Media della variabile doppia

Torniamo ai dati non ordinati che abbiamo raccolto sulla popolazione di 10 individui. Avendo registrato per ciascun individuo due caratteristiche, la media sara' un vettore a due componenti: la prima sara' la media della caratteristica X e la seconda la media della caratteristica Y. La media della componente X si otterra' come media aritmetica dei valori che essa assume nella popolazione, eanalogamente la media della componente Y sara' la media aritmetic adei valori assunti dalla Y nella popolazione. Cio' equivale a considerare separatamente le due componenti, ordinarle nelle distribuzioni marginali, o ricavare le distribuzioni marginali a partire dalla distribuzione congiunta nella tabella a doppia entrata, e calcolare separatamente le due componenti della media come nel caso monodimensionale.

Ricordando l'espressione delle marginali si ottiene che

Cio' ci permette di definire l'operatore media per le variabili statistiche a due dimensioni:

Nel caso in cui si faccia la media di una delle due componenti o di una sua funzione si puo' utilizzare la distribuzione di frequenza marginale di tale componente:

 

Piu' in generale posso pensare di applicare l'operatore media, a vettori o matrici le cui componenti siano funzioni di (X,Y).

Ad esempio la media della variabile doppia (X,Y), puo' pensarsi come l'operatore media applicato al vettore di componenti X e Y, che si calcola applicando l'operatore media alle singole componenti:

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La matrice di varianza covarianza

Per variabili statistiche doppie, si calcola la varianza delle singole componenti, la cui espressione, con lo stesso ragionamento fatto per le medie, e' data da:

Per le varianze valgono le stesse proprieta' gia' enunciate nel caso di variabili monodimensionali.

Inoltre si calcola un ulteriore indice detto di covarianza che e' pari a

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Tale coefficiente sara' prossimo a zero nel caso in cui le componenti della variabile statistica siano pressoche' indipendenti.

Gli indici di varianza covarianza di una variabile a due dimensioni (X,Y) si ordinano in una matrice 2 2, nel modo seguente:

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Tale matrice si ottiene applicando l'operatore media alla seguente matrice:

ovvero applicando l'operatore media a ciascun elemento della matrice:

Trasformazioni di variabili statistiche

Come nel caso monodimensionale, anche nel caso bi-dimensionale e' possibile ricavare la distribuzione di una variabile statistica che sia funzione della variabile (X,Y), senza dover ricensire la popolazione. In particolare, vediamo il caso in cui la variabile (X,Y) si trasforma in una variabile mono-dimensionale:

Z=g(X,Y)

e quello in cui la variabile (X,Y) si trasformi nella variabile doppia (V,W):

In entrambi i casi, il primo passo consistera' nel calcolare i valori argomentali assunti dalla nuova variabile. Nel primo caso per ciascuna coppia (x_i,y_j) si ricavera' un solo valore z_i=g(x_i,y_j) , nel secondo caso per ciascuna coppia (x_i,y_j) si otterra' una coppia di valori u_i=g₁(x_i,y_j) e v_j= g₂(x_i,y_j).

A ciascun valore argomentale ottenuto (z_i, ovvero la coppia (u_i,v_j)) si attribuira' la stessa frequenza della coppia (x_i,y_j) da cui deriva. Quindi si riordineranno i valori argomentali, riportando una sola volta quelli ripetuti, attribuendo loro una frequenza pari alla somma delle singole ripetizioni.

Consideriamo, ad esempio, la variabile (X,Y) in tabella

Sia  Z=XY

Si ottengono i seguenti valori argomentali:

La frequenza di ciascun valore argomentale in tabella e' la stessa della coppia (x_i,y_j) da cui deriva: lo 0 in posizione (1,1) avra' frequenza 0,2, quello in posizione (1,2) avra' frequenza 0,1 e cosi' via.

I valori ottenuti vanno infine riordinati e in corrispondenza valutata la frequenza di ciascuno di essi:

Sia ora U=X² e V=XY si ottiene

E riordinando

Teorema della media

E' facile dimostrare che anche nel caso di trasformazioni del tipo Z=g(X,Y) e , vale il teorema della media, ovverosia che

M_Z[Z]=M_XY[g(X,Y)]   nel caso Z=g(X,Y)

 nel caso .