I NUMERI REALI - La definizione di numero

riflessiva: a=a;

simmetrica: a=b b=a;

transitiva: a=b b=c a=c;

II)      due relazioni d'ordine, minoranza < e maggioranza >, con le loro proprietà:

antisimmetrica: a>b b<a;

transitiva: a<b b<c a<c;

" a>b b>c a>c;

III)   4 operazioni (chiamate addizione +, sottrazione -, moltiplicazione e divisione /) con le proprietà formali:

Addizione:

7) chiusura: a+b A "a,b A

8) commutativa: a+b=b+a;

9) associativa: (a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c;

10) esistenza dell'elemento neutro (detto zero) 0: a+0=a;

Sottrazione:

11) inversa dell'addizione: a-b=c c+b=a;

12) invariantiva: a-b=(a c)-(b c);

Moltiplicazione:

13) chiusura: a b A "a,b A

14) commutativa: a b=b a;

15) associativa: (a b) c=a (b c)=abc;

16) distributiva: a (b+c)=(a b)+(a c)=ab+ac;

17) esistenza elemento neutro (detto unità) 1: 1 a=a;

18) esistenza elemento assorbente (zero): 0 a=0;

19) annullamento del prodotto: a b=0 a=0 b=0;

Divisione:

20) inversa della moltiplicazione: a/b=c c b=a;

21) invariantiva: a/b=(a c)/(b c), "c

Uguaglianza, maggioranza e minoranza si chiamano le 3 relazioni d'ordine; addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione si chiamano le 4 operazioni aritmetiche.

Si può facilmente verificare che:

l'insieme N= dei numeri naturali è un insieme numerico;

l'insieme Z= dei numeri interi relativi è un insieme numerico;

l'insieme Q=, dove le classi [m/n]= si chiamano numeri razionali, è un insieme numerico.

Osserviamo che questi insiemi numerici si costruiscono tutti a partire dall'insieme fondamentale N Z è infatti definito direttamente tramite N, mentre Q è definito tramite Z che è definito tramite N. L'allargamento procede dunque nella direzione

N Z Q

Osserviamo inoltre che, tramite prima una corrispondenza biunivoca tra un insieme numerico ed un sottoinsieme del successivo e poi un processo di astrazione, N diventa sottoinsieme di Z

N

N Z | | | ... (corrispondenza 1-1)

Z

N Z (astrazione)

N Z

Allo stesso modo, una corrispondenza 1-1 ed un'astrazione fanno diventare Z sottoinsieme di Q. Detto Qⁱ l'insieme delle frazioni apparenti, si ha:

Z

Z Qⁱ : | | | | | à (corrispondenza 1-1)

Qⁱ

Z Qⁱ (astrazione)

Z Q

ottenendo finalmente la catena di inclusioni

N Z Q

L'astrazione è resa possibile non solo perché esiste la corrispondenza 1-1 tra due insiemi, ma anche perché la somma, la differenza, il prodotto ed il quoziente di due elementi in un insieme ha per corrispondente nell'altro insieme rispettivamente la somma, la differenza, il prodotto ed il quoziente degli elementi corrispondenti. Lo stesso vale per le relazioni d'ordine: a questo punto, matematicamente, i due insiemi si dicono isomorfi e i loro oggetti sono indistinguibili a meno della simbologia. Per questo i due insiemi vengono identificati.

Osserviamo infine che quelle date nella definizione di numero sono le condizioni minime, e sono tutte soddisfatte nell'insieme N dei numeri naturali. Altri insiemi numerici possono soddisfare ulteriori condizioni: per es., l'insieme dei numeri interi relativi Z ha anche la proprietà di chiusura per la sottrazione (mentre in N la sottrazione si può eseguire solo se il minuendo non è minore del sottraendo), e la proprietà nell'addizione dell'esistenza per ogni numero del suo opposto: Z è un insieme numerico che ha la struttura ulteriore di anello; ancora, per es., l'insieme dei numeri razionali Q ha tutte le proprietà di Z, ed inoltre la proprietà di chiusura della divisione (con l'unica eccezione dello 0), e la proprietà nella moltiplicazione di esistenza per ogni numero 0 del suo inverso: Q è un anello che ha la struttura ulteriore di campo.

L'anno scorso avevamo anche accennato all'insieme Q* dei numeri irrazionali ( p, ecc.), e li avevamo definiti come "numeri decimali illimitati non periodici". Questa definizione non è però soddisfacente matematicamente

a)   perché è negativa: usando gli aggettivi "illimitati" (=non limitati) e "non periodici" essa dice che cosa i numeri irrazionali non sono, piuttosto di indicarne le caratteristiche positive;

b)   perché è deficitaria: non dimostra che quelli sono numeri, né tantomeno insegna a stabilire le relazioni d'ordine e ad eseguire le 4 operazioni dell'aritmetica.

I numeri irrazionali sono troppo importanti perché ci possiamo permettere il lusso di ignorarli (dovremmo altrimenti rinunciare a misurare la diagonale dei quadrati, o la lunghezza di una circonferenza, ecc.). D'altra parte però dobbiamo trovare una maniera positiva di costruirli, a partire dagli unici insiemi numerici che al momento conosciamo (N Z e Q), ed imparare ad eseguire su di essi le 4 operazioni dell'Aritmetica. Per fare questo, dovremo prenderla un po' alla larga.

§2. Classi contigue di numeri razionali

Definizione. Due insiemi A e B di numeri razionali si dicono coppia di classi separate di numeri razionali se ogni numero della classe A è minore di ogni numero della classe B.

Dunque le due classi A e B si dicono separate se "a A Q "b B Q, si ha a<b. Per es., le classi

A

B A 17 B Q

sono separate.

Definizione. Una coppia di classi separate A e B di numeri razionali si dice coppia di classi contigue di numeri razionali - e la indicheremo con la scrittura (A, B) - se, scelto un numero razionale positivo e piccolo quanto si vuole, esiste un numero a A ed un numero b B, tali che b-a<e. La coppia (A, B) dell'es. precedente non è una coppia di classi contigue, perché qualunque siano i numeri a e b scelti nelle due classi, la loro differenza è evidentemente sempre maggiore di 17-8=9, e quindi se noi scegliamo un numero e<9, la definizione di classi contigue non può essere soddisfatta. Invece, le due classi di numeri razionali

C

D C  D

sono non solo separate, com'è evidente; ma anche contigue, perché se scegliamo per es. e=0,0001, possiamo trovare in C il numero a=(7/3)-0,00002 ed in D il numero b=(7/3)+0,00005 la cui differenza è

b-a=0,00007<e

Definizione. Data una coppia di classi contigue (A, B), se esiste un numero razionale s maggiore o uguale a tutti gli elementi di A e allo stesso tempo minore o uguale a tutti gli elementi di B, esso si chiama elemento separatore di (A, B).

Dunque, per definizione di elemento separatore

s³a, "a A

s b, "b B

Nell'es. della coppia (C, D) un elemento separatore era evidentemente s=7/3. Ce ne sono altri? in generale, quanti elementi separatori possono avere due classi contigue? Vale intanto il seguente

Teorema. 'Una coppia di classi contigue di numeri razionali non può avere più di un elemento separatore.'

Dimostrazione (ad absurdum). Supponiamo che una coppia (A, B) abbia 2 elementi separatori, s ed s', e poniamo per fissare le idee s<s'. Chiamiamo d la differenza tra s' e s: d=s -s. Allora, poiché "a A "b B, si ha per definizione di elemento separatore

b-a

a s<s b,  | | s s | |

a s s b

ne deriva che

b-a s s=d.

Se scegliamo perciò e<d, non troveremo nessuna coppia di numeri razionali nelle due classi la cui differenza sia minore di e; e ciò è in contraddizione col fatto che le due classi sono contigue. Quindi la premessa (esserci due elementi separatori) è falsa. C.v.d. A questo punto, sono possibili solo due casi:

o una coppia di classi contigue di numeri razionali possiede un solo elemento separatore (v. l'es. (C, D));

o una coppia di classi contigue di numeri razionali non ha nessun elemento separatore. Prima di dare un es. di questo secondo caso, diamo il seguente

Lemma. Non esiste in Q la 2, cioè non esiste un numero razionale x, tale che x²=2.

Dimostrazione. Questo x evidentemente non può essere un numero intero, perché 1²=1 e 2²=4: dunque, se esiste un tale x in Q, è una frazione compresa tra 1 e 2. Ammettiamo che sia già ridotta ai minimi termini, m/n= 2. Allora (m/n)²=2; cioè m²/n²=2. Ma se m/n è ridotta ai minimi termini, vuol dire che m ed n sono primi tra loro. In questo caso anche m² ed n² sarebbero primi tra loro e quindi il loro rapporto non può essere 2! Quindi non esiste un numero razionale uguale alla 2. C.v.d.

Esiste tuttavia un algoritmo con cui è possibile scrivere un numero razionale che approssima, per difetto o per eccesso, la 2 bene quanto si vuole; con questo vogliamo dire che, scelto un numero e>0 piccolo quanto si vuole, è possibile trovare un numero razionale a tale che |a²-2|<e. A questo punto consideriamo la seguente coppia di classi di numeri razionali:

F

G

Anche F e G sono evidentemente separate. Sono anche contigue perché possiamo trovare un numero razionale che approssima la 2 tanto quanto vogliamo: per es., posto e=0,0001, possiamo scegliere

f=1,41421 (f F perché f²=1,9999899241<2),

g=1,41422 (g G perché g²=2,0000196226>2),

g-f=0,00001<e

Questa volta, però, non esiste un numero razionale che sia di tutti i numeri di F e di tutti i numeri di G, proprio perché non esiste un numero razionale = 2 e tuttavia possiamo con i numeri razionali approssimare per difetto o per eccesso la 2 bene quanto vogliamo: quindi queste due classi contigue non hanno nessun elemento separatore. Osserviamo anche che, in questo es., F G Q

Definizione. Una coppia di classi contigue di numeri razionali (A, B), tale che A B Q, si chiama sezione razionale.

Poiché due classi contigue sono necessariamente separate, abbiamo anche A B ; quindi una sezione è una partizione di Q. Vale ora il seguente

Teorema fondamentale. 'L'insieme R di tutte le sezioni razionali è un insieme numerico, anzi un campo.'

Per dimostrare questo teorema, dovremmo

a)   riuscire a costruire 3 relazioni =, < e > e 4 operazioni +, -, e / in R; e poi

b)   dimostrare che queste relazioni ed operazioni godono delle proprietà formali d'un campo.

Una dimostrazione così dettagliata si esegue nei corsi universitari; noi, per farcene un'idea, considereremo l'es. di due particolari sezioni razionali ed eseguiremo su di esse l'operazione di addizione e moltiplicazione. Consideriamo queste due sezioni razionali: la precedente a=(F, G) - i matematici scrivono a 2 - e la sezione razionale b=(H, K) così definita:

H

K

Anche b è una sezione razionale, com'è facile dimostrare: i matematici la indicano col simbolo 5. Dunque b=(H, K). Costruiamo ora con quelle classi la seguente nuova coppia di classi

M

N

È facile dimostrare che queste nuove classi sono una sezione razionale g=(L, M), che i matematici chiamano somma delle due sezioni a e ß:

g=a+b

Si potrebbe anche dimostrare che questa operazione gode di tutte le proprietà formali dell'addizione. Sempre con le sezioni originarie, potremmo costruire un'altra coppia di classi:

V

W

Si può dimostrare che anche la coppia (V, W) è una sezione razionale d, che i matematici chiamano prodotto delle due sezioni originarie a e ß ed indicano

d=ab

Si può anche dimostrare che questa operazione tra sezioni razionali gode delle proprietà formali della moltiplicazione. In maniera analoga si possono costruire sulle sezioni a e ß le operazioni di sottrazione e divisione nonché le relazioni dell'ordine, le une e le altre con le loro proprietà, e dimostrare così il teorema fondamentale.

Definizione. L'insieme R di tutte le sezioni razionali si chiama campo reale ed i suoi elementi (le sezioni razionali) si chiamano numeri reali.

Abbiamo visto che ci sono 2 tipi di sezioni razionali, quelle aventi uno ed un solo elemento separatore (che è un numero razionale s), per es.

(I, L)=(,); s

e quelle non aventi elemento separatore, per es.

f=(S, T),

S

T

Il campo reale R viene così ripartito in due sottoinsiemi:

R

R"=,

R R"=R

R R"=

Noi possiamo stabilire una corrispondenza biunivoca ed isomorfica tra Q ed R', Q R': basta associare ad ogni numero razionale p Q la sezione razionale (A, B) avente p come elemento separatore. Poi, con un processo di astrazione, identifichiamo

Q=R'

e possiamo così dire che i numeri razionali Q coincidono con i numeri reali del tipo R' (cioè con le sezioni razionali aventi elemento separatore); di qui

Q R

Quanto ad R", diamo la seguente

Definizione. Si chiama numero irrazionale un elemento di R", cioè una sezione razionale priva di elemento separatore. D'ora in poi, invece di R", scriveremo Q

Dunque, la sezione a=(F, G) dell'es. di sopra è un numero irrazionale, il numero 2; ß=(H, K)= 5 è un altro numero reale irrazionale; g 5 un altro numero reale irrazionale ancora; d 5 è un altro irrazionale ancora, ecc. Abbiamo

Q R

Q Q R L'universo R

Q Q

Q   Q

A questo punto conosciamo 4 insiemi numerici, uno incluso nell'altro:

N Z Q R

Q* è un insieme numerico? La risposta è no: non vale, per es., la proprietà di chiusura dell'addizione e della moltiplicazione. Non sempre infatti, il prodotto o la somma di due numeri irrazionali sono un numero irrazionale:

Q*, ma:

N

Z

Quindi Q* non è un insieme numerico perché l'addizione e la moltiplicazione non godono della proprietà di chiusura. Ancora, più semplicemente, chi è l'elemento neutro dell'addizione? 0, ma questo non è un numero irrazionale! Quindi Q* non ha nemmeno l'elemento neutro dell'addizione. Né quello neutro della moltiplicazione, 1...

Nel prossimo anno la nostra conoscenza si allargherà ad un nuovo tipo di numeri ancora: il campo C dei numeri complessi. Ma per intanto tutti i nostri studi matematici avranno come universo numerico il campo reale:

U R

§3. Il campo reale R

Rivediamo le relazioni e le proprietà formali delle operazioni definite in R

I) Le 3 relazioni d'ordine

1) LA RELAZIONE DI UGUAGLIANZA. Gode di 3 proprietà:

a)   riflessiva: p=p, "p R

b)   simmetrica: p=q q=p;

c)   transitiva: (p=q  q=r) p=r.

2) LE RELAZIONI DI MAGGIORANZA E DI MINORANZA. Godono di 2 proprietà:

a)   antisimmetrica: p> q q< p;

b)   transitiva: (p> q q> r) p> r  e (p< q q< r) p< r.

II) Le operazioni aritmetiche

1) L'ADDIZIONE. Gode di 5 proprietà:

a)   chiusura: p+q R "p, q R

b)   commutativa: p+q=q+p;

c)   associativa: (p+q)+r=p+(q+r)=p+q+r;

d)   esistenza dell'elemento neutro, 0: p+0=p;

e)   esistenza dell'elemento opposto -p "p -p: p+(-p)=0 .

2) LA SOTTRAZIONE. Gode di 2 proprietà:

a)   chiusura: p-q R "p, q R

b)   invariantiva: p-q=(p+k)-(q+k),  "p, q, k R

3) LA MOLTIPLICAZIONE. Gode di 8 proprietà:

a)  chiusura: pq R "p, q R

b)   commutativa: pq=qp;

c)   associativa: (pq)r=p(qr)=pqr;

d)   esistenza dell'elemento neutro, 1: 1p=p1=p;

e)   esistenza dell'elemento assorbente, 0: 0p=p0=0;

f)    annullamento del prodotto: pq=0 (p=0 q=0);

g)   distributiva: p(q+r)=pq+pr;

h)   esistenza dell'elemento inverso, 1/p: "p 1/p: p(1/p)=1.

4) LA DIVISIONE. Gode di 2 proprietà:

a)   chiusura: p/q R "p, q R, q

b)   invariantiva: p/q=pk/qk, "p, q, k R q, k

Insomma, come Q, anche R è un campo. Come Q, anche R

è un insieme infinito,

è un insieme ordinato,

è un insieme denso.

R tuttavia ha una struttura matematica più complessa di Q, perché gode di una quinta proprietà non esistente in Q

R è un insieme continuo.

Che cosa significa? Vediamo. Come abbiamo costruito sezioni razionali, potremmo ora costruire sezioni reali:

Definizione. Si chiama sezione reale una coppia di insiemi di numeri reali (L P) tali che:

ogni numero reale della classe L è minore di ogni numero reale della classe P (cioè, L e P sono separate);

dato un numero reale e>0, piccolo quanto si vuole, esiste un numero reale a in L ed un numero reale ß in P tali che b-a<e (cioè, L e P sono contigue);

l'unione di L e P dà R L P R (cioè, essendo anche L P L e P sono una partizione di R

Un es. di sezione reale è il seguente: (L, P) con

L

P

Chiameremo elemento separatore d'una sezione reale (L, P) un numero reale s, se c'è, di tutti i numeri della prima classe è e di tutti i numeri della seconda classe. Con riferimento all'es. precedente, abbiamo evidentemente s=3. Quanti elementi separatori reali può avere una sezione reale? Nel caso delle sezioni razionali, abbiamo visto che esse erano di due specie: quelle che avevano uno (ed un solo) elemento separatore razionale e quelle che non ne avevano nessuno. Con le sezioni reali invece, la situazione è differente. Si potrebbe dimostrare infatti il seguente

Teorema. 'Ogni sezione reale ammette sempre uno, ed un solo, elemento separatore, che è un numero reale.'

Affermare la continuità di R significa proprio questo, che ogni sezione reale ha un elemento separatore reale. Un significato più intuitivo del termine sarà dato in geometria.