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Fluidodinamica

fisica


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Studiare la fisica può essere utile anche al di fuori dei sistemi materiali per poter conoscere al meglio anche i sistemi biologici.

Cominceremo a trattare la meccanica dei fluidi, in special modo dei liquidi ed il loro comportamento all'interno di tubazioni di diversa sezione, allo scopo di trasportare le nostre conoscenze nell'ambito biologico del sistema cardiocircolatorio.


Sistema cardio-circolatorio


Possiamo vederlo come suddiviso in:



sistema propulsivo a pompa (cuore) suddiviso in 4 compartimenti

sistema di condotti messi in parallelo dove avviene lo scambio chimico/fisico




Sfruttando questa analogia squisitamente meccanica possiamo studiare le leggi che regolano i fluidi (fluidodinamica) ed applicarli al sistema circolatorio prima ed a interi organismi in seguito


Fluidodinamica


Dobbiamo partire da un sistema ideale, ossia in assenza di attriti e interventi di forze esterne al sistema.

Naturalmente terremo come base le leggi della conservazione della massa e dell'energia per estrapolare le nostre leggi.


Ovviamente un fluido è un sistema complesso, quindi nn potremo più trattare particelle singole, bensì sistemi formati da più particelle.

Definiamo perciò come unità base una PARTICELLA DI FLUIDO, con volume molto piccolo (10-9) ma formata da un determinato numero di molecol 747b13h e; si tratta ovviamente in entrambi i casi di un volume medio.


A questo punto il nostro studio può avvenire a due livelli:

seguendo le particelle singole(spostamento, reazioni,.....)

seguendo il in comportamento delle particelle in un punto definito del fluido, metodo ovviamente privilegiato in quanto più facile da mettere in pratica



Nel caso da noi studiato sarà necessario conoscere la portata del liquido nel condotto e la sua eventuale variazione. Per farlo,conoscendo i seguenti dati


A=sezione del condotto


ΔV=volume passante per la sezione


Δx=spazio percorso dal volume preso in considerazione



Definiremo la portata Q come


Q=ΔV/Δt in m3/s


Ossia il volume passante in un punto del condotto in un determinato periodo di tempo.


Tenendo conto delle seguenti equivalenze possiamo escogitare nuove equazioni per definire la portata


se ΔV=A*Δx _____ Q=A*(Δx/Δt) ______________→ Q=A*v


v ovviamente intesa come velocità media delle particelle



La legge della conservazione della massa impone che, durante tutto il corso del condotto


Q=cost      e quindi A*v=cost


Cosa accade se A nn è costante ma varia nel corso del tubo?




Considerando che Q è sempre costante, a variare saranno i parametri A e v.

Più di preciso


se           A1<A2 → v1>v2

A1>A2 → v1<v2


Applicando questi termini al sistema circolatorio






L'equazione di continuità continua a funzionare, in quanto la divisione dell'aorta in tanti capillari può essere vista come la divisione in un solo condotto con A uguale alla somma di tutte le A dei singoli capillari



es


v= 0.33 m/s Q=? l/min

r=9mm


A= r2        → Q= r2v


0,0025m2*0,33m/s = 8,4*10-5 m3/s = 5l/min


es 2


di= 2cm


fori N:24 d=0,12cm


vtubo= 1m/s


vcap


Hmax spruzzo verticale


Q= 3,14cm2*100cm/s = 314cm3/s


v= 314cm3/s / 24 = 13,5 /0,0113cm2 = 1194m/s = 11,94m/s


oppure, impostandol'equivalenza


π*r2v1 = 24 (πr2)*ve




imposto, grazie alla legge di conservazione dell'energia, l'equazione


en. cinetica= energia potenziale


mgh = 1/2mve2


h = 6,8m


Lavoro nei fluidi


Ovviamente dobbiamo tenere conto de lavoro necessario a muovere l fluido lungo il tubo, grazie all'equazione


L = ΔK + ΔU


cinetica potenziale


Dobbiamo anche tenere conto della pressione, data dalla forza imposta s una data superficie di fluido


P = F/A in N/m2=Pa


unità di pressione: 1atm = 102.325Pa

1mmHg = 133.3 Pa

1bar = 100KPa= 100000Pa


in base alle affermazioni sopra riprodotte possiamo vedere


L = P*A*Δx




Vediamo un'applicazione pratica



Le forze che agiscono sul sistema sono forze di pressione, di spinta e resistenza


P1A1Δx1 P2A2Δx2

forza di spostamento forza di resistenza


N.B.: A*Δx= ΔV


di conseguenza otterremo


L = P1ΔV - P2ΔV = ΔV (P1-P2)


Tornando all'equazione proposta inizialmente, modifichiamo i termini in maniera da ottenere un'equazione confrontabile con quella appena definita


ΔK = ½ *ς*ΔV (v21-v22) ς = ro = densità


ΔU = ς*ΔV*g (h1-h2)


L = ΔK - ΔU


P1+1/2*ς*v21+ς*g*h1 = P2+1/2*ς*v22+ς*g*h2


equazione di BERNOULLI


Ovvero la legge che regola la conservazione dell'energia meccanica x un fluido ideale incomprimibile


Possiamo avere formule semplificate dell'equazione base nei seguenti casi:


fluido fermo: P1+ς*g*h1 = P2+ς*g*h2

fluido fermo e orizzontale P1= P2

fluido in movimento orizzontale


P1+1/2*ς*v21= P2+1/2*ς*v22


P1-P2= ½* ς (v21-v22)


in questo caso particolare


se      A1>A2 v1<v2 P1>P2

A1<A2 v1>v2 P1<P2




es1

r1=2cm

Q=10-2m3/s

P=1,6*105Pa

P2=105Pa

r2=?



Q=A1*v1=A2*v2                      utilizzo entrambe le equazioni in sistema

P1+1/2ς*v12=P2+1/2ς*v22


v1= Q/A = 10-2/πr2 = 8m/s

___________________

v2 = √2/ς(P1-P2)+v12 = 13,6m/s

_________

A2 = Q/v2           π*r2 = Q/v2 r = √Q/v2 π = 1,5cm



Principio di archimede



Il peso di un corpo di massa m viene percepito e misurato diversamente a seconda del mezzo (fluido) in cui è immerso


Questo perchè su di esso agiscono due forze di verso opposto:

Fg = la forza di gravità, con verso diretto al centro della terra

FA= la spinta di archimede, con verso opposto a Fg e data dalla risultante delle pressioni parziali imposte sul corpo immerso dal fluido

La forza risultante, la quale determinerà come possibile o meno il galleggiamento del corpo sarà = a


FR= -Fg+FA


Per avere una formula + completa e utile, analizziamo le componenti delle forze


Fg = mg = ςc*V*g ςc=densità corpo

ςf=densità fluido

FA = m1g = ςf*V1*g


V e V1, rispettivamente il volume del corpo e dell'acqua da esso spostata, solitamente sn valore coincidenti. Possono però essere differenti in alcuni casi particolari di galleggiamento in cui vi è soltanto una porzione del crpo sotto il livello del fluido. La parte rimanente, non essendo da esso toccata nn risente della spinta di archimede, e nn rientra quindi nella nostra equazione.


Dato che noi non misureremo la forza risultante, bensì la forza pesa che il corpo acquista nel fluido, questa sarà di modulo uguale ma segno opposto rispetto alla FR


Fm= Fg-FA


Assumendo che V sai uguale nei due casi


FR = - ς c*V*g + ςF*V*g =


-V*g( ς c- ς F)


Analizzando i termini in parentesi, possiamo definire la risposta del corpo


ςcF > 0 il corpo affonda

ςcF < 0 il corpo galleggia

ςcF = 0 il corpo rimane stazionario


Per i calcoli è possibile aiutarsi con la ς relativa, uguale al rapporto ςcF


ςrel = Fg/Fg-Fm          N.B. Fg-Fm= FA


es: m=5kg


ς=7,8*103kg/m3


Fm (peso nel fluido)= 6,16N


ςF= ?




ςrel = Fg/Fg-Fm = mg/mg-Fm = 1,14kg/m3


ςF = ςcF = 7,8*103/1,14= 6,83kg/m3


es2:   ςc = 200kg/m3 il corpo è in condizioni di galleggiamento stazionario sezionato dalla superficie

ςF = 103

V1/V=?


Fg=FA                 Fr= 0 -V(ςc-ςF) = 0 ςc*V*g = ςF*V1*g


V1/V = ςcF


Fluidi reali


In un fluido reale dobbiamo tenere conto, oltre alle normali foze applcate al liquido, dell'attrito, forza resistiva che interviene sia fra le molecole del fluido le une con le altre, sia tra queste e le pareti del recipiente/tubo in cui esse si trovano


Vmax

v2

v3

v4

v5



 
Si hanno velocità differenti per ogni ipotetica lamina di liquido, in quanto ognuna di esse è tanto più frenata dall'attrito quanto più si avvicina alle pareti del contenitore





I valori di queste velocità sono in buona parte influenzate dalla veocità; ora vedremo perchè:


Introduciamo il concetto di FORZA DI ATTRITO VISCOSO

Dipende da:

η: coefficiente di viscosità

profilo di velocità (da carattere essenzialmente parabolico, come vedremo in seguito


Δv/Δr = 2vmax/r          il coefficiente 2 è implicito xchè

in un tubo vi è metà inf.

Superficie di contatto


Al =(2πr)l


di conseguenza


Fη = η* 2vmax/r*2πl*r


Fη = 4π*vmax*l


Si misura in Pioseuille (Pl)


Possiamo quindi ora definire le due forze, e compararle. Ciò è però possibile soltanto assumendo che la velocità sia costante. In questo caso la forza di spinta è uguale a quella frenante in quanto il fluido si muove per moto rettilineo uniforme.


ΔP*πr2


= 4πη*vmax*l


4η*vmax*l ΔP*r2

ΔP= ______________ e vmax= _______________

r2 4 η*l

Tornando al discorso della portata, in cui


Q = A*<v>


e tenendo conto del fatto che <v> (vel. Media) nn è altro che ½vmax


ΔP*r2 πr4

Q = πr2*__________ = _______ ΔP legge di HAGEN-POISEUILLE

8η*l 8η*l


Non è più possibile usare l'equazione di bernoulli in quanto la presenza di attrito viscoso non ci permette di considerare l'equazione di conservazione dell'energia, perchè una parte i questa viene dissipata.


Studiando l'equazione appena proposta possiamo notare che il rapporta tra pressione e portata, ci da quello che è stato definito come coefficiente di resistenza idraulica (R)

8η*l

ΔP/Q= _______ = R

πr4


N.B. Il raggio nelle due precedenti equaizoni è elevato alla quarta potenza. Di conseguenza una sua minima variazione implica importanti variazioni di R e Q.


Questa forzatura ha la sua spiegazione nel fatto che, così vista, la nostra equazione, può essere studiata in maniera del tutto analoga alla legge di ohm, che studia, invece di quella idraulica, la resistenza elettrica.



Andamento nei condotti


Grazie all'introduzione della resistenza ora possiamo studiare il comportamento dei fluidi reali all'interno di tubazioni che comportino variazioni di raggio in serie ed in parallelo (analogamente a quanto accade per le reti elettriche)


tubazioni in serie





ΔP1 Q1 R1




ΔP2 Q2 R2




ΔP3   Q3 R2




Nelle tubazioni poste in serie la portata non varia; a cambiare sarà la pressione, quindi


Q1=Q2=Q3=Q

ΔP1+ΔP2+ΔP3= Δptot


Rtot= ΔP/Q = ΔP1/Q+ΔP2/Q+ΔP3/Q= R1+R2+R3










tubazioni in parallelo









R1 R2 R3








ΔPtot= ΔP1=ΔP2=ΔP3


Qtot= Q1+Q2+Q3


Qtot= ΔP/Rtot = ΔP/R1+ΔP/R2+ΔP/R3


1/Rtot =1/R1+1/R2+1/R3


Quanto postulato fin'ora in base all'asserzione che il moto delfluido sia un moto laminare = in ogni suo punto.

Questo vale a basse velocità. A velocità elevate, si viene a formare un moto TURBOLENTO, nn più laminare.














MOTO TURBOLENTO 12/10/06


Questo moto prende il nome dalle turbolenze verticali che vengono a formarsi in un fluido in moto orizzontale







moto laminare                     moto turbolento


Quando questo moto caraterizza solo una piccola parte del condotto, si vengono a formare dei vortici, che trascnano con loro altre particelle aumentando ulteriormente la dissipazione dell'energia prodotta dal moto turbolento


Registriamo perdite dei seguenti tipi


dissipazione

diminuzione del tragitto percorso dalle particelle

trasferimento energetico alle altre molecole


Dato che il moto nn è più laminare nn è più possibile usare la legge di hagel-poiseuille


Bisogna comunque dire che molte volte questo moto presenta caratteristiche positive


rimescolamento sanguigno

rimescolamento dei carburanti durante l'iniezione

formazioni di rumore di fondo durante la compressione di vasi sanguigni, utile per la misura della pressione


Serve pote misurare un limite al di sopra del quale un moto possa essere considerato turbolento per poter usare le giuste leggi nel giusto caso.






DETERMINAZIONE DEL LIMITE (N. DI REYNOLDS)


Cerchiamo un numero adimensionale il cui valore dipenda dalle varirabili caratteristiche dei fluidi e indichi il tipo di moto proprio di quel fluido in quelle condizione.

Dovrà dipendere da:


v = m/s

r = m

ρ=kg/m3

η=N*s/m


Questo coefficiente, detto numero di Reynolds sarà pari a


Re= r*ρ*<v>                             >1000 moto sicuramente turbolento

___________ >1000 moto probabilmente laminare

η


Quando abbiamo a che fare con un moto turbolento nn ci è possibile, data la velocità media, risalire a quella massima, datala decaduta della legge di HAGEL.

In questi casi il moto della singola particelle è imprevedibile






















TENSIONE SUPERFICIALE

La particella ha interazioni con tutte le particelle che la circondano; tutte le forze si bilanciano perfettamente






in questo caso (molecola superficiale), le forze nn sono perfettamente bilanciate; per questo la loro risultante è diretta verso l'interno







La tensione superficiale definisce la tendenza delle molecole superficiale di stare legate le une alle altre.

Questo determina, per esempio, la forma sferica delle gocce d'acqua, forma con superficie relativa inferiore a tutte le altre.






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