PROPRIETA' DELLA TRASFORMATA DI FOURIER

x(t) reale e PARI X(f) REALE (e pari)
x(t) reale e DISPARI X(f) IMMAGINARIA (e pari)

PRINCIPIO DI DUALITA': F[X(t)]=x(-f)

CONIUGAZIONE: F[x^*(t)]=X^*(-f)

AREA SOTTESA DA x(t):    x(t)dt=X(0)

TRASLAZIONE NEL TEMPO:   z(t)=x(t-t₀) Z(f)=

TRASLAZIONE IN FREQUENZA:   Z(f)=X(f-f₀) z(t)=

CAMBIAMENTO DI SCALA:   z(t)=x(kt) (k>1 compressione, k<1 espansione) Z(f)=

DERIVAZIONE:   Se B(f)=j2pfA(f)

INTEGRAZIONE  Se b(t)= B(f)=

PROPRIETA' DELLA CONVOLUZIONE

x(t) y(t)= y(t) x(t)

Se x(t) dura t_x e y(t) dura t_y la convoluzione durerà t_x+t_y

Se x(t) y(t)=a(t) allora x(t-t₀) y(t)=a(t-t₀) e x(t-t₁) y(t-t₂)=a(t-t₁-t₂)

x(t)*d(t)=x(t)

FORMULE UTILI

serie di fourier x(t)= x_ke^j2pk/Tt con

convoluzione x(t) y(t)=

correlazione per segn.di energia R_yx(t)= ==x(t y t

correlazione per segn.di potenza    R_yx(t)==

densità spettrale di potenza per segn.periodici x(t)=: D_x(f)=

filtro passa-basso rc con e ; h(t)=

varianza di una somma  var(x h)=var(x)+var(h)+2cov(x h con cov(x h)=E[xh E[x]E[h]=m₁₁ m_xm_y

ovvero: s_x+y s_x s_y +2cov(x h

funz. caratteristiche:  Gaussiana C_x(u)=,   Cauchy C_x(u)=e^-a|u|

TIPS & TRICKS

La potenza di Acos(2pf₀t+j) è P=A²/2.

Potenza ed energia sono invarianti per traslazione.

I coeff. x_k della serie di Fourier si possono calcolare anche con la trasf. G(f) della f.elementare g(t).

Quando l'ingersso di un sistema è una funzione periodica, è conveniente svilupparla secondo Fourier e poi calcolarsi lo spettro, che sarà un treno di impulsi.

 

L'autocorrelazione è invariante per traslazioni quindi autocorrelaz.di Asen(2pf₀t+q)=autocorrelaz.di Asen(2pf₀t)

La mutua correlaz.invece, è invariante per traslaz.solo se x(t) e y(t) traslano dello stesso valore.

L'autocorrelazione inoltre è periodica dello stesso periodo della funzione correlante.

Risposta ad un segnale armonico Ae^j2pf0t: A|H(f₀)|e^jF(f0)e^j2pf0t

Risposta ad un segnale Acos(2pf₀t+j): A H(f₀) cos[2pf₀+j j_H(f₀)] (sistema lineare)

Tieni presente che rect_D(t-t₀)=u_-1[t (t₀-D u_-1[t (t₀+D

Se in un sistema lineare x(t) y(t) allora

Quando la relazione che lega y(t) a x(t) è di tipo differenziale, conviene operare nel dominio della frequenza.

d (t)=,poiché d(t)x(t)=d(t)x(0),=d(t)d(0) ovvero un'impulso di area

Ricordati di raddoppiare X⁺(f) quando calcoli Z_x(f)

Per calcolare le componenti analogiche di bassa frequenza si può vedere se è facilmente scomponibile nelle parti pari e dispari.

h(t)=e^-atu_-1(t) j_hh t)=A₀e^{-a t} con A₀=1/2a

Sia nella convoluzione che nella correlazione la y(t-t) si sposta da sinistra a destra per le t (o t) crescenti.

x_s e x_c si ottengono da x(t) moltiplicando per sen(2pf₀t) e cos(2pf₀t) e poi facendoli passare in un passa-basso.

Media e varianza di alcune densità si possono calcolare tramite la funzione caratteristica.

Per calcolare E[h] conoscendo E[h x] si ha che E[h]=E_x[E[h x]] (attento al significato di quest'ultimo termine).

Per risolvere alcuni integrali, specialmente quelli con le gaussiane in mezzo, a volte bisogna mettere in evidenza l'integrale di una densità di probabilità, in modo tale da poterlo poi porre a 1 (anche se m_x è complesso), oppure a volte si può mettere in evidenza anche un momento (es.s ) (vedi pag.3.3).

w x h gaussiane indipendenti è ancora gaussiana (si può vedere tramite la f.caratteristica) con m_w=m_x+m_y e .

Quadratore: f_h(y)=

Una Raileigh in un quadratore h x dà in uscita una esponenziale.

Una gaussiana in un quadratore non dà niente di noto.

w=gaussiane con m=0 e s_x s_y è una Raileigh

Se una f_xh(x,y) è separabile in un prodotto f₁(x) f₂(y) allora x e h sono indipendenti.

Se X e Y sono indipendenti E[XY]=E[X]E[Y] (attenzione E[X X]=E[X] E[X] non vale!).

Variabili bidimensionali: f_{x h}(w)= f_xh(x,w-x)dx

Composizioni di 2 variabili aleatorie e variabili bidimensionali possono essere risolte graficamente.

Nelle composizioni di variabili aleatorie h=g(x) secondo una y=g(x), si può usare sui rami e poi al limite sommare se i rami corrispondono a uguali valori di y. (vedi esercizio pag.9 sugli appunti)

Z=X²+Y² gaussiane con m=0 e s è esponenziale

Variabili che assumono solo valori positivi si possono spostare dentro o fuori i moduli (es. A|cos(t)|=|Acos(t)| )

Ricordati che C_xx(0)=s e R_xx(0)=E[X²(t)]=m₂=m₁₁.

C_xx(0) e R_xx(0) si possono calcolare dagli integrali da - a + delle loro F-trasformate.

Ricorda che la correlazione per i processi è la media E[X(t)X^*(t-t

La correlazione E[Y(t)Y^*(t-t)] può essere calcolata in funzione di X(t) conoscendo E[X(t)X^*(t-t

Anche ai processi si può applicare la linearità di E considerando le parti legate a t come delle costanti.

Nelle correlazioni ricordati il coniugato! E[XX^*].

Essendo R_xx(t)=C_xx(t)+m_x², la sua trasformata S_xx(f) avrà in 0 un impulso di ampiezza m_x² a meno che m_x=0.

L'autocorrelazione (e la covarianza) di un processo armonico è R_xx(t)=C_xx(t)=(1/2)E[A²]cos(2pf₀t

Onda p.a.m. stazionaria con simboli SSL ha m_X= , R_xx(t)=.

L'autocorrelazione all'uscita di un quadratore R_yy(t₁,t₂)=E[X²(t₁)X²(t₂)]=E[X₁X₂X₃X₄], poiché per x x x x gaussiane si ha E[x x x x ]=R₁₂R₃₄+R₁₃R₂₄+R₁₄R₂₃, allora per un processo gaussiano X, vale R_xx(t₁,t₁)R_xx(t₂,t₂)+ +2R_xx(t₁,t₂)R_xx(t₁,t₂) e se il processo è SSL vale R_xx²(0)+2R_xx²(t

L' autocorrelazione di un segn.armonico Acos(2pf₀t+j) è R_xx(t)=A²/2cos(2pf₀t).

Spesso ci sono delle onde p.a.m.camuffate (attento alla g(t-kT-q

Se X(t) è SSS, X(t) e X(t-t₀) hanno la stessa f_x(x) (non dipende da t).

R di un processo derivato è R_yy=.

Un segnale fatto di rect si può scomporre in rect che passa in un sistema con h(t) fatto di impulsi.

Tenere presente tutti i teoremi di Parseval.

e^-j2pkTf=F d(f-kF) con F=1/T.

Tieni presente che F =j2ptx(t).

Nelle integrazioni con u_-1(t) attenzione a metterlo anche dopo (sulla f.integrata).

Sen(2pf₀t+j) e cos(2pf₀t+j) sono ortogonali (infatti )

Anche cos(2pf₁t) e cos(2pf₂t) sono ortogonali.

Quando un processo gaussiano entra in un sistema, quasi sempre ne esce un altro gaussiano.

ESERCIZI IMPORTANTI

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