = γηdA

detto S il baricentro di A, F = γη_sA   che rappresenta il modulo di F. Il suo punto di applicazione però non coincide con S, bensì col centro di spinta M. Se riscriviamo F secondo le coordinate della diga X e Y, tale che S coincide con Y_s e η = Ycosα, ottengo:

  F = γη_sA = γAY_scosα dF = γYcosα   

M è identificato ponendo le componenti del momento della forza F, rispetto a x e a y, siano le stesse dei momenti distribuiti sulla superficie A:

   F X_M = ∫_A x dF = ∫_A γ cosα x y dA con F = γYcosα

F Y_M = ∫_A y dF = ∫_A γ cosα y² dA  semplifico γ cosα e ottengo

   X_M = [ ∫_A xy dA ] / A Y_s 

   Y_M = [ ∫_A y² dA ] / A Y_s    integrali doppi da risolvere in dx e dy Affondamento:    e = Y_M - Y_S        considero superficie rettangolare di altezza h, larghezza b, affondata di Δ al    pelo libero. Y parte dal pelo libero, X è il pelo libero, O è posto a metà in   modo che Y tagli la base b in b/2.

   A   =   hb   Y_S = Δ + h/2

X_M =   [ ∫_A xy dA ] / A Y_s = _-b/2∫^+b/2 x dx _Δ∫^Δ+h y dy = 0 [y³/3]_Δ^Δ+h / AY_S = 0

Y_M =   [ ∫_A y² dA ] / A Y_s  = _-b/2∫^+b/2 dx _Δ∫^Δ+h y² dy = b [y³/3]_Δ^Δ+h / AY_S =

b/3 [(Δ+h)³ - Δ³] / hb (Δ+h) =  [(Δ+h)³ - Δ³] / [3h(Δ+h)]

e = Y_M - Y_S    = [(Δ+h)³ - Δ³] / [3h(Δ+h)] - (Δ+h)  = h²/12(Δ+h) >0 sempre

se Δ = 0 Y_M = 2/3 h Y_S = 1/2 h  e = 1/6 h

quindi F = γAY_s   ma è applicata in Y_M, quindi il momento rispetto a O: M = γAY_SY_M

Forze su superfici    P è uniforme, F = ∫PdA = PA = γhA applicata nel baricentro della superficie.

orizzontali:

Forze su superfici curve:    Considero superficie curvilinea, X e Y indicano il piano del pelo libero, Z la profondità.

Su dA agisce dF = γzdA normale alla superficie. Gli angoli tra dA e i piani YZ, XZ, XY sono rispettivamente λ, μ, υ. Le proiezioni sugli assi di dA sugli assi sono:

dA_x = dA cosλ    dA_y = dA cosμ    dA_z = dA cosυ

Le componenti di dF:

dF_x = γzdA_x  dF_y = γzdA_y  dF_z = γzdA_z   e integro in A.

La componente verticale di F è uguale al peso della colonna di fluido sovrastante: ∫dF_z = γV

Dinamica dei fluidi

In un sistema di coordinate cartesiane x,y,z ogni particella al tempo t ha una velocità v che dipende dal punto considerato P e dal tempo t. Si ha un campo di moto esteso a tutta la regione di spazio occupata dal fluido. Se il vettore velocità in A non è in funzione del tempo si parla di campo di moto stazionario, altrimenti dinamico o transitorio.

v = v_{(P, t)} = (u i , v j , w k)

Descrizione Lagrangiana:  Considero una porzione di fluido dm e ne descrivo il moto:

   a t₀ dm è in P₀ (x₀, y₀, z₀) 

a t>0 dm è in P = P (P₀, t) = [X(x₀, y₀, z₀, t), Y(x₀, y₀, z₀, t), Z(x₀, y₀, z₀, t)]

P - P₀ = vettore spostamento,  v = dP/dt = vettore velocità

Descrizione Euleriana:    Considero un campo di velocità e v in funzione della posizione P e del tempo t:

   v = [v_x(x, y, z, t), v_y(x, y, z, t), v_z(x, y, z, t)] = v_{(P, t)}

   dv/dt = accelerazione sostanziale = [dv_x/dt, dv_y/dt, dv_z/dt]

   le componenti dell'accelerazione si ottengono:    dv_x/dt = δv_x/δx + δv_y/δy + δv_z/δz + δv/δt

Flussi unidirezionali:   La superficie di fluido che non è attraversata dal fluido stesso è dette linea di flusso ed è tangente in ogni punto a v. Un insieme di linee di flusso costituisce un tubo di flusso.

Tubi di corrente   Per ipotesi consideriamo ρ costante. Considero un elemento di fluido che passa per due

monodimensionali:  sezioni diverse S e S'. m = cost    t₁ = t   t₂ = t+dt

la legge di conservazione della massa ci dice che ρ₁v₁A₁ = ρ₂v₂A₂ e siccome la densità è costante passo alla legge di conservazione della portata volumetrica v₁A₁ = v₂A₂. Per fluidi molto comprimibili devo tener conto del possibile accumulo di massa nel volume di controllo: d[∫_SρdV]/dt = ρ₁v₁A₁ - ρ₂v₂A₂

Equazioni euleriane del  Consideriamo un fluido non viscoso soggetto solo alla forza della gravità. Facciamo

moto  riferimento ad un tubo di corrente di lunghezza ds lungo il flusso e sez. dA ortogonale a ds.

   Sia φ l'angolo tra ds e la coordinata verticale negativa.

   dm dv/dt = ∑F      dm = ρdsdA  v = velocità lungo la coordinate A.

Le forze applicate sono la componente nella direzione S della forza peso:

   dF_g = g dm cosφ = g ρ ds dA cosφ 

   la differenza di pressione tra le facce superiore e inferiore del volume del fluido:

   dF_P = -δP/δs ds dA

   ottengo quindi:    ρ ds dA dv/dt = g ρ ds dA cosφ -δP/δs ds dA

   sostituisco cosφ = -δz/δs  e ottengo l'accelerazione lungo la coordinata S di v:

dv/dt = -g δz/δs - 1/ρ δP/δs

Inoltre, essendo dv/dt = δv/δs ds/dt + δv/δt = δv/δt + v δv/δs = δv/δt + ½ δv²/δs

Componendo le due equazioni ottengo la 1^A EQUAZIONE DI EULERO:

δv/δt + ½ δv²/δs + g δz/δt + 1/ρ δP/δs = 0    lungo la coordinata S tangente al flusso.

Se ora considero l'accelerazione trasversale, quindi come varia v in funzione della posizione lungo la sezione di tubo, dia dn la lunghezza e dA' la sezione del volume di controllo. Sia φ' l'angolo tra dn e la coordianata verticale negativa (rispetto a prima dn è perpendicolare a ds).

dm [δu_n/δt + v²/R] = ∑F con R = raggio di curvatura  cosφ' = δz/δs

operando in modo analogo a prima so che le forze in gioco sono:

F_g = -g ρ dn dA'cosφ'    F_P = - δP/δn dn dA'

Ottengo la 2^A EQUAZIONE DI EULERO

δu_n/δt + v²/R = -g δz/δn - 1/ρ δP/δn   lungo la coordinata N perpendicolare al flusso.

Equazione di Bernoulli:  Equazione della piezometrica: la somma delle tre altezze rimane costante lungo una linea di

flusso:   v²/2g + z + P/ = cost  [m]

Misuratore di portata come calcolare la portata volumetrica V/s = Q dalla differenza di pressione dovuta al

Venturi: restringimento di sezione: considero un tubo di sezione A₁, che si riduce alla sezione A₂, per     poi tornare alla sezione iniziale. Vengono misurate le pressioni del fluido in A₁ e in A₂:

   Bilancio di materia:  ρv₁A₁ = ρv₂A₂

   Bernoulli:  v₁²/2g + P₁/γ = v₂²/2g + P₂/γ

   Ottengo:v₁ = v₂ A₂/A₁ (P₂-P₁)/γ = v₂²/2g [(A₂/A₁)² -1] v₂ = √[2g (P₂-P₁)/γ]/ [(A₂/A₁)² -1]

   Concludo: Q = v₂A₂ = A₂ √[2g (P₂-P₁)/γ]/ [(A₂/A₁)² -1]

Efflusso sotto battente:  Considero un serbatoio riempito fino altezza h. Alla base vi è un foro di sezione A, che a causa della contrazione di vena diminuisce nel calcolo a: A = Cc A.

   v₁²/2g + P₁/γ + h = v₂²/2g + P₂/γ + 0   v₂ = √[v₁² + 2g [(P₁-P₂)/γ + h]]

   in genere   v₂>v₁ v₂²/2g >>> v₁²/2g quindi elimino v₁²/2g

   inoltre    P₁ = P₂ = P_atm        elimino anche P₁-P₂

   ottengo la Velocità Torricelliana di efflusso: v = √[2gh]

   Pertanto la portata volumetrica è pari a:     Q = vA = √[2gh]  Cc  A

   Nel caso in cui il foro sia talmente grande da giustificare una differenza nelle velocità di uscita all'interno della stessa sezione, si fa una media di v:

   <v₂> = 1/A ∫_A v dA = 1/Asenφ _h1∫^h2 b √[v₁² + 2gz] dz      con b = larghezza sezione

   Nel caso di parete verticale senφ = 1 si ha:

   Q = v Cc A = Cc _h1∫^h2 b √[v₁² + 2gz] dz = Cc b √2g _h1∫^h2 √[v₁²/2g + z] dz =

Q = 2/3 Cc b √2g [(v₁²/2g + h₂)^3/2 - (v₁²/2g + h₂)^3/2]

Stramazzi rettangolari: Considero una "diga" affondata di H dal pelo libero. Se scrivo l'eq. di Bernoulli tra le due sezioni: v₁²/2g + P₁/γ + z₁ = v₂²/2g + 0 + z₂    sia H = P₁/γ + z₁ altezza pelo libero

   v₂ = √[2g(H - z₂ + v₁²/2g)]   Q = Cc b ₀∫^H v₂z₂ dz = Cc b ₀∫^H √2g (H - z₂ + v₁²/2g)^1/2 dz₂ =

Q = 2/3 Cc b √2g [(v₁²/2g + H)^3/2 - (v₁²/2g)^3/2

In genere la corrente è lenta: v 0, ottengo:      Q = 2/3 Cc b √2g H^3/2

   Altezza di crescita sopra lo stramazzo:    H_cr = (3/[2Cc √2g])^3/2 (Q/b)^3/2

   Empiricamente: H_cr = 0,666 (Q/b)^3/2   da cui Cc per stramazzi rettangolari: Cc = 0,623

Bilancio della Q di Moto:   QdM = P   dP_tot/dt = ρ₁v₁²S₁ - ρ₂v₂²S₂ + (P₁S₁ - P₂S₂) - F + m_totg    [N]

   N.B. S₁ e S₂ sono aree vettoriali: |S|n = area per il suo versore normale.

   m_tot = ∫ρdV P_tot = ∫ρvdV   -F = forza netta esercitata dal fluido su superfici

   portate massive vettorializzate:  W = |ρvS|n_orm  [kg/s]

   dP/dt = -Δ[Wv + PS] -F + mg   in condizioni di regime stazionario dP/dt = 0 e ottengo:

   F = -Δ[Wv + PS] + mg    che è la formula per calcolare la spinta di un fluido su superfici.

Bilancio energia   Rimuoviamo l'ipotesi di fluido non viscoso v = <v> media

meccanica:    Bernoulli: Δ[½ (<v³>/<v>) +  gz + P/ρ] + E_v = 0    [m²/s² = energia/massa = J/Kg]

   E_v = energia dissipata per attrito viscoso piezometrica non costante ma in caduta: cadente.

   <vⁿ> = [ ₀∫^2π dφ ₀∫^R vⁿ r dr] / πR²    per cui uso:

   n=1 per portata fluente, n=2 v = <v²>/v per la QdM, n=3 v = <v³>/<v> per en. cinetica.

Distribuzione di velocità    Considero un fluido viscoso che scorre su un piano inclinato: x è la coordinata che misura la

in regime laminare:   profondità ed è perpendicolare a z che è posta sul pelo libero. Osserviamo una porzione profonda δ e lunga L:   v è diretta lungo asse z e dipende da x = v_{z (x)}

   bilancio QdM:      LWτ_x=x - LWτ_x=x+Δx + WΔxV²_z=0 - WΔxV²_z=L + LWΔxρgcosβ = 0

   Siccome v non dipende da z, il terzo e il quarto termine riferenti all'energia cinetica sono uguali e si annullano. Inoltre sul pelo libero non ho sforzi quindi τ_x=x = 0

Dividendo tutto per LWΔx e mandando al limite Δx 0 ottengo:

  τ_x=x+Δx/Δx = ρgcosβ dτ/dx = ρgcosβ    τ = ρgcosβ x

   lo sforzo cresce con la profondità ed è massimo in x = δ

   Ma Newton dice:     τ = -μdv_z/dx  e ottengo:  dv_z/dx = - ρgcosβ x / μ

   Integrando ottengo:   v_z = [ρgcosβ/2μ] x²/2 + C

   Le condizioni sono:    per x = δ, v_z = 0 per l'adesione alle pareti.

   v_z = [ρgcosβ/2μ] δ² [1-(x/δ)²] che è massima in x = 0 e nulla in x = δ

   La velocità media è:    <v> = [₀^W∫dy ₀^δ∫ v dx ]/ wδ = v_{max 0}^δ∫[1-(x/δ)²]dx  / δ

   <v> = v_{max 0}¹∫(1-ξ²)dξ  con ξ = x/δ    = 2/3 v_max = ρgcosβδ²/3μ

   La forza esercitata dal fluido  sulla parete di scorrimento è:

   F = τ_w W L = ρgcosβδ W L   pari alla componente in z del peso del film.

   La portata per unità di larghezza Г = W/w con w = larghezza:

   Г = ρδ<v> se è nota trovo δ = (3μГ / ρ2gcosβ)^1/3

   I risultati ottenuti sono validi solo in regime laminare, ovvero se il numero di Reynolds del

   Film è inferiore ad un valore critico: Re_cr = 4δ<v>ρ/μ = 4Г/ρ < 25

Flusso laminare in   Considero un tubo di asse z e diametro y, e ne sviluppo il bilancio di QdM in direzione z:

condotto circolare:    

   Il terzo e quarto termine si annullano perché v non dipende da z, dividendo tutto per 2πrLΔr e        mandando Δr 0 ottengo:   d(rτ)/dr = [(P_o-P_L)/L + ρg]r

   Chiamando Ρ = P + ρgz   l'altezza piezometrica, e integrando ottengo:

   Le condizioni sono:    per r = 0, τ = 0, e allora C = 0

   Secondo Newton:   τ = -μdv_z/dx 

Ottengo:

integrando: 

   Posso comunque scrivere:   

   La velocità media vale:    =

   I rapporti tra velocità medie reali e aritmetiche vale:

 

   Il legame tra <v> e τ è:

   Ma siccome:

Per cui il primo termine misura la caduta di pressione legata alla viscosità, il secondo il peso del fluido, se il condotto fosse orizzontale vi sarebbero solo perdite di pressione.

Fattore d'attrito:  Il rapporto tra la forza appena ottenuta esercitata sul tronco di tubazione e l'area è:

   F/A = τ  fattore d'attrito: f = τ / ½ρ<v>²   

   Se introduco l'espressione trovata in precedenza:   τ = 8μ <v>/D, ottengo:

   f = 16 μ / ρ<v>D = 16/Re    laminare per Re < 2100-2350 e turbolento per Re> 10⁴

   Sempre all'interno del condotto circolare, la potenza meccanica dissipata vale:

   QΔP con Q = portata volumetrica e P = altezza piezometrica = Ρ = P + ρgz

   Riferita alla portata massiva fluente W:

   Questo termine si riferisce alle perdite di carico distribuite.

Prima di cambiare argomento, mette conto scrivere, e memorizzare per sviluppi futuri, relazioni alternative, ma equivalenti, per lo scorrimento, a regime, in un tubo cilindrico

Integrando la seconda relazione (portata) per parti, si ottiene:

Dalla prima:

sostituendo la variabile r con la variabile τ_rz, si può scrivere altresì:

nel caso, già considerato, di fluido a viscosità newtoniana in regime laminare: