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CODIFICA DELLE INFORMAZIONI SU CALCOLATORE
In un calcolatore tutta l'informazione è codificata in forma binaria, cioè in sequenze di zero ed uno.
A seconda del dispositivo fisico considerato, i valori zero ed uno sono rappresentati mediante un fenomeno fisico che può assumere solo due possibili stati: tensione elettrica alta o bassa, stato di polarizzazione magnetica positiva o negativa.. La scelta di limitarsi a due stati determina minori possibilità di guasti o errori.
L'UNITA' DI INFORMAZIONE ELEMENTARE gestita da un calcolatore corrisponde allo stato di un dispositivo fisico che, per convenzione, è rappresentato con una cifra binaria: tale unità viene detta Binary Digit o BIT.
L'unico alfabeto che è compreso dalla macchina è il binario.
Poiché il computer adotta sistemi di numerazione differenti da quello decimale, conviene ricordare alcuni elementi sulla rappresentazione posizi 727c24h onale dei numeri.
CRITERI DI RAPPRESENTAZIONE POSIZIONALE DEI NUMERI
ENTITÀ ASTRATTA
("sette")
univocamente determinata
NUMERO
RAPPRESENTAZIONE (VII, 7, (111)2, .)
molteplice a seconda dei criteri di rappresentazione adottati
Rappresentazione unaria o additiva: ogni unità è rappresentata con un simbolo uguale (ad es. conchiglie, bastoncini,.) e ogni numero è una sequenza di tante unità quanto è il valore del numero; tale rappresentazione non consente di gestire numeri molto grandi e di costruire regole efficienti per le operazioni (esempio: numeri romani).
Rappresentazione posizionale scelto un intero b>1 e b simboli ordinati (corrispondenti alla presentazione dei primi b naturali b-1), ogni naturale si può esprimere come combinazione opportuna di tali simboli:
VALORE INTRINSECO (compreso tra e
b-1 : posizione occupata dentro la lista dei simboli.
VALORE PESO dato da bn posizione occupata entro il numero ed equivalente alla potenza della base corrispondente.
Per convenzione, si adotta il sistema decimale: b=10 e i simboli sono dati dalle cifre arabiche:
Ogni naturale N in notazione decimale si esprime come:
N = (Cn Cn-1 .. C0)10 = Cn 10n + Cn-1 10n-1 + . + C0100
ESEMPIO: ( N = (Cn Cn-1 .. C0)10 = Cn 10n + Cn-1 10n-1 + . + C0100
Ci
ogni Ci ha valore peso 10i e valore intrinseco ORD(Ci) Ci;
C0 è la cifra meno significativa (corrisponde a
Cn è la cifra più significativa (corrisponde a 10n
(Cn Cn-1 .. C0)10 è detta FORMA SINTETICA del numero N
In generale, in un sistema di numerazione con base b >1, ogni intero positivo N si presenta come:
ove ORD (Ci) è il numero naturale corrispondente a ci
ORD(Ci) VALORE INTRINSECO
bi VALORE PESO
Questa rappresentazione è detta FORMA SINTETICA.
Se si usano come simboli le cifre arabiche, ORD (Ci ) Ci (se b
BASE SIMBOLI
0,1,2,3,4,5,6,7
0,1,2,3,4,.,A,B,C,D,E,F
"trecentosettantadue"
"duecentoottantasette "=(287)10=2 102 + 8 101 + 7 100 (100011111)2=(10133)4=(437)8=(11F)16=(8V)32
La rappresentazione posizi 727c24h onale è adottata anche per rappresentare i numeri reali.
Scelto un numero intero b>1, ogni numero reale a non nullo si può rappresentare nel seguente modo:
a=( anan-1.ao. a-1a-2a-3.)b = FORMA SINTETICA
=segno(a) (an bn + an-1 bn-1 +.+ a0 b0 + a-1 b-1 + a-2 b-2 + .)
segno(a) = +1 o spazio bianco se a>0 o se a<0;
[a]=an bn + an-1 bn-1+.+ a0 b0=(anan-1.ao)b
si dice PARTE INTERA
si dice PUNTO RADICE
a-[a]=a-1 b-1 + a-2 b-2 + .=( a-1a-2a-3.)b
si dice PARTE FRAZIONARIA
Se la parte frazionaria è 0, il numero è un intero.
Se la parte frazionaria è finita, il numero è un razionale con rappresentazione finita.
Se la parte frazionaria è infinita, il numero è un razionale periodico o un reale con rappresentazione infinita
ESEMPI
RAZIONALE FINITO
parte intera (100)2 =(4)10
parte frazionaria (.1)2=(.5)10
(2A.8)16=2 161 + 10 160 + 8 16-1 =(42.5)10 RAZIONALE FINITO
parte intera (2A)16 =(42)10
parte frazionaria (.8)16=(.5)10
(3.243F..)16=3 160 + 2 16-1 + 4 16-2 + 3 16-3 + 15 164+.=
REALE INFINITO
parte intera (3)16=(3)10
parte frazionaria (.243F.)16=(.141592.)10
Il numero reale zero si rappresenta con in qualunque base b>1
Un reale si può scrivere in:
forma mista (che è la rappresentazione appena vista):
( anan-1.ao. a-1a-2a-3.)b
forma scientifica: il numero reale viene scritto nella seguente forma, che prevede la specificazione di una MANTISSA e di una PARTE ESPONENTE (costituita da una potenza della base con esponente espresso nella base della mantissa):
(0.anan-1.aoa-1a-2a-3.)b bn+1
(0.0anan-1.aoa-1a-2a-3.)b bn+2
(an . an-1.aoa-1a-2a-3.)b bn
Quando la parte intera è nulla e la prima cifra dopo il punto radice è non nulla, la rappresentazione si dice SCIENTIFICA NORMALIZZATA.
forma mista
forma scientifica
forma scientifica normalizzata
si dice MANTISSA
si dice PARTE ESPONENTE
si dice ESPONENTE
forma mista
forma scientifica normalizzata
.451 si dice MANTISSA
si dice PARTE ESPONENTE
si dice ESPONENTE
forma mista
forma scientifica normalizzata
si dice MANTISSA
si dice parte ESPONENTE
si dice ESPONENTE
(.3243F.)16 161 forma scientifica normalizzata
.3243F. si dice MANTISSA
si dice parte ESPONENTE
si dice ESPONENTE
In forma normalizzata, la MANTISSA è sempre <1 e maggiore o uguale a b-1
In base , se si usa la forma normalizzata, la prima cifra della mantissa è sempre
Numero dei simboli
Complessità dell'aritmetica
Lunghezza delle stringhe
(la stringa che rappresenta un numero in base è circa tre volte più lunga della stringa che lo rappresenta in base
+ |
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La somma può dare un riporto di ; il prodotto può dare un riporto compreso tra e b-2.
Valgono le
stesse regole e proprietà formali della aritmetica decimale ma si devono
usare tavole diverse da quelle pitagoriche per addizione e moltiplicazione.
Conversione di un numero reale a da base 10 a base b
Parte intera di a: [a]=N
Metodo delle divisioni successive
Si eseguono successive divisioni intere di N (la prima volta) o dei vari quozienti ottenuti (le volte successive) per la base b, fino a ottenere un quoziente
I resti ottenuti, convertiti nei simboli della base b, sono le cifre di N nella nuova base dalla meno significativa alla più significativa.
ESEMPI
resto 0
resto 1
resto 1
resto 0
resto 1
resto 1
resto 1
resto 1 (246)10=(11110110)2
resto 6
resto 6
resto 3 (246)10=(366)8
resto 5
resto 15=F (246)10=(F5)16
Parte frazionaria di a: a-[a]= N
Metodo delle moltiplicazioni successive
Si eseguono successive moltiplicazioni di N (la prima volta) o delle parti frazionarie (le volte successive) per la base b fino a ottenere un prodotto nullo o un numero sufficiente di cifre. Le parti intere dei prodotti successivi, convertite nei simboli della base b, sono le cifre di N nella nuova base.
0.1 x 2 = 0.2 p. intera 0
0.2 x 2 = 0.4 p. intera 0
0.4 x 2 = 0.8 p. intera 0
0.8 x 2 = 1.6 p. intera 1
0.6 x 2 = 1.2 p. intera 1
0.2 x 2 = 0.4. p. intera 0 (0.1)10=(0.00011.)2
0.1 x 5 = 0.5 p. intera 0
0.5 x 5 = 2.5 p. intera 2
0.5 x 5 = 2.5. p. intera 2 (0.1)10=(0.02.)5
0.5 x 2 = 1.0 p. intera 1 (0.5)10=(0.1)2
segno = -
[|a|] (metodo delle divisioni successive)
a-[|a|] (metodo delle moltiplicazioni successive)
a
Divisioni successive
resto 1
resto 0
6:2=3 resto 0
3:2=1 resto 1
1:2=0 resto 1
Moltiplicazioni successive
.375 x 2= .750 p. intera 0
.750 x 2= 1.500 p. intera 1
.5 x 2 = 1.00 p. intera 1
Conversione di un numero reale a da base b a base
Si sfrutta la rappresentazione posizi 727c24h onale, perché permette di usare aritmetica in base
ESEMPIO
Conversione di un numero reale a da base b1 a base b2
Si passa attraverso la base
ESEMPIO
Conversione di (1221)7 in base 2:
conversione da base 7 a base 10
conversione da base 10 a base 2
resto 0
resto 0
resto 0
57:2=28 resto 1
28:2=14 resto 0
resto 0
resto 1
resto 1
resto 1 (456)10=(111001000)2
Pertanto (1221)7 = (111001000)2
CASO PARTICOLARE
Conversione da base b1 a base b2 con :
b2 = b1k: si staccano gruppi di k cifre a partire dal punto radice verso destra e verso sinistra, completando con zeri quelli incompleti
ESEMPIO. a = -(1101110.01)2
In base
5 6 . 2 )8
In base
- 0110 1110 . 0100
6 E . 4 )16
b1 = b2k: si espande ogni cifra della rappresentazione in base b1 in k cifre che esprimono la conversione della cifra nella nuova base b2
ESEMPIO
a = (53.7)8
in base 2 (k=3)
5 3 . 7
a = -(E4.A)16
in base 2 (k=4)
E 4 . A
- (1110 0100 . 1010)2
Binario |
ottale |
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NUMERI DI MACCHINA
Numeri fixed point: permettono di rappresentare un intervallo di interi.
Rappresentazione di un intero positivo N=(anan-1.a0)2
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an |
an-1 |
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a0 |
t+1 t t-1 1
Se n+1 t, la rappresentazione è corretta: fi(N)=N
Se n+1>t, si ha l'OVERFLOW intero (non rilevato dal computer).
La rappresentazione di un intero N con più di t cifre binarie è non corretta: fi(N) N
Il massimo intero positivo rappresentabile correttamente è 2t-1
ESEMPIO. t+1=3
000 rappresentazione fixed di 0
001 rappresentazione fixed di 1
010 rappresentazione fixed di 2
011 rappresentazione fixed di 3
3 è il massimo intero positivo rappresentabile.
Rappresentazione di un intero negativo N=-(anan-1.a0)2
Si considera |N| espresso in base
si esegue 2t+1-|N|
si rappresenta il numero ottenuto in t+1 bit.
Il risultato è detto rappresentazione di N complemento a in t+1 bit.
ESEMPIO. t+1=3
Per N=-1, si ha
La rappresentazione di complemento a in bit è
Per N=-2, si ha
La rappresentazione di complemento a in bit è
Per N=-3, si ha
La rappresentazione di complemento a in bit è
Per N=-4, si ha
La rappresentazione di complemento a in bit è
Si osservi che la rappresentazione complemento a in t+1 bit si ottiene:
q sostituendo con e con nella rappresentazione binaria del valore assoluto del numero (complemento a 1)
q aggiungendo
oppure:
q ponendo nella posizione della cifra meno significativa non nulla
q cambiando con e con nelle successive cifre a sinistra
ESEMPIO
si ha:
q
q rappresentazione fixed di
oppure
q
q
Il minimo intero rappresentabile correttamente è
100000.00000= 2t+1- |N| =2t N=-2t
Nella rappresentazione fixed di un intero, il bit t+1 è
per gli interi positivi e lo zero
per gli interi negativi.
ESEMPIO. t+1=4
Rappresentazione fixed |
Intero |
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Sono rappresentabili esattamente come numeri fixed point solo gli intero nell'intervallo [-2t , 2t -1].
Generalmente alla rappresentazione degli interi sono riservati 4 byte, ossia t+1=32 bit. Pertanto è possibile rappresentare correttamente gli interi tra
Operazioni tra numeri fixed point.
Somma t+1=4
Operandi di segno uguale:
(3)10 0011 (3)10 0011
(2)10 0010 (5)10 0101
(5)10 0101 (8)10 1000 overflow!!
1000 è la rappresentazione di -8
1101 (-5)10 1011
1110 (-4)10 1100
(-5)10 1011 (-9)10 0111 overflow!!
0111 è la rappresentazione di 7
OVERFLOW intero: sommando due numeri dello stesso segno, si può ottenere un numero che è interpretato cal calcolatore come un numero di segno contrario.
Operandi di segno opposto: è il caso della differenza; viene eseguita sommando al primo numero la rappresentazione complemento a 2 del secondo.
(3)10 0011 (5)10 0101
(-2)10 1110 (-7)10 1001
(1)10 (-2)10 1110
a,b>0
=(2t+1+a-b) troncato a t+1 cifre (se a>b)
fi(a-b)=(a+2t+1-b)
=
=(2t+1-(b-a)) (se a<b)
Non si verifica mai overflow: il risultato è già rappresentato nella forma complemento a 2.
Moltiplicazione : costituita da una combinazione di somme e spostamenti.
0011 (3)10
0100 (4)10=
0000 (12)10
0000
0011
0000
0001100
Divisione: costituita da una combinazione di differenze e spostamenti.
10010 |0101 (18)10 5)10=(3)10
0101 |11
01000 resto 3
0101
0011 resto
L'ARITMETICA TRA NUMERI FIXED POINT È ESATTA SE RESTA NEL RANGO DEGLI INTERI RAPPRESENTABILI.
Numeri floating point: permettono di approssimare l'insieme dei numeri reali; in realtà rappresentano esattamente solo un insieme finito di numeri razionali.
a=(-1)s (a0 . a1 a2 a3 ..)2 2p a0
segno: 1 bit per la rappresentazione di s se a>0 se a<0
mantissa: poiché a0=1 sempre, si rappresentano le successive t-1 cifre binarie più significative, perdendo le cifre successive (troncamento o arrotondamento), in questo modo si rappresentano t cifre pur avendo a disposizione solo t-1 bit (formato IEEE: t=24
esponente: rappresentazione per traslazione; si hanno un numero predefinito l di bit a disposizione; si possono rappresentare dunque 2l differenti informazioni; allora in genere:
da a 2l/2 -1 si rappresentano esponenti negativi da -2l/2 a -1
2l/2 rappresenta l'esponente
da 2l/2+1 a 2l-1 si rappresentano esponenti positivi da a 2l/2-1
ESEMPIO. l=3
Rappresentazione binaria esponente
per traslazione espresso in base 10
3
2
1
100 0
011 -1
010 -2
-3
-4
(esponente + 4)2 = rappresentazione dell'esponente
4 (e più in generale 2l/2), ossia la rappresentazione dell'esponente nullo è il bias da aggiungere all'esponente per ottenere la sua rappresentazione.
Nel formato IEEE, l=8 e bias=
Si rappresentano esattamente gli esponenti che stanno nell'intervallo di interi [
rappresentazione dell'esponente in base 2 in 8 bit=
(esponente + 127)10 = (esponente +01111111)2
Rappresentazione dell'esponente 0 = (0 + 127)10 = 01111111
Rappresentazione dell'esponente -126 = (- 126 + 127)10= 00000001
Rappresentazione dell'esponente 127 = ( 127 + 127)10 = 11111110
00000000 e 11111111 sono riservati.
Si noti che per gli esponenti positivi il bit più significativo della loro rappresentazione è 1, mentre per quelli non positivi assume valore 0.
ESEMPIO.
Rappresentazione di (4.25)10 come numero floating point in formato IEEE.
(4.25)10 = (100.01)2= 1.0001 210 10+01111111=10000001 esponente)
s esponente mantissa (23 bit)
10000001 00010000000000000000000 (4 byte=32 bit)
Non sono rappresentabili:
numeri reali con parte esponente superiore a 2127 1038 (OVERFLOW: il calcolatore si arresta);
numeri reali con parte esponente inferiore a 2-126 10-38 (UNDERFLOW: il calcolatore considera il numero come zero e prosegue l'elaborazione).
Il più grande numero reale rappresentabile in valore assoluto è:
3.40 1038
Il più piccolo numero reale vicino allo zero in valore assoluto è:
1.000...00 2-126= 2-126 1.18 10-38
Tuttavia anche in tale intervallo sono rappresentabili esattamente solo i numeri reali aventi al più t cifre binarie come mantissa, ossia solo un insieme FINITO e LIMITATO di numeri razionali finiti.
Tali numeri non sono ugualmente spaziati:
tra successive potenze di 2 sono rappresentati esattamente 223 (2t-1) differenti numeri.
Pertanto i numeri floating point sono più fitti in corrispondenza delle potenze basse di 2 e più radi in corrispondenza delle potenze alte di 2.
È opportuno lavorare sempre con dati opportunamente scalati.
Ogni numero floating point rappresenta se stesso e un intero intervallo di reali.
Pertanto ogni altro numero reale a è approssimato con il numero floating point più vicino, con un errore relativo massimo pari a
2-(t-1) nel caso di troncamento e 2-t nel caso di arrotondamento; nel formato IEEE, 2-23 10-7 , equivalente a 7 cifre di precisione decimale.
Questo errore è caratteristico del calcolatore con cui si lavora (dipende dalla base e dal numero di bit a disposizione per la rappresentazione della mantissa) ed è detto
PRECISIONE DI MACCHINA.
In pratica è il più piccolo numero che sommato a 1 fornisce un risultato maggiore di 1.
Operazioni tra numeri floating point.
Le operazioni tra numeri reali vengono SIMULATE dall'aritmetica floating point.
Poiché non tutti i reali sono rappresentabili, anche se si usano operandi che appartengono all'insieme dei numeri rappresentabili, non è detto che il risultato sia un numero floating point.
Viene preso come risultato di una operazione il numero floating point più vicino al risultato esatto.
Pertanto ogni operazione è potenzialmente affetta da un ERRORE relativo, che è pari al più alla precisione di macchina ed è detto ERRORE DI ARROTONDAMENTO.
In una sequenza di operazioni floating point (algoritmo), si verifica una PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI DI ARROTONDAMENTO, che dipende dall'ordine delle operazioni e dal numero di cifre di precisione.
ESEMPIO. Somma di due numeri finiti (si assume base 10 e 5 cifre per la rappresentazione della mantissa).
Normalizzazione delle mantisse all'esponente massimo;
.76755
Esecuzione della somma delle mantisse
Troncamento o arrotondamento del risultato a 5 cifre decimali
Risultato = .76772 102
Errore relativo = (.7677134-.76772)/(.7677134)
CONSEGUENZA: nell'aritmetica dei numeri floating point non valgono più le proprietà formali delle operazioni tra numeri reali.
ESEMPIO. Si devono sommare i seguenti numeri binari:
1, .1 2-10, .1 2-10 , .1 2-10, .1 2-10 (si usa base 2 e 3 bit per la mantissa).
Eseguiamo la somma nell'ordine
1 +
0.001
1.001 1
1 +
0.001
1.001 1
1 +
0.001
1.001 1
1 +
0.001
1.001 1
Risultato finale =1
Errore relativo =(0.333..)10
Eseguiamo la somma in ordine inverso
0.001+
0.001
0.010 1.00 2-10
0.010+
0.001
0.011 1.10 2-10
0.011+
0.001
0.100 1.00 2-1
0.100+
1.000
1.100 1.100 20
Risultato finale =1.1 20 = (1.5)10
Errore relativo = 0
Quando si devono sommare numeri di esponente molto diverso si verifica un errore di incolonnamento.
Non vale la proprietà associativa dell'addizione.
Conviene fare la somma dal numero meno significativo al più significativo per minimizzare l'errore di arrotondamento.
ESEMPIO.
Supponiamo di usare base 10 e 5 cifre per la mantissa.
Supponiamo di dover valutare:
162/485- 129/388 il cui valore esatto è .15464 10-2.
Nel calcolatore:
Dopo la normalizzazione si ha 0.155?? 10-2. Il calcolatore introduce 00 al posto di ??. Le ultime due cifre però non hanno significato.
ERRORE RELATIVO = 0.2 10-2
Si noti che l'errore è dello stesso ordine di grandezza del risultato.
Questo si dice ERRORE DI CANCELLAZIONE e si manifesta quando si devono sottrarre due numeri simili tra loro, precedentemente affetti da errore.
OPERATORI LOGICI E ALGEBRA DI BOOLE
L'algebra di Boole è basata su tre operazioni logiche o booleane che si applicano a operandi che possono assumere due soli valori:
vero (rappresentato con 1);
falso (rappresentato con 0).
Un solo bit basta a rappresentare un operando di una espressione booleana.
Il risultato di una operazione booleana è determinato tramite le cosiddette TAVOLE DI VERITA', che forniscono il valore ottenuto in funzione di tutte le possibili combinazioni dei valori assunti dagli operandi.
A |
B |
OR |
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Somma booleana
A |
B |
AND |
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Prodotto booleano
OPERAZIONE A UN OPERANDO
A |
NOT |
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Complementazione logica o negazione
ESEMPIO
Tavola di verità di una espressione booleana a tre ingressi
A |
B |
C |
A AND B OR C |
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Come nelle espressioni numeriche si eseguono prima i prodotti (AND), poi le somme (OR), a meno che non siano specificate parentesi.
A |
B |
(NOT(A) AND B) OR (A AND NOT(B)) |
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Questa espressione booleana è detta anche OR ESCLUSIVO.
PORTE LOGICHE
Gli elementi circuitali che corrispondono agli operatori logici di base prendono il nome di PORTE LOGICHE.
Le porte AND e OR hanno due operandi di tipo binario in ingresso e uno in uscita. La porta NOT ha un solo operando in ingresso e 1 in uscita.
AND OR NOT
Altre porte diffuse sono NAND (NOT (. AND.)) e NOR (NOT (. OR .)).
Ogni funzione logica può essere generata come combinazione di tali porte logiche; il circuito che realizza la funzione è una RETE LOGICA ed è una combinazione di porte logiche fondamentali.
CODICI
Un codice è un insieme di simboli per rappresentare una informazione di qualsiasi genere (parole, numeri caratteri,...)
Codice binario è un codice che utilizza come simboli le cifre binarie 0 e 1.
Con N cifre binarie è possibile codificare 2N oggetti distinti.
Per codificare M oggetti distinti, il minimo numeri di cifre binarie necessarie è il primo intero tale che:
N log2M
CODIFICA DEI CARATTERI
I caratteri di un testo vengono codificati in sequenze di bit, usando un codice di traduzione.
Il codice più usato è il codice ASCII (American Standard Code for Information Interchange); esso utilizza 7 bit e consente di rappresentare 128 caratteri.
Esistono versioni del codice che utilizzano un ottavo bit e consentono di rappresentare altri 128 caratteri.
I caratteri si dividono in tre classi:
caratteri di comando (codici di trasmissione o controllo, per es. ESC, CTRL,.)
caratteri alfanumerici:
maiuscole A B C . Z con codici da 65 a 90
minuscole a b c .z con codici da 97 a 122
cifre 0 1 2 .9 con codici da 48 a 57
caratteri speciali ();.,: spazio; lo spazio ha codice 32
Ogni carattere occupa un byte; l'ottavo bit è usato per estendere il codice (con caratteri grafici o lettere greche o lettere accentate.) o nella trasmissione dati come bit di parità per segnalare errori.
Altri codici :
EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) a 8 bit per elaboratori IBM.
BCD (Binary Code Decimal) a 4 bit: è un codice per la rappresentazione dei numeri. Ciascun numero viene suddiviso nelle cifre decimali che lo compongono e ogni cifra viene codificata separatamente dalle altre; poichè ci sono 10 differenti cifre servono 4 bit.
Esempio. (721)10=(0111 0010 0001)BCD.
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