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MAGNETISMO NEL MODELLO DI HUBBARD

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MAGNETISMO NEL MODELLO DI HUBBARD

Il modello degli elettroni itineranti si modifica sostanzialmente se si tiene conto della interazione degli elettroni tra di loro e con le vibrazioni degli ioni del reticolo.

Il primo effetto è dovuto alla interazione Coulombiana e se ne può tener conto in modo approssimato aggiungendo alla Hamiltoniana degli elettroni itineranti H=T un termine che aumenta l'energia se c'è una doppia occupazione dei siti.

                                                                           Eq.(1)

Tale modello ,introdotto da Hubbard (1964? ), è stato ed è oggetto di molti studi perchè pur nella sua semplicità concettuale non è susce 949i85j ttibile di soluzioni esatte (diagonalizzazione di H) tranne che in casi particolari e peraltro prevede correttamente le proprietà di diversi sistemi fisici reali. In particolare il modello di Hubbard prevede la possibilità di un ordinamento magnetico, la possibilità cioè di una RSS per quel che riguarda l'invarianza di H rispetto alla rotazione di p degli spin.

Per studiare questa possibilità possiamo procedere come nel caso del modello di Ising, aggiungiamo ad un termine Hrs che rompa la simmetria.

                              Eq.(2)




Possiamo interpretare Hrs come l'interazione con un campo magnetico esterno costante su tutti i siti del reticolo. Se trascuriamo il termine associato all'"hopping" T in H, ci riduciamo al cosiddetto "limite atomico" in cui tutti i siti sono indipendenti. In tale limite possiamo facilmente calcolare gli autostati e gli autovalori dell'operatore K=H-mN che determina il peso statistico nell'ensemble Gran Canonico.

Gli autostati sono il vuoto con autovalore nullo, lo stato singolarmente occupato con Spin up con con autovalore -m-h ,lo stato singolarmente occupato con Spin down con con autovalore -m+h, lo stato doppiamente occupato con Spin up e down con con autovalore -2m+U(abbiamo eliminato l'energia associata al sito e ridefinendo il potenziale chimico in m=m+e ). Si verifica che il campo magnetico h ha rimosso la degenerazione in energia degli stati singolarmente occupati.

Si osservi a questo punto che la funzione di partizione del sistema costituito da N siti indipendenti è semplicemente il prodotto di N termini identici ciascuno associato alla hamiltoniana di singolo sito.

                                                                                    Eq.(3)

Dalla conoscenza di degli autostati ed autovalori di H-mN possiamo calcolare Za e da questa l'energia libera del sistema.

                            Eq.(4)

          

Otteniamo infine la magnetizzazione come derivata dell'energia libera rispetto al campo magnetico h.

        

                            Eq.(5)

L' Eq.(5) ci fa vedere come la m sia diversa da zero nel limite di h che tende a zero solo se prima si opera il limite di temperatura nulla. In tale limite il sistema raggiunge lo stato fondamentale in cui gli Spin sono orientati secondo il campo magnetico ed in tale stato permane quando il campo viene rimosso. A temperatura non nulla invece alla magnetizzazione contribuiscono solo gli stati singolarmente occupati che danno un contributo eguale ed opposto nel limite di h nullo.

Nel limite atomico si ha RSS limitatamente allo stato fondamentale, cioè solo nel limite di temperatura nulla.

Per ottenere RSS anche a temperatura non nulla per ottenere cioè un reale stato termodinamico con RSS occorre considerare l'effetto dell'"hopping".

Intuitivamente ci possiamo aspettare che l'"hopping" dia luogo ad una correlazione tra lo stato di spin degli elettroni in siti adiacenti. Tale correlazione importa una maggiore inerzia dello stato ordinato che riesce così a soprevvivere a temperatura non nulla.

Come avevamo accennato la diagonalizzazione si ottiene solo con un procedimento approssimato noto come metodo del campo molecolare. L'approssimazione consiste nel supporre che almeno per quella parte dllo spazio di Hilbert di maggiore interesse fisico (Stato fondamentale e primi stati eccitati ad esempio) si possa introdurre la seguente approssimazione.

                                                              Eq.(6)

E' interessante controllare che l'approssimazione di Eq.(6) sia valida sullo stato fondamentale del sistema nel limite atomico. Mediante Eq.(6) otteniamo una nuova Hamiltoniana detta Hamiltoniana di Campo molecolare.

                              Eq.(7)

In Eq.(6)  sono due costanti da determinarsi con il seguente metodo variazionale.

Determiniamo gli autostati ed autovalori di Hcm e l'energia libera F del sistema. Tale Energia libera dipenderà dai parametri  che saranno a loro volta determinati imponendo che F sia minima (a temperatura nulla la condizione di energia libera minima coincide con la condizione di minma energia dello stato fondamentale).

Da tale condizione di minimo otteniamo che i parametri  coincidono col valor medio statistico-quantistico dell'operatore numero di occupazione associato rispettivamente agli stati con Spin up e down mediato su tutti siti.

                                            Eq.(8)

L'Hamiltoniana di Campo Molecolare si diagonalizza immediatamente passando al reticolo reciproco.

                                                                 Eq.(9)



               

                                                                                                      

Si noti che in Eq.(8) l'energia associata a ciascun modo q è diversa a seconda dello stato di Spin, l'elettrone risente infatti di una interazione con il campo magnetico esterno e con un "campo interno" proporzionale al numero medio di elettroni con Spin opposto. Ne consegue che a temperatura nulla saranno occupati preferibilmente gli stati con Spin "up" perchè il campo interno ed il campo magnetico porta gli stati con Spin "down" ad avere una energia superiore. Se il campo interno che agisce sugli elettroni con Spin "up" si mantiene diverso dal campo interno che agisce sugli elettroni con Spin "down" anche nel limite di campo magnetico nullo avremo una magnetizzazione non nulla in tutto un intervallo di temperatura compreso tra zero ed una temperatura finita detta temperatura di transizione. Tale stato termodinamico è detto "fase ferromagnetica" .

Calcolando la media statistico-quantistica di Eq.(9) otteniamo:

                                     Eq.(10)

Conviene introdurre la cosiddetta "densità degli stati la cosiddetta densità degli stati tramite la seguente definizione.

                                                             Eq.(11)

Il vantaggio dell'introduzione della densità degli stati è di separare il problema associato alla struttura del reticolo. Utilizzando la definizione di densità degli stati ed esprimendo nup ed ndown in termini della occupazione totale media  e della magnetizzazione media  dall'Eq.(10) otteniamo due equazioni trascendenti accoppiate per  in termini di n ed m.

                                              Eq.(12)

                                              Eq.(13)

La soluzione del sistema di Eq.(12,13) si semplifica per un particolare valore per il potenziale chimico m=U/2 . Per tale scelta del potenziale chimico il valor medio del numero di occupazione è pari ad uno sia nella teoria esatta ad "hopping "nullo che nella approssimazione di campo molecolare, questa è la condizione di banda semipiena ovvero un elettrone in media per stato.

E' immediato verificare che per m=U/2 la condizione di banda semipiena è verificata dall' Eq.(12,13). La magnetizzazione si esprime nella stessa ipotesi come segue.

                              Eq.(14)

Si noti che Eq.(14) è una equazione trascendente per m. La soluzione si può ottenere con un metodo grafico. La funzione di m a secondo membro della Eq.(14) varia tra due asintoti posti a m=1 ed m=-1,tale funzione è simmetrica per h=0 ed interseca la bisettrice y=m (primo membro dell'Eq.(14)) nell'origine ed eventualmente in due punti diversi da zero se la pendenza nell'origine supera quella della bisettrice. La temperatura di transizione si ottiene per pendenza eguale a quella della bisettrice. Tale condizione corrisponde alla seguente equazione.

                             Eq.(15)

L'Eq.(15) è la tipica equazione per la temperatura critica nell'approssimazione di Campo Molecolare.

Nonostante il notevole successo dell'approssimazione di Campo molecolare conviene sottolineare una imprtante limitazione: l'approssimazione risulta qualitativamente sbagliata nel limite atomico . In tale limite infatti la densità degli stati diviene una delta di Dyrac e l'Eq.(15) si semplifica in

                                                         Eq.(16)

Si ottiene cioè una temperatura critica diversa da zero anche nel limite atomico in chiara contraddizione con il risultato esatto ottenuto precedentemente.

Nonostante questa limitazione la teoria di Campo medio è comunemente accettata come una prima approssimazione valida per ampiezza dell'interazione U piccola rispetto all'ampiezza dell'hopping t per tutte le temperature non troppo vicine alla temperatura critica.

E' interessante notare la conseguenza che la transizione alla fase ferromagnetica ha sulle proprietà di conduzione. Al di sopra della temperatura critica la banda semipiena corrisponde, per quanto detto precedentemente, ad un conduttore. Al disotto della temperatura critica la magnetizzazione porta ad una separazione in energia della banda associata allo Spin up da quella associata allo Spin down e la prima risulta completamente occupata, almeno a temperatura nulla, abbiamo pertanto un isolante.

Conviene infine menzionare che altri ordinamenti magnetici sono possibili e talvolta energeticamente favorevoli( danno luogo cioè ad una energia libera minore rispetto a quella che si ha per l'ordinamento ferromagnetico) Ad esempio l'ordinamento antiferromagnetico in cui, per m=U/2, nello stato fondamentale si alternano in ogni direzione Spin "up" e Spin "down".







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