Vettori (sintesi e introduzione)

Vettori (approfondimento)

  Il cambiamento di posizione che corrisponde al passaggio da un punto A a un punto B può essere descritto indicando la variazione orizzontale x_B-x_A, che indicheremo anche con Δx, e la variazione verticale y_B-y_A, che indicheremo anche Δy.
[Δx sta per "d ifferenza delle x"; infatti Δ è la lettera greca "delta" maiuscola, che si legge come la lettera italiana D]

  La funzione (x, y) (x+Δx, y+Δy) viene chiamata traslazione di passi Δx e Δy o traslazione determinata dal vettore (Δx,Δy) o traslazione di vettore (Δx,Δy). Viene indicata con T_{Δx, Δy} o con T_v se v indica il vettore (Δx,Δy).

Dati due punti A e B, il vettore AB viene indicato in uno dei due modi seguenti (nel primo la "freccia" ricorda che si tratta della traslazione che porta A in B, nel secondo il "meno" indica che è una specie di  differenza: la "variazione" per andare da A a B):

AB     o     B-A

I vettori raffigurati a fianco sono uguali: sono diversi modi per indicare la traslazione di passi 8,4.	AB CD OQ
B-A = (xB-xA, yB-yA) = (8,4) D-C = (xD-xC, yD-yC) = (8,4) Q-O = (xQ-xO, yQ-yO

[La parola vettore nel linguaggio comune significa "portatore" (ad es. chi effettua la consegna di una merce viene chiamato "il vettore", il razzo impiegato per mettere in orbita un satellite artificiale viene chiamato "razzo vettore", .); deriva dal verbo latino vehere, che significa "portare" (dallo stesso verbo derivano: vettura, veicolo, .). È evidente il motivo per cui è stato scelto questo nome per i passi delle traslazioni]

Data la traslazione Th,k, la traslazione T-h,-k viene detta sua traslazione opposta.  Se v è il vettore (h,k), il vettore (-h,-k) viene indicato con -v e viene chiamato vettore opposto di v.     Ad esempio i vettori rappresentati a fianco sono l'uno l'opposto dell'altro: AB BA BA AB

  Noi abbiamo introdotto i vettori per descrivere i cambiamenti di posizione e la somma di vettori per descrivere l'effetto complessivo di due successivi cambiamenti di posizione. In fisica, la somma di vettori viene impiegata anche per rappresentare lo spostamento complessivo di un oggetto il cui movimento può essere visto come l'effetto di due diversi movimenti contemporanei: si fa la somma dei vettori che rappresentano gli spostamenti a cui darebbero luogo i due singoli movimenti.

    Oltre agli spostamenti in fisica vengono rappresentati con vettori anche le velocità, le forze e varie altre grandezze:
.   Si tratta di grandezze di cui si può dare una descrizione completa indicando, oltre alla loro misura (intensità), la loro direzione.
    Ad esempio una forza di 15 kg può essere rappresentata con un vettore lungo 15. Più precisamente, si parla di un «vettore di modulo 15»:
dato un vettore v = (h, k), si chiama modulo di v la distanza dalla posizione iniziale alla posizione finale dopo l'applicazione della traslazione T_v, cioè (nell'ambito della geometria euclidea):
                (Δx) + (Δy) =  h + k
.   Si può, inoltre, dimostrare che la composizione di due di queste grandezze [la composizione di due velocità, la composizione di due forze, .] dà luogo alla grandezza [una velocità, una forza, .] rappresentata dal vettore che è la somma dei vettori che rappresentano le due grandezze di partenza.
  Grandezze di questo genere (rappresentabili e componibili come vettori) vengono dette grandezze vettoriali.

  Nota 1 In qualche libro di fisica (e anche di matematica) invece di direzione si parla di direzione orientata o di orientamento e si usa la parola "direzione" come sinonimo della parola "inclinazione". In particolare di due spostamenti che hanno direzioni opposte, come B-A e A-B, si dice che hanno la stessa direzione e verso opposto.
   In alcune situazioni (come quando un vettore è usato per indicare la forza esercitata per far ruotare qualcosa, in cui l'effetto dipende anche dalla distanza dal centro di rotazione) è importante considerare anche il punto di applicazione, ossia distingure i vettori AB e CD che abbiano stesso modulo e stessa direzione ma A e C non coincidenti. In questi casi si dice che AB e CD sono diversi come vettori applicati: un vettore applicato è interpretabile matematicamente come una coppia (A,v), dove A è il punto a cui è applicato il vettore v; in pratica è un "segmento orientato".
   In un contesto in cui si stiano considerando vettori applicati, a volte si usa la dizione "vettore libero" invece che "vettore" per specificare che non ci interessa il punto di applicazione.

Nota 2 Qui abbiamo usato il concetto di direzione in modo intuitivo. Alla voce  direzioni e funzioni circolari ne è data una definizione puramente matematica.

Nota 3 Le grandezze fisiche che sono completamente individuate da un solo valore numerico vengono dette scalari (basta una "scala" numerica, senza indicazioni di direzione). Sono tali ad esempio il tempo, la temperatura e la massa.
  Il peso invece è una grandezza vettoriale: è una forza diretta verso il centro di gravità; le masse si misurano in chilogrammi, le intensità dei pesi e, più in generale, delle forze (oltre che in newton, unità di misura usata dai fisici - 1 N è la forza esercitata da un corpo con massa di 1 kg sottoposto a una accelerazione di 1 m/s ) possono essere misurate in chilogrammi-forza (impropriamente chiamati anche chilogrammi-peso), che per convenzione sono il peso al livello del mare di un oggetto della massa di un chilogrammo posto a 45° di latitudine (ai poli lo stesso oggetto pesa 0.25% in più in quanto non vi è forza centrifuga, mentre pesa 0.25% in meno all'equatore dove l'effetto della forza centrifuga è massimo; 1000 m più in alto pesa lo 0.03% in meno). Quando si usa il simbolo kg, dal contesto si capisce se è inteso in senso proprio o per indicare il chilogramma-forza; a volte il kg-forza (-peso) è indicato kg_f (kg_p [poiché al livello del mare a 45° di latitudine l'accelerazione di gravità è 9.80665 m/s², 1 kg-forza = 9.80665 N]
   Quando si considerano grandezze vettoriali che operano lungo una retta fissata in genere si usa rappresentarle solo con dei numeri, come se fossero grandezze scalari, e si danno loro segni opposti se hanno direzioni opposte; ad esempio se indichiamo con 2 kg la forza (di spinta) esercitata da una particolare molla compressa di 3 cm, la forza (di attrazione) opposta che essa esercita quando è dilatata di 3 cm la indicheremo con -2 kg.

  Per applicare il concetto di vettore a situazioni in cui intervengono grandezze fisiche che non operano lungo un piano occorre estendersi al caso tridimensionale. I punti nello spazio a 3 dimensioni sono rappresentati da terne di numeri reali; lo stesso accade per i vettori. Ad es., facendo riferimento alla figura sotto a sinsitra, il vettore AB è (Δx, Δy, Δz) = (-1, 2, 3): per andare da A in B si sale di 3 (Δz = 3), si avanza nella direzione dell'asse y di 2 (Δy = 2) e si retrocede di 1 nella direzione dell'asse x (Δx = -1).
    Il modulo viene definito riconducendosi alla distanza euclidea, che nel caso tridimensionale è definita [] estendendo in modo naturale quella del caso bidimensionale:
                (Δx) + (Δy) + (Δz)

    Nel caso della figura d(A,B) = 14 = 3.74., e questo è anche il modulo del vettore AB.

    Sopra a destra viene motivata questa estensione: il segmento AB viene pensato nel piano verticale che lo contiene; la sua lunghezza è la radice quadrata della somma dei quadrati della variazione verticale, che è 4, e della variazione orizzontale, che viene ricavata come illustrato nella figura al centro, come distanza delle "proiezioni" di A e B sul piano individuato dagli assi x e y.

Esercizio1:  testo   e   soluzione.   Esercizio2:  testo   e   soluzione