I LINGUAGGI FORMALI DEL PRIMO TIPO

STUDIO SINTATTICO E FORMALE del calcolo logico classico del primo ordine

definizione di dimostrabilità logica

definizione di conseguenza logica

teorema della completezza: per i linguaggi formali del primo ordine, i due concetti classici di conseguenza logica e di dimostrabilità logica, benché diversi nella definizione (il primo semantico, il secondo formale e sintattico) sono equivalenti

OPERAZIONE (O FUNZIONE) CALCOLABILE: prendiamo una funzione F che associa ad ogni numero naturale un valore (che solitamente viene denominato con F(n) ); chiamiamo calcolabile questa operazione se, per ogni numero n, il valore F(n) può essere "calcolato" (cioè trovato a partire da n e dalla definizione della operazione) in un numero finito di passi.
Una funzione calcolabile può essere sempre calcolata, in linea di principio, da una macchina/calcolatore.

CONCETTO DI INSIEME: intuitivamente, un insieme può essere vuoto (senza alcun elemento), finito (con un numero finito di elementi) o infinito - detto numerabile quando ha tanti elementi quanti l'insieme dei numeri naturali, detto decidibile quando un procedimento ci permette di decidere in un numero finito di passi se qualcosa appartiene o meno a quell'insieme.

I LINGUAGGI FORMALI DEL PRIMO ORDINE

Un linguaggio formale del primo ordine L è costituito da:

un alfabeto del primo ordine, detto alfabeto di L

la definizione dei termini di L

la definizione delle formule di L

Caratteristiche comuni a:

linguaggi naturali e linguaggi formali

DEFINIZIONI

Un ALFABETO DEL PRIMO ORDINE è un insieme decidibile di cose, dette simboli dell'alfabeto, che sono ripartite nelle seguenti classi:

la classe delle variabili individuali: un insieme decidibile e infinito numerabile di simboli;

la classe delle costanti individuali: un insieme decidibile (vuoto/finito/infinito numerabile) di simboli;

la classe dei simboli di funzione: un insieme decidibile (vuoto/finito/infinito numerabile) di simboli, a ciascuno dei quali è assegnato un numero naturale diverso da 0 (detto "arità" del simbolo);

la classe dei simboli di predicato, un insieme decidibile non vuoto (dunque finito o infinito numerabile) di simboli, a ciascuno dei quali è assegnato un numero naturale detto "arietà" del simbolo;

la classe dei simboli logici, che contiene soltanto i seguenti simboli:

un simbolo di connettivo unario:

i segg. simboli di connettivo binario:

i seguenti simboli di quantificatore: " (universale), (esistenziale)

la classe dei simboli ausiliari, che contiene solamente: ( , )

Questa  situazione descrive un linguaggio formale del primo ordine senza sequenti.

Convenzione - usiamo un metalinguaggio per descrivere il linguaggio formale:

per generiche variabili individuali: x, y, z, .

per generiche costanti individuali: a, b, c, .

per generici simboli di funzione con arietà n: fⁿ, gⁿ, hⁿ, .

per generici simboli di predicato con arietà n: Pⁿ, Qⁿ, Rⁿ, .

Note: traduzione dai linguaggi naturali

operazioni e funzioni:

le variabili individuali traducono nomi comuni di uno stesso tipo di individui;

le costanti individuali traducono nomi propri (considerati semplici) , es. "carlo", "roma", "zero";

i simboli di funzione unari traducono locuzioni funzionali a un posto vuoto, es. "il padre di.", "la capitale di.", "la radice quadrata di.";

i simboli di funzione binari traducono locuzioni funzionali a due posti vuoti, es. "il figlio di. e di.", "il prodotto di. e di.";

proprietà e relazioni:

i simboli predicativi con arietà 0 (ovvero 0-ari) traducono enunciati dei linguaggi naturali che sono (o sono ritenuti) semplici, es. "piove", "fa freddo", "cammina"

i simboli predicativi unari traducono locuzioni predicative a un posto, es. ".è mortale", ".è buono", ".è dispari";

i simboli predicativi binari traducono locuzioni predicative a due posti, es. ".è minore di.", ".è uguale a."

i simboli predicativi ternari traducono locuzioni predicative a tre posti, es. ". è seduto fra. e.";

.and so on: un simbolo predicativo n-ario traduce una locuzione predicativa a n posti!

connettivi

il simbolo di connettivo traduce la locuzione "non" quando essa fa passare da un enunciato a un altro enunciato, es. da "socrate cammina" a "socrate non cammina";

il simbolo di connettivo traduce la locuzione "è" quando essa fa passare da due enunciati a un altro enunciato, es. da "socrate cammina" e "platone medita" a "socrate cammina e platone medita";

il simbolo di connettivo traduce la locuzione "oppure" quando essa fa passare da due enunciati a un altro enunciato, es. dai due visti sopra a "socr. cammina o plat. medita";

il simbolo di connettivo traduce la locuzione "se. allora." quando essa fa passare da due enunciati a un altro enunciato, es. dai due visti sopra a "se socrate cammina, allora platone medita";

quantificanti:

il simbolo di quantificatore " traduce la locuzione "per ogni" o "per tutti gli", quando fa passare da un enunciato con un nome comune a un altro enunciato in cui la quantità di tale nome comune viene specificata, es. dall'enunciato aperto "x cammina" a "per ogni x, x cammina";

il simbolo di quantificatore traduce la locuzione "per qualche" o "esiste un", quando fa passare da un enunciato con un nome comune a un altro enunciato in cui la quantità di tale nome comune viene specificata, es. dall'enunciato aperto "x cammina" a "esiste un x che cammina";

Ci sono enunciati che sembrano non decomponibili, e invece possono essere considerati ottenuti da certi altri enunciati mediante locuzioni connettivanti e locuzioni quantificanti:

(a)       "ogni A è B", es. ogni uomo è mortale;

"per ogni x, se x è A allora x è B"

"per ogni x, se x è uomo allora x è mortale"

(b)       "nessun A è B", es. "nessun uomo è mortale";

"per ogni x, se x è A allora x non è B"

"per ogni x, se x è uomo allora x è mortale"

(c)       "qualche A è B", es. "qualche uomo è mortale";

"per qualche x, x è A e x è B"

"per qualche x, x è uomo e x è mortale"

(d)       "qualche A non è B", es. "qualche uomo non è mortale";

"per qualche x, x è A e x non è B"

"per qualche x, x è uomo e x è mortale"

ESEMPIO

Introduciamo un linguaggio formale del primo ordine L(es) e una sua possibile traduzione:

due costanti individuali: a, b (nomi individuali "carlo" e "maria");

un simbolo di funzione unario: f (locuzione funzionale "il padre di .");

un simbolo di funzione binario:   g (locuzione funzionale "il figlio di . e di .");

un simbolo di predicato zeroario:   P⁰ (enunciato "piove");

un simbolo di predicato unario: Q (locuzione predicativa ". cammina");

un simbolo di predicato binario:     R (locuzione predicativa ". è amico di .")

LINGUAGGIO FORMALE L(pa), Peano' Arithmetics

L'alfabeto del linguaggio formale per l'aritmetica di Peano è l'alfabeto del primo ordine che ha i seguenti simboli specifici:

una costante individuale 0 (trad. nome proprio "zero")

un simbolo di funzione unario ' (apice) (trad. "il successore di .")

due simboli di funzione binari  + x (trad. "la somma / il prodotto di . e di .")

un simbolo di predicato binario  = (trad. ". è uguale a .")

1.2 DEFINIZIONI INDUTTIVE: TERMINI DI UN LINGUAGGIO FORMALE DEL PRIMO ORDINE

La definizione induttiva D di un insieme X consiste di tre parti:

I)       la base di induzione: dichiara appartenenti all'insieme X certi oggetti
(elementi iniziali o atomi di X); il numero può essere arbitrario, anche infinito;

II)     il passo di induzione: fissa una o più procedure di generazione di X; può essere a uno o più argomenti, e tali procedure possono essere iterate o iterate illimitatamente;

III)      la clausola finale: stabilisce che nient'altro appartiene all'insieme X, cioè che ogni elemento dell'insieme X o è un atomo di X relativamente a D o è ottenuto come risultato di una procedura;

Esempio - definizione induttiva dell'insieme N dei numeri naturali:

base d'induzione: 0 è un numero naturale (un solo atomo);

passo d'induzione: se n è un numero naturale, allora il successore di n è un numero naturale (una sola procedura di generazione, ad un unico argomento);

clausola finale: nient'altro è un numero naturale

Quali nomi individuali di un linguaggio comune possono essere tradotti in un qualche linguaggio formale del primo ordine?

Tutti quei nomi individuali che hanno o che possono avere una delle seguenti forme:

un nome individuale da ritenersi "semplice", non decomponibile in parti;
traduzione: un linguaggio formale che abbia una costante individuale;

un nome individuale ottenuto dalla locuzione funzionale mediante il riempimento dei suoi posti vuoti con certi nomi individuali dello stesso tipo di individui;
traduzione: linguaggio formale che abbia un simbolo di funzione con la stessa arietà e che possa tradurre tutti i nomi individuali che hanno riempito gli spazi vuoti;

Esempio: nel linguaggio formale L(es), il nome del linguaggio ordinario italiano
"il padre di carlo" sarà tradotto con i termini f(a)
"il figlio di carlo e maria" sarà tradotto con i termini g(a,b)
"il padre del padre di carlo" sarà tradotto con i termini f(f(a))

FORMULE E SEQUENTI DI UN LINGUAGGIO FORMALE DEL PRIMO ORDINE

DEF. L'insieme delle formule atomiche di un linguaggio formale del primo ordine L è così definito:

ogni costante predicativa zeroaria di L è una formula atomica di L;
traduce un enunciato di un linguaggio naturale;

se Pⁿ è una costante predicativa n-aria di L, e t₁,.,t_n sono termini di L, allora la parola
Pⁿ(t₁,.,t_n) è una formula atomica di L;
traduce una certa locuzione predicativa a n posti vuoti, e i termini t₁,.,t_n sono traduzioni di n nomi di un linguaggio naturale;

Esempio: considerato il linguaggio L(es), l'enunciato del linguaggio ordinario italiano
"il padre di carlo è italiano" sarà tradotto con i termini Q(f(a))
"il figlio di carlo e maria è amico del padre di carlo" sarà tradotto con i termini R([g(a,b)],f(a))

DEF. L'insieme delle formule di un linguaggio formale del primo ordine L è definito dalla seguente definizione induttiva:

BASE DI INDUZIONE: se A è una formula atomica di L, allora A è una formula di L;

PASSO D'INDUZIONE: se A è una formula di L, allora ( A) è una formula di L;
se A è una formula di L e B è una formula di L, allora sono formule di L
(A B); (A B); (A B)

se A è una formula di L, x è una variabile individuale e A non contiene alcuna parola della forma "x o x, allora sono formule di L

"xA); ( xA)

CLAUSOLA FINALE: nient'altro è formula di L

Esempio: considerato il linguaggio L(es), l'enunciato del linguaggio ordinario italiano
"se piove allora il padre di carlo non cammina" tradotto con i termini P⁰ Q(f(a))
"tutti gli amici del figlio di carlo e maria"    tradotto con i termini "x R(x, g(a,b))

"qualcuno cammina e non è il padre di maria"   tradotto con i termini x [Q(x) R(x, f(b)))]

Quali enunciati di un linguaggio comune possono essere tradotti in un qualche linguaggio formale del primo ordine?

Tutti quegli enunciati che hanno o che possono avere una delle seguenti forme:

un enunciato da ritenersi "semplice", non decomponibile in parti;
traduzione: un linguaggio formale che abbia un simbolo zeroario;

un nome individuale ottenuto dalla locuzione predicativa mediante il riempimento dei suoi posti vuoti con certi nomi individuali dello stesso tipo di individui;

traduzione: linguaggio formale che abbia un simbolo di predicato con la stessa arietà e che possa tradurre tutti i nomi individuali che hanno riempito gli spazi vuoti;

un enunciato ottenuto mediante la locuzione "non" da un enunciato traducibile;

un enunciato ottenuto, a partire da due enunciati traducibili, mediante le locuzioni "e", "o", "se. allora.";

un enunciato ottenuto, a partire da due enunciati traducibili, mediante le locuzioni "per ogni x" oppure "per qualche x";

Esempio: l'enunciato "ogni amico del figlio di carlo e di maria" trova traduzione nella formula

"x [R(x, g(a,b)) R(x, f(a))]

CONVENZIONE - conviene ridurre al minimo l'uso delle parentesi nelle formule: stabiliamo di omettere sempre le parentesi esterne; in assenza di parentesi, connettivi e quantificatori vanno letti in questo ordine di precedenza: 1) "

DEF.    sia L un linguaggio formale del primo ordine:

in una formula di L, avente la forma "xA o xA, la parola xA è detta campo d'azione di "x e x;

un'occorrenza di una variabile x in una formula A di L è detta vincolata se e soltanto se è nel campo d'azione di un "x o x; un'occorrenza non vincolata di una variabile x in una formula A di L è detta libera;

una variabile x occorre libera in una formula A di L se e soltanto se c'è almeno una occorrenza libera di x in A;

una formula A di L è detta chiusa se e soltanto se nessuna variabile occorre libera in A; una formula A di L è detta aperta se e soltanto se A non è chiusa (cioè ci sono variabili che occorrono libere in A);

NOTA - una variabile può occorrere sia vincolata che libera in una stessa formula

Esempio: nella formula "y R (x,y) x (Q (x) R (x,f (y))) y R (y,z)

Sono vincolate: le occorrenze I, II, IV, V di y e le occorrenze II, III, IV di x - mentre le altre occorrenze di variabili sono libere.

2.1 PRIMI ELEMENTI DI TEORIA CLASSICA DEGLI INSIEMI - la concezione classica

Riassumendo.

il significato possibile di:  è:

enunciato chiuso  proposizione

nome individuale  individuo

locuzione connettivante    connettivo

locuzione quantificante quantificatore

locuzione predicativa (a 1 posto) proprietà

locuz. predicat. a n-posti relazione con quel n° di posti

locuzione funzionale a n-posti funzione a n-posti

Convenzione.

per denotare: useremo le lettere:

cose o oggetti qualunque x, y, z, . (nomi comuni di cose e oggetti)

insiemi qualunque X, Y, Z, . (nomi comuni di insiemi)

relazione di appartenenza
di una cosa a un insieme   x X

NOTA: uno stesso linguaggio formale del primo ordine può essere fatto parlare di diversi possibili mondi insiemistici;  [cfr. realizzazione standard del linguaggio formale dell'aritmetica di Peano].

Per determinare del valore delle espressioni significative: TERMINI, FORMULE, SEQUENTI

è necessario fissare 1) una particolare realizzazione del linguaggio e, se tale espressione contiene variabili libere, 2) fissare una particolare interpretazione delle variabili pertinenti alla realizzazione data.

Il valore di un temine (o formula) sotto una particolare realizzazione del linguaggio e sotto una particolare interpretazione pertinente ad essa sarà detto valore di quel termine (o formula) sotto tale realizzazione e interpretazione.

VALORE DI UN TERMINE: viene scelto come campo di variazione delle variabili individuali; ciò risponde all'idea che il valore di un termine è un individuo, e gli individui di cui parla un linguaggio sono gli elementi dell'insieme scelto come campo di variazione delle variabili individuali;

VALORE DI UNA FORMULA: è un elemento dell'insieme dei valori di verità ossia uno dei due valori di verità; ciò corrisponde all'idea che il valore di una formula è una proposizione, e una proposizione è nient'altro - nella concezione classica - che uno dei due valori di verità.

APPUNTI BY DANY2000

LA LOGICA: OBIETTIVI - cerca di individuare e caratterizzare i modi del ragionamento corretto (esso fa in modo che la verità transiti dalle premesse alla conclusione).

Una conclusione è conseguenza logica di date premesse se il modello delle premesse è modello delle conclusioni; cioè se ogni interpretazione che rende vere le premesse rende vere anche le conclusioni.

Il linguaggio formale mette in luce le strutture logiche e di implicazione del linguaggio trascurando le sfumature di significato.

Alfabeto del linguaggio formale (simboli primitivi):    trad:
- costanti individuali (a, b, c, .) insieme vuoto, finito, infinito nomi propri
- variabili individuali (x, y, z, .) insieme infinito nomi comuni
- simboli funzionali (f, g, h³, .) insieme vuoto, finito, infinito locuzioni funz. a n-posti
- simboli predicativi (P, Q, R³, .) insieme non vuoto enunciati dei ling. naturali
- un simbolo di connettivo unario non
- quattro simboli di connettivo binario se/allora, e, o, se e solo se
- due quantificatori " (univ: per ogni, per tutti), (esist: per qualche, esiste)
- tre simboli ausiliari ( ) ,

Definizione di TERMINE (di un linguaggio formale del 1° ordine):
# base dell'induzione: ogni var. indiv. di X è un termine di X, ogni cost. indiv. di X è un termine di X;
# passo dell'induzione: per ogni n diverso da 0, se fⁿ è un simbolo funzionale di X con arietà n, e t₁, t₂, .t_n sono termini di X, allora è un termine di X la parola fⁿ(t₁, t₂, .t_n);
# clausola finale: nient'altro è termine di X

Def. di ARIETA': specifica di quanti argomenti necessita il simbolo predicativo per diventare una formula atomica e specifica di quanti argomenti hanno bisogno i simboli funzionali per diventare termini.

Definizione di FORMULA ATOMICA:
# base dell'induz: ogni simbolo predicativo zeroario di X è una formula atomica di X;
# passo dell'induz: se Pⁿ è un simbolo predicativo n-ario di X, e t₁, t₂, .t_n sono termini di X, allora la parola Pⁿ(t₁, t₂, .t_n) è una formula atomica;

Definizione dell'INSIEME DELLE FORMULE di X
.vedi spiegazione a pag. 4

Se in una formula sono presenti connettivi o quantificatori, la formula non è atomica: le formule semplici (atomiche) non contengono quantificatori, ma solo un predicato con tanti termini quanti sono richiesti dalla sua enarietà.

Quando una variabile è preceduta da un quantificatore è detta vincolata;
se la variabile non è quantificata è detta libera.
Se tutte le variabili presenti sono quantificate la formula è chiusa;
se alcune variabili non sono quantificate la formula è detta aperta.

IL LINGUAGGIO PROPOSIZIONALE:
- non ha né variabili né costanti individuali;
- non ha simboli funzionali;
- non ha simboli predicativi con enarietà superiore a 0;
- non ha quantificatori
- ha i connettivi:
- ha simboli predicativi con enarietà pari a 0 (P⁰, Q⁰, R⁰, .)

FORMULE DEL LINGUAGGIO PROPOSIZIONALE
Ogni costante predicativa zeroaria (= lettera enunciativa) è una formula ben formata.
Se A e B sono formule ben formate allora ( A), (A B), (A B), (A B), (A B) sono formule ben formate.
Nient'altro è una formula ben formata.

TAVOLE DI VERITA'
- (p q): VERA quando entrambe sono vere (negli altri casi: falsa)
- (p q): FALSA quando entrambe sono false (negli altri casi: vera)
- ( p): VERA quando "p" è falsa e viceversa
- (p q): FALSA quando "p" vera e "q" falsa (negli altri casi: vera)
- (p q): VERA quando entrambe v o entrambe f (negli altri casi: falsa)
- p q  (p q)
- p q  (p q) (q p)
- p q p q)

TAUTOLOGIA: enunciato che è sempre vero quasiasi sia il valore di verità dei suoi enunciati;
esprime una legge logica; non dipende da come è fatto il mondo;non esprime fatti riguardanti il mondo; è sempre vera.
- (p p) principio del terzo escluso;
- (p p)   principio di non contraddizione;
- p p   principio di identità

CONTRADDIZIONE: negazione di una legge logica; è sempre falsa; il suo valore di verità non dipende da quello dei suoi componenti; il valore della formula è indipendente dal significato associato ai suoi termini.

Un enunciato è CONSEGUENZA LOGICA di un altro enunciato se il nostro enunciato di conclusione è vero in tutti i modelli in cui sono veri gli altri enunciati.

FUNZIONE DI REALIZZAZIONE E FUNZIONE DI INTERPRETAZIONE
Le formule atomiche CHIUSE "P(a)" hanno ricevuto un valore di verità, ma le formule atomiche APERTE "P(x)" non sono né vere né dalse in un modello; a questo scopo subentra la FUNZIONE DI INTERPRETAZIONE che non modifica il significato delle costanti bensì agisceunicamente sulle variabili, associando ad esse uno specifico individuo appartenente al dominio.
Quindi "P(x)" è vera quando appartiene all'insieme individuato da P(funz. di realizzaz.) che la funz. di interpretaz. ha associato alla variabile

DEFINIZIONE INDUTTIVA DI VERITA' IN UN MODELLO
Definita la verità per le formule atomiche
una formula complessa del tipo "A B" "A B" sarà vera in un modello se e solo se la formula A e la formula B sono vere in quel modello;
la formula "A B" sarà vera in un modello se e solo se non si dà il caso che A sia vera e B sia falsa in quel modello;
la formula "A B" è vera in quel dato modello se A e B sono vere o entrambe false nel modello;
la formula A è vera nel modello se e solo se A è falsa in quel modello.

Un argomento è valido se è una LEGGE LOGICA.
La semantica del linguaggio primo ordine non ci fornisce un metodo di decisione per stabilire se un enunciato è una verità logica.
Ci fornisce però una procedura di generazione di tutte & solo le LEGGI LOGICHE.
Individuate alcune formule (schemi di assiomi) e alcune regole di derivazione, tramite esse possiamo derivare dagli schemi di assiomi altre verità logiche.
Ottengo da questo procedimento l'insieme dei teoremi logici.
Esistono poi due metateoremi che ci assicurano che i teoremi logici sono verità logiche:
- teorema della validità: tutti i teoremi logici sono verità logiche;
- teorema della completezza: i teoremi logici sono tutte le verità logiche.
Una formula ben formata è un teorema se e solo se è una legge logica. Le leggi logiche sono però infinite. L'insieme dei teoremi logici è semidicibile poiché esiste una procedura di generaz. ma non di decisione.

Definizione di TEOREMA
Ogni assioma logico di X è teorema logico classico di X
1 - applicazione delle regole del modus ponens: se A e A B sono termini logici di X allora B è un teorema logico di X;
2 - applicazione regola di quantificazione universale: se A B(x) è un teorema logico di X, e x non è libera in A, allora A "xB(x) è un teorema logico di X;
3 - applicazione regola di quantificazione esistenziale: se A(x) B è teorema logico di X, e x non è libera in B, allora xA(x) B è un teorema logico di X;
# conclusione: nient'altro è teorema logico di X

Il valore di verità di un enunciato complesso dipende dal valore di verità degli enunciati componenti.

Un enunciato atomico non può mai essere una tautologia.
Se un enunciato è una tautologia, l'argomento è un argomento valido.
Ad ogni schema di argomentazione valido corrisponde una tautologia.
Un argomento è sempre valido se è una tautologia.

La logica proposizionale ci permette di stabilire se un argomento è valido, ma questo non si può stabilire con la logica del 1° ordine.

Definizione di LEGGE LOGICA: le leggi logiche sono enunciati che valgono indipendentemente da altri enunciati; non hanno bisogno di alcuna premessa; una legge logica è una conseguenza logica di un insieme di zero premesse; essa è una verità valida in tutti i modelli; il suo valore di verità dipende dalla struttura e non dalle parole ad essa associata.

Nel linguaggio proposizionale, una volta stabilita la verità dei connettivi, riesco a stabilire la verità/falsità degli enunciati.
Per il linguaggio formale del 1° ordine ciò non è possibile: è necessario trovare una definizione di verità delle formule, cioè un enunciato è vero se è una verità logica.
- associamo* al nostro linguaggio un universo di discorso (= dominio di quantificazione);
- associamo alle variabili un insieme caratterizzato da un modello;
- associamo alle costanti uno specifico oggetto dell'insieme;
- associamo ai simboli funzionali una funzione (unaria, binaria, ternaria.);
- associamo ai simboli relazionali una relazione (con la stessa enarietà del simbolo relazionale);
- associamo ai connettivi le funzioni di verità.

FUNZIONE: associare ad ogni individuo un altro individuo (la funzione unaria è vista come un insieme di coppie tra le quali sussiste una relazione);
FUNZIONE DI REALIZZAZIONE (*): consiste nell'associare ad ogni costante un elemento dell'insieme di quantificazione;
LA RELAZIONE UNARIA: è un sottoinsieme dell'insieme di quantificazione;
LA RELAZIONE BINARIA: è un sottoinsieme dell'insieme di tutte le coppie ordinate che possono essere costituite a partire dal nostro dominio.

Siamo in grado di stabilire la verità di formule atomiche che non contengono quantificazioni e variabili nel nostro modello:
- "P(a)" è vera se l'individuo associato ad "a" appartiene al sottoinsiemedel dominio denotato da P;
- "R(a,b)" è vera se la coppia costituita dagli individui denotati da "a", "b" appartengono al sottoinsieme dell'insieme delle coppie denotato da R.

La verità di una formula non viene definita in modo assoluto bensì in un modello, avendo presente qual è l'insieme che abbiamo associato alle variabili.
La verità in un modello dipende dalla funzione di realizzazione.

Le leggi logiche sono particolari formule del linguaggio che sono vere in tutti i modelli, data una qualsiasi funzione di realizzazione.