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Per introdurre la
distribuzione binomiale ricorriamo ad un esempio.
Supponiamo che tre persone (Francesca, Luigi e Tiziano)
escono ciascuno dalla loro casa per andare a prendere il medesimo autobus e che
ciascuno di essi abbia probabilità pari a p di riuscire ad arrivare in
tempo alla fermata (e ovviamente probabilità 1-p di perdere l'autobus):
ci si chiede quale sia la probabilità che due 737d36h dei tre personaggi in questione
riesca nell'intento.
Cominciamo col notare che si richiede la probabilità che due 737d36h prendano l'autobus, senza specificare quali: in questo modo l'evento due persone prendono l'autobus si può verificare in tre modi diversi ossia
1) Francesca e Luigi lo prendono, ma Tiziano no
2) Francesca e Tiziano lo prendono, ma Luigi no
3) Il terzo caso è facilmente intuibile...
Dunque l'evento almeno
in due prendono l'autobus, che denoteremo ,
sarà rappresentabile come
dove F, L
e T sono rispettivamente Francesca, Luigi e Tiziano che prendono
l'autobus, mentre ,
e
corrispondono
ognuno al rispettivo personaggio deluso per aver perso l'autobus.
Potendo inoltre considerare i tre personaggi (eventi)
indipendenti, per i teoremi della somma e del
prodotto
delle probabilità, la probabilità dell'evento sarà:
Ponendo 1 - p = q otteniamo in definitiva
P()
= 3 p2q
Vediamo la
generalizzazione di questo esempio.
Si considerino N prove indipendenti in cui l'evento A può
verificarsi o meno: sia p la probabilità (costante per ogni
prova) che l'evento A si presenti e di conseguenza 1-p=q la
probabilità che esso non si verifichi. Cerchiamo la probabilità che
l'evento A si verifichi m volte in N prove.
Consideriamo a questo
proposito l'evento corrispondente
al verificarsi di A esattamente m volte in N prove.
Come nell'esempio precedente questo evento può realizzarsi in più modi diversi:
decomponiamo allora l'evento in
una somma di prodotti di eventi, consistenti nel presentarsi o meno di A
in una singola prova.
Se denotiamo con il
presentarsi dell'evento A nell'i-esima prova e con
il
non presentarsi di A nell'i-esima prova, abbiamo che ogni variante di
apparizione dell'evento
si
compone di m apparizioni dell'evento A e di n-m eventi
con
indici distinti
Il numero di
combinazioni possibili è uguale a ,
cioè al numero di modi diversi in cui si possono scegliere le m prove,
tra le N totali, in cui abbia luogo l'evento A.
Per il teorema
di moltiplicazione delle probabilità nel caso di eventi
indipendenti, la probabilità di ogni combinazione è pmqN-m.
Essendo le varie combinazioni mutuamente
escludentesi, per il teorema
dell'addizione, la probabilità dell'evento è
pari a :
Il coefficiente è
detto coefficiente binomiale e viene spesso indicato come
:
in particolare il suo valore è
Il coefficiente binomiale che compare nell'omonima distribuzione deriva dall'espansione del binomio di Newton (p+q)N in N+1 termini: tale sviluppo si può scrivere come
e vale per due numeri qualunque p e q e ogni intero positivo n.
La distribuzione binomiale dà la probabilità di ottenere m successi in n prove, quando p è la probabilità di successo in una singola. Il valor medio di tale distribuzione, corrispondente al numero medio di successi, si ricava attraverso il momento iniziale di ordine 1:
Ponendo m - 1 = r otteniamo
Infatti l'ultima sommatoria è equivalente all'espansione del binomio di Newton
considerato nel
nostro caso in cui la somma p+q è uguale ad uno.
Così come abbiamo ricavato il valor medio di successi in N prove,
attraverso il momento
centrale di ordine 2 si può ricavare
la deviazione standard.
Si ottiene così come valore della deviazione standard:
In generale la
distribuzione binomiale non è simmetrica salvo il caso in cui, tipico ad
esempio del lancio della moneta, p sia uguale ad 1/2.
Approfondimento
Soluzione. In questo caso bisogna prestare attenzione ad un particolare: in questo esempio ci viene richiesta la probabilità che almeno due stazioni siano funzionanti. Per fare questo applichiamo il teorema della somma alle probabilità dei seguenti eventi:
non vi è alcuna
interruzione ()
interruzione dovuta
ad 1 stazione ()
interruzione dovuta
ad 2 stazioni ()
interruzione dovuta
ad 3 stazioni ()
La somma delle probabilità di questi quattro eventi ci dà la probabilità che cerchiamo (P) ossia che almeno due stazioni siano funzionanti.
Cioè la probabilità che almeno due stazioni mantengano la comunicazione ad un dato istante è circa il 26%.
Mostrare che la distribuzione degli articoli fallati riportata nella tabella è assimilabile ad una distribuzione di tipo binomiale e determinare la percentuale di articoli prodotti dalla macchina e affetti da qualche difetto.
Soluzione. Dalla tabella riportata calcoliamo quanti articoli difettosi sono stati raccolti in 100 campioni e, di seguito, dividendo per il numero totale dei campioni prelevati, la media della distribuzione empirica riportata in tabella:
Se ora supponiamo che tale distribuzione sia modellizzabile attraverso una distribuzione binomiale, il valore medio di articoli difettosi per ogni campione che ci aspetterebbe è Np: qui N è uguale al numero di articoli per ogni campione cioè 5, percui il calcolo di p (probabilità di trovare un articolo difettoso in un campione di cinque oggetti) è immediato e si ricava:
Np=0.56 porta, nel caso di N=5 a p=0.112 che possiamo ben approssimare con p=1/9
Ovviamente in questo caso q=8/9 e con questi valori di p e q andiamo a calcolare lo sviluppo del binomio di Newton (p+q)Nche ci da la distribuzione binomiale che noi abbiamo ipotizzato:
in questo modo, la nostra distribuzione ipotetica ci dovrebbe dare, su 100 campioni di cinque oggetti ciascuno, 55 campioni privi di articoli difettosi, 35 con un articolo difettoso, 9 con due articoli difettosi, 1 con tre oggetti fallati e nessun campione con quattro o cinque articoli difettosi.
I dati così ottenuti si conformano alla distribuzione sperimentale trovata dagli addetti ai controlli: possiamo quindi riassumere dicendo che la distribuzione è approssimativamente binomiale e la percentuale di articoli difettosi prodotti dalla macchina è stimabile con il valore di p che abbiamo ottenuto, cioè circa 11%.
La distribuzione binomiale riveste
un'importanza notevole nello studio statistico.
E' una distribuzione discreta che modellizza il problema delle prove ripetute;
viene utilizzata quando interessa la ricorrenza di un evento, non la sua
intensità.
Si supponga di effettuare un esperimento casuale consistente in n prove indipendenti e ripetute in cui
l'evento S può essere un
risultato; considerato un numero 0<=x<=n, ci si chiede qual è la probabilità che l'evento S si
presenti x volte su n
prove.
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