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Esperimentazioni I - Misura del periodo d'oscillazione di un pendolo-

fisica


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Esperimentazioni I

-Misura del periodo d'oscillazione di un pendolo-

L'esperienza consiste nel calcolare il periodo d'oscillazione di un dato pendolo tramite l'uso di un cronometro centesimale. Al fine d'ottenere un valore accettabile del periodo, ne eseguiremo una serie di misurazioni che andremo poi ad analizzare statisticamente al fine di verificarne le incertezze.

Dopo aver verificato la stabilitą del pendolo a nostra disposizione ed avendo controllato che stesse "in bolla", siamo passati a determinare la deviazione standard rispettivamente della sensibilitą e dell'accuratezza dello strumento. Essendo DS=0.01 s l'intervallo di tempo minimo misurabile dal nostro cronometro, la s(accuratezza) e la s(sensibilitą) saranno :



             sa= 0.01s/2= 0.005 s    

             ss= 0.01s/Ö12= 0.0028s

Essendo s(a) indice dell'errore di misura dello strumento, ed essendo esso rappresentato da tre cifre significative, manterremo tale numero di cifre anche nel valutare le nostre successive misure. Poiché il valore espressamente riportato sul display del cronometro č espresso con sole due cifre significative, ed al fine di diminuire il valore di  s(s) ( 0.01s/nÖ12), misureremo un periodo di n=3 oscillazioni. Infine, onde diminuire possibili  errori di parallass 232h73c e, cercheremo di mantenere costante l'angolo visivo del misuratore.

Dopo aver effettuato un numero di cinquanta misurazioni, ed aver diviso ogni singola misurazione per 3, andremo a riportare i valori nella seguente tabella:

1

1.510

1.520

1.556

1.503

1.506

2

1.526

1.516

1.546

3

4

1.540

1.523

5

1.550

1.543

6

1.536

7

1.533

8

1.530

         La tabella rappresenta la frequenza con la quale un dato valore č stato misurato

Ogni valore č inteso in secondi.

Con i dati acquisiti procederemo alla costruzione di un istogramma, scegliendo un intervallo Dx tale da garantire un n° accettabile di valori che cada entro esso, nel nostro caso prenderemo un intervallo pari a 0.005s. Porremo in ascissa il valore min e max riscontrato diviso per Dx, e quindi in ordinata il n° di volte cui esso compare in un dato intervallo, espresso come nk/(N Dx), dove nk rappresenta quante volte il valore k cade nell'intervallo Dx, diviso il n°  N totale di misurazioni effettuate. La miglior stima per T (periodo) č rappresentata da :      Xm= Sni xi/N = 1.533 s

Avendo eseguito un numero di N misurazioni relativamente piccolo, faremo uso della sx cosģ detta "migliorata", che andrą a correggere la tendenza della sx normale nel sottostimare l'incertezza nelle singole misure x1,.,xn

La deviazione standard migliorata  č :  sx =Ö  Si (xi - x-)2/N-1 = 0.011 s

Tale valore indica l'incertezza relativa alle singole misure x1,.,xn e ci garantisce che tali valori saranno gaussianamente distribuiti attorno al valore  Xm.

Se andassimo ora a ripetere una singola misura, mantenendo gli accorgimenti presi, avremo una confidenza del 68% che questo nuovo valore cada entro sx dal valore esatto.

Con i dati ora in nostro possesso, siamo in grado di costruire tale gaussiana, calcolandone i valori in ogni  Dx medio

G(x)= (1/sxÖ 2p)  e -  [(Dxi/2) - Xm ] /2 (sx)2     per n Dx   dove n=12(numero di intervalli considerati)

Per G( Xm ) avremo che exp di -e- =0, quindi G(Xm)= [1/0.011(Ö 2p) ] * 1 = 36.276

Trovati i 12 valori di G(x), passiamo a costruire la curva rappresentante la distribuzione d'errore (come mostrato in - graph 1- ) ricordando la relazione


                                                            G(x) =     n k/ N  Dx         

Dove l'elemento evidenziato č proprio il termine gią riportato in ordinata, rappresentante la frequenza con cui una misura k cade in un dato intervallo Dx . Vogliamo ora determinare l'incertezza relativa al valore xÆ, dobbiamo quindi considerare un nuovo valore di sx detto deviazione standard della media (sxm); esso č legato alla sx tramite la seguente espressione:

sXm = sx /  ÖN

Nello specifico avremo :  sXm =  0.011 s / Ö 50 = 0.001 s

Se adesso andiamo a sostituire tale valore nell'espressione della Gaussiana, otterremo un'altra curva ( rappresentata in  - graph 2 - ) che ci dą una confidenza al 68% che ogni altra stima di Xm cada entro sXm


G(x)= (1/ sXm Ö 2p)  e -  [(Dxi/2) - Xm ] /2 (sXm)2     

Per G( Xm ) avremo che exp di -e- = 0, quindi G(Xm)=  [1/ 0.001s (Ö 2p) ] * 1 = 256.515 

Per x = 1.530 s , G(x)= (1/ sXm Ö 2p)  e -  [(1.530 s ) - 1.533 s ] /2 (sXm)2 = 39.952




Facendo un confronto  fra i due grafici ottenuti possiamo renderci conto di come la distribuzione d'errore  ottenuta sia molto pił stretta della precedente, il che ci garantisce una buona confidenza nella determinazione di Xm Siamo ora in grado di dare la nostra miglior stima per il periodo del pendolo T1.

L'errore st sarą dato dalla somma in quadratura di sx (casuale) con le relative componenti sistematiche sa ss previamente calcolate :

st1 = Ö ss2+ sa2 + sxm2 = Ö 8.33 10 - 6 s + 25 10 - 6  s + 2.42 10 - 6 s = 0.006 s


 Possiamo quindi concludere che   T1 = 1.533 s +/- 0.0061 s

Passiamo ora ad eseguire un nuovo set di misurazioni, questa volte effettuate da un secondo misuratore, cercando di mantenere i medesimi accorgimenti usati nel precedente set.

Otteniamo quindi i seguenti valori:

1

1.560

1.536

1.500

2

1.510

3

1.533

1.540

4

1.526

1.523

1.513

1.520

1.550

5

1.543

9

1.503

               La tabella rappresenta la frequenza con la quale un dato valore č stato misurato

         Ogni valore č inteso in secondi.

Ed otteniamo per Xm, sx ,sXm rispettivamente :

Xm    = 1.525 s

sx      = 0.016 s

sXm  = 0.002 s

La miglior stima per T2 sarą :


st2 = Ö ss2 sa2  sx2    = Ö 8.33 10 - 6 s + 25 10 - 6 s + 4 10 - 6  s =  0.006 s


T2 = 1.525 s +/- 0.006 s

Se ora volessimo accertare che tale valore appena ottenuto sia compatibile con il valore di T1 gią ottenuto, dovremo verificare che la differenza di T2 - T1 disti per meno di t s da x (prendendo un limite di confidenza del 5 %)

t = ½ T2 - T1  ½/ s

dove s =Ö st22 + st12 = Ö (0.006 s)2 +(0.006s)2 = 0.008 s

t = 0.008 s / 0.008 s = 1

Il limite da noi scelto ci dice che t deve giacere entro 1.96, nel nostro caso quindi possiamo giudicare tale valore accettabile. Sapendo che i due risultati ottenuti sono compatibili, possiamo attuare quella che viene chiamata una media pesata, essa ci darą la miglior stima per il valore di T sia :

 

T = w1 Xm1 + w2 Xm2 / w1 + w2


Dove    w1= 1/ st1    e        w2 = 1/ st2

Nel nostro caso w1 = w2, quindi :

T = w (Xm1 + Xm2 )/ 2 w = (1.533 s + 1.525 s) / 2 =  1.529 s


E        stot = s/Ö2 = 0.0042


Otterremo quindi che la miglior stima di   T = 1.529 s +/- 0.0042 s







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