![]() | ![]() |
|
|
MOTO RETTILINEO
vm = x / t vist = dx / dt
X(t) = xo + vt
a = dv / dt = d2x / dt2 v = at + vo
x(t) = ½ at2 + vot + xo
tempo e velocità di caduta di un grave: t = √(2h/g) ; v = √2gh
MOTO ARMONICO SEMPLICE
x(t) = A sen(ωt + φ) A = ampiezza = max distanza dall'origine
ω = pulsazione (rad/s)
ωt + φ = fase del moto
φ = fase iniziale
periodo di oscillazione: T = 2π / ω
frequenza: v = 1 / T = ω / 2π
v(t) = ωAcos(ωt + φ) (in quadratura di fase rispetto a x)
a(t) = -ω2Asen(ωt + φ) = - ω2x (in opposizione di fase rispetto a x)
condizione di armonicità: spostamento e accelerazione in opposizione di fase:
d2x / dt2 = - K x con K = costante
sen diventa cos se la fase iniziale è ψ = φ - π/2 (sfalsamento di 90°)
MOTO NEL PIANO
v = dr/dt r = vettore posizione
v = ds/dt ut ut = versore tangente alla traiettoria infinitesima ds
v = dx/dt ux + dy/dt uy = vxux + vyuy
componenti polari:
v = dr/dt dr/dt ur + dur/dt r dr/dt ur + d /dt r un
(v radiale) (v traversa)
a = dv/dt = dv/dt ut + v2/R un
(a tangenziale)(a normale)
MOTO CIRCOLARE
at = 0 se uniforme, an = v2/R un diretta verso O
acc. angolare: α = dω/dt = a(t)/R = 0 se moto è uniforme
velocità angolare: ω = v/R = dθ/dt θ(t) = ωt + θo
an = ω2R
periodo: T = 2πR/v = 2π/ω
x = Rcosθ = Rcos(ωt + θo) y = Rsenθ = Rsen(ωt + θo)
lancio di un proiettile:
Gittata: x = (2vo2cosθsenθ)/g y = 0
Altezza max: x = (vo2cosθsenθ)/g y = vo2sen2θ)/2g
ATTRITO VISCOSO
F = -Kηv
Vmax = mg/kη v(t) = exp(-k t / m) (vo - vmax)
Per i primi istanti: v(t) = vmaxt / con = m/kη, poiché exp(-t/ ) ≈ 1- t/
PENDOLO S 949h77j EMPLICE
componente tangente: mat = -mgsenθ
at = lα = l d2θ/dt α = -g/l senθ (se oscillazioni piccole allora senθ ≈ θ, quindi il moto è periodico)
componente normale: man = Tfilo - mgcosθ
an = v2/l Tfilo = m (gcos (t) + v2(t)/l)
per piccole oscillazioni:
osen( t + condizioni iniziali: angolo massimo (se vo = 0): o = Asen
ω = √(g/l) v iniziale vo = 0 = Acos
T = 2π/ω = 2π√(g/l) ampiezza dalla verticale A2 = o +vo2/ω2
Legge oraria: s = lθ = l o sen( t + tgφ = ωθo/vo
v = l dθ/dt = l ω o cos( t + A = θol
a = l d2θ/dt2 = -l ω2 o sen t +
DINAMICA
F = ma = dv/dt m = d2r/dt2 m
P = mv = dr/dt m F = dp/dt
Impulso: J = F t = P = m v una forza applicata Δt provoca una variazione di P
Risultante R = Σ Fi equilibro statico: R x,y,z = 0
ATTRITO RADENTE
F attrito = μ Normale μs > μd
Quiete: F ≤ μsN Moto: F > μsN
PIANO INCLINATO
mgsenθ - μd mgcosθ = ma a = senθ - μd cosθ
F attiva F attrito moto incipiente: μs = tgθ
FORZA ELASTICA
F = -kx ux a = -k/m x = -ω2x moto armonico
√k/m T = 2π/ω = 2π√m/k
x(t) = Asen( t + condizioni iniziali: xo = Asen , vo = 0 = Acos
che danno: A = xo, = π/2, 3/2 π (ovvero le posizioni iniziali ±A)
x(t) = xocos( t) v(t) = - xosen( t) a = - xocos( t)
se le condizioni iniziali sono diverse: A2 = o +vo2/ω2 tgφ = ωθo/vo
LAVORO
W = ∫ F ds = ∫ F ds cosθ
W = Σ Wi = Σ Fi dsi
potenza: P = dW/dt = F dr/dt = F v = F v cosθ = Ftangente v
ENERGIA CINETICA
dW = Ft ds = mat ds = m dv/dt ds = m dv ds/dt = m v dv
W = ∫m v dv = | ½ mv2 | = ½m (vb2 - va2) = Ek B - Ek A = Ek
Ek = ½mv2 P = mv Ek = P2/2m P=√2mEk
ENERGIA POTENZIALE
gravitazionale: Ep = mgh W = -ΔEp ΔEk = -ΔEp
elastica: Ep el = ½kx2 W = -ΔEp el
per le forze dissipative il lavoro dipende dalla traiettoria: W = -μd N ∫ds
CAMPI CONSERVATIVI
∫ F ds = 0 ΔEk = -ΔEp Emeccanica = Ek + Ep
(valido per campo gravitazionale ed elastico)
In presenza di forze dissipative: Em = Emo - Wdissipativo
conservazione dell'energia nel pendolo semplice
Hmax: Ep = mgl(1-cosθo) Ek = 0
Hmin: Ep = 0 Ek = ½mvo2
Em = mgl(1-cosθo) = ½mvo2 = ½mv2 + mgl(1-cosθ)
v = √2gl(cosθ - cosθo) vo = √2gl(1-cosθo) = vmax T = mg(3cosθ - 2cosθo)
MOMENTI
angolare Lo = r · P = r · mv Lo' = Lo + (O'O) · mv
della forza: Mo = r · F = r · ma Mo' = Mo + (O'O) · ma
per più forze: R = risultante Mtot = r · R
M dipende dal polo a meno che R = 0
teorema del momento angolare: Mo = dLo/dt
se non ci sono forze applicate (R = 0, equilibrio) Mo = 0, Lo = costante
t∫ M dt = ΔL = r · J (impulso)
lavoro: W = ab∫ F ds (ds = r · dθ) W = θaθb∫ F r dθ = ∫M dθ
MOTI RELATIVI
posizione: r = OO' +r'
velocità: v = v' + vO' + ω · r' vt = v - v' = vO' + ω · r'
accelerazione: a = a' + aO' + ω · (ω · r') + 2ω · v'
at = aO' + · r') acoriolis = 2 · v' a = a' + at + ac
moto traslatorio: v = v' + vO' vt = vO' ω = 0
a = a' + aO'
moto rotatorio: v = v' + ω · r' vt = ω · r' vO' = 0
a = a' + ω · (ω · r') + 2ω · v'
moto di P2 rispetto a P1: r1,2 = r2 - r1 v2,1 = v2 - v1 a2,1 = a2 - a1
SISTEMI DI RIFERIMENTO
sistemi di riferimento inerziali: vO' = cost, aO' = 0, ω = 0 F = ma = ma'
sistemi di riferimento non inerziali: F = ma = ma' + mat + mac
mat = forza di traslazione, mac = forza di Coriolis, sono forze apparenti , termini correttivi per rendere il sistema non inerziale in inerziale cosicché sia possibile studiare il moto.
trasformazioni galileiane (per sist di riferimento inerziali):
OO' = vO't
(x,y,z)' = (x,y,z) - vO'(x,y,z)t
v'x,y,z = v(x,y,z) - vO'(x,y,z)
a'(x,y,z) = a(x,y,z)
trasformazioni per sistemi di riferimento accelerati:
at = aO' con velocità iniziale vin
(x,y,z)' = (x,y,z) - vin(x,y,z)t - ½att2
v'x,y,z = v(x,y,z) - vin(x,y,z) - att
a'(x,y,z) = a(x,y,z) -at
trasformazioni per sistemi in rotazione:
v = v' + ω · r',
a = a' + ω · (ω · r') + 2ω · v'
a = a' + acentrifuga + acoriolis
SISTEMA TERRA
T = 8.64 · 104s /T = 7.29 · 10-5
rad/s Raggio = 6.37 ·
accellerazione di gravità di un punto misurata dal sistema terrestre:
g = go - ω · (ω · R') - 2ω · v'
dove go è il valore di g misurato in un sistema inerziale
ω · (ω · R') è l'accellerazione centrifuga, che dipende dalla latitudine
2ω · v' è l'accelleravione di Coriolis che dipende dalla velocità del punto relativa al sistema terrestre
g è l'accellerazione di gravità misurata sulla terra (= 9,8 m/s2), che non è un sistema inerziale, ed ha perciò bisogno dei due correttivi della forza centrifuga e di coriolis.
SISTEMI DI PUNTI MATERIALI
Pi è un punto del sistema su cui agisce: Fi = Fi(ext) + Fi(int)
In genere, R(int) = Σ Fi(int) = 0
ad ogni punto sono associate r, v, a, e anche P, Lo, Ek, che sotto sommatoria danno le componenti totali per l'intero sistema.
CENTRO DI MASSA
rCM = Σ mi · ri / Σ mi con r scomponibile in x, y, z
se cambio sistema di riferimento: r = r' + OO' r' = r + O'O quindi r'CM = rCM + O'O
vCM = Ptot/mtot ovvero un corpo è assimilabile un punto in rCM con massa m e vel. v.
aCM = Rtot(ext)/mtot ovvero un corpo è assimilabile un punto in rCM con massa m e acc. a.
R(ext) = dP/dt il moto del centro di massa è determinato solo dalle forze esterne.
CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA' DI MOTO
se R = 0 allora v = cost e P = cost, ciò vale per il centro di massa, e non necessariamente per tutti i punti: P = p1 + p2 = mv1 + mv2 = cost R = d(.)/dt = 0 F1 + F2 = 0 F1 = -F2
TEOREMA DEL MOMENTO ANGOLARE
L = Σ ri · mivi dL/dt = Σdri/dt · mivi + Σ ri · mi dvi/dt
dato che: dr/dt = vi - vo con vo = velocita del polo
mi dvi/dt = miai = Fi(ext) + Fi(int)
allora dL/dt = -vo
· mvCM + M(ext) + M(int)
-vo · mvCM è nullo quando: il polo è fisso vo = 0
il centro di massa è in quiete vCM = 0
il polo coincide con CM vo · vCM = 0
vo è parallelo a vCM vo · vCM = 0
CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE
Nei casi in cui -vo
· mvCM è nullo, M = dL/dt, quindi se M =
se R(ext) =
P = costante
M = 0 solo rispetto a un determinato polo L = costante solo per quel polo
Nel risolvere i problemi è importante perciò la scelta del polo.
SISTEMA DI RIFERIMENTO IN CM
è un sistema con O' = CM, assi paralleli a x,y,z (quindi ω = 0) e inerziale solo nel caso in cui R(ext) = 0, quindi aCM = 0.
r = r' + rCM v = v' + vCM ovviamente rispetto a O', r'CM e v'CM = 0
perciò rispetto al nuovo polo: Σ mi r'i = 0 e Σ mi v'i = 0
P' misurata dal centro di massa = 0
sui singoli punti, se il sistema O' non è inerziale (aCM ≠ 0), allora sembra agire su essi la forza di inerzia: -mat = -maCM, quindi:
Fi(ext) + Fi(int) - miaCM = miai R(ext) - miaCM = R(ext) - maCM = Σ mia'i = 0
in quanto R(ext) = m aCM come visto prima, quindi
M'(ext) = Σ r'i · Fi(ext) L' = Σ r'i · miv'i allora dL'/dt = M'
TEOREMI DI KONIG
teorema di Konig del momento angolare:
L = L' + LCM (sost. r = r' + rCM, v = v' + vCM)
momento angolare = momento angolare del centro di massa (rCM · mvCM)
+ momento angolare calcolato dall centro di massa (Σ r'i · miv'i)
teorema di Konig per l'energia cinetica:
Ek = E'k + Ek CM (sost. r = r' + rCM, v = v' + vCM)
en. cinetica = en. cinetica del centro di massa (½m v2CM)
+ en. cinetica calcolata dal centro di massa (Σ ½miv'i2)
teorema dell'energia cinetica: W = Wext + Wint
Wint è legato alle distanze tra i punti, se il corpo è rigido esse sono fisse e Wint = 0
W = Wext + Wint = Ek se Fint sono conservative, Wint = -ΔEpint
se Fext sono conservative, Wext = - Epext
se entrambe sono conservative: Emeccanica = costante
se non tutte sono conservative: ΔEmeccanica = Wdissipative
SISTEMI DI FORZE
un sistema di forze è riconducibile a un sistema con R applicata nel polo (cosicché il suo momento = 0) e a una coppia di forze uguali ed opposte di momento Mo che non dipende dalla scelta del polo.
sistema
di forze parallele: R = Σ Fi uf M = Σ Firi · uf,
quindi M R
trovare punto C dove applicare R, tale che
M = OC · R = rc · R rc = OC = Firi / Fi
cosicché il sistema è assimilabile a una forza applicata in C.
Se F = mg forza di gravità, C coincide con il Centro di Massa o baricentro.
DINAMICA DEL CORPO RIGIDO
R = m aCM M = dL/dt ΔEk = W (non contano forze interne)
traslazione vi = vCM
L' = 0 (rispetto a CM) E'k = 0 (rispetto a CM)
P = m vCM Ek = Ek CM = ½ m v2CM
R = m aCM L = LCM = rCM · mvCM = rCM · P
M = MCM = rCM · maCM = rCM · R = dL/dt
rotazione: M = dL/dt
densità: ρ = dm/dV m = dm = V ρ dV se omogeneo, tolgo d e m = ρ V
esiste po la densità superficiale in dS e lineare in dl.
CM: rCM = r dm / dm = r ρ dV / m se omogeneo rCM = ρ/m r dV = 1/V r dV
La forza peso mg si applica in CM, così come Ep = mg zCM.
ROTAZIONI RIGIDE ATTORNO A UN ASSE
Pi descrive una circonferenza di centro sull'asse e raggio Ri pari alla distanza dall'asse
vi = ωRi , ai normale = ω2Ri ai tangente = α Ri = dω/dt Ri
momento angolare: Li = mi Ri ri ω con ri = vettore del punto rispetto al polo
il polo è situato sull'asse di rotazione z.
momento angolare assiale = proiezione di L sull'asse di rotazione:
Lz, i = Li cos(π/2 - θ) = Li senθ = mi ri senθ Ri ω = mi Ri2 ω con θ angolo tra ri e asse z
Lz = Σ Lz,i = Σ (mi Ri2) ω = Izω
momento di inerzia Iz = Σ mi Ri2 = Σ mi (distanza di P dall'asse)2
Lz dipende da ω, dalla forma del corpo e dalla posizione dell'asse, e ha direzione fissa.
invece Li ortz = Li cosθi = mi Ri ri ω cosθi varia in direzione e verso.
se viene scelto come asse, l'asse di simmetria di un corpo, o l'asse principale di inerzia, allora: L = Lz = Izω poiché Lortz = 0 (moto di precessione)
3 casi: L // ω L = vario dL/dt = M // ω
L // ω L = cost M = 0
L non è parallelo a ω: per la componente Lz valgono i due casi precedenti, per Lortz invece c'è un M=dLortz/dt che ne varia la direzione se ω=cost, anche il modulo se ω=vario.
Questa situazione in cui L non è parallelo a ω possono essere evitate.
EQUAZIONI DEL MOTO, ENERGIA E LAVORO
M = dL/dt = d(Iz ω)/dt = Iz α
eq. del moto: α = M/Iz ω = ω0 + ∫ α dt θ = θo +∫ ω dt θ = θo + ∫ [ ωo + ∫ α dt] dt
se M = 0 α = 0, ω = ωo, θ = θo + ωt
se M = cost α = cost, ω = ωo + t, θ = θo + ωot + ½αt2
se M generico, moto vario.ò
se l'asse non è parallelo a ω, M Mz, l'altra componente ortogonale non ha effetti sul moto
at = αR, an = ω2R
Ek = ½ Iz = Lz2 / 2Iz
W = Ek = ½ Iz ( b a) = ∫ Mz d
Potenza istantanea: dW/dt = Mz
MOMENTO DI INERZIA
I = ∫ R2 dm = ∫ ρ R2 dV = ∫ ρ (x2 + y2) dV
anello = m R2 disco = ½ m R2
guscio cilindrico = m R2 cilindro = ½ m R2
guscio sferico = 2/3 m R2 sfera = 2/5 m R2
asta = 1/12 m d2 lastra = 1/12 m (a2 + b2)
teorema di Huygens-Steiner: il momento di inerzia dato da un asse posto a distanza d dal centro di massa del corpo è dato da: I' = ICM + md2
ampliamento teorema di Konig per Ek: E'k = ½ Iz + ½ m v2CM
PENDOLO COMPOSTO
M = -mghsenθ con h = distanza dal centro di massa da O
dLz/dt = Iz α = Iz d2θ/dt2 = - m g h senθ d2θ/dt2 + m g h senθ / Iz = 0
se oscillazione è piccola, senθ ≈ θ, e si ha l'equazione del moto armonico:
θ = θo sen( t + ) con = √mgh/Iz T = 2π√Iz/mgh = 2π √l/g
l = Iz/mh = lunghezza di un pendolo che oscilla con lo stesso periodo
MOTO DI PURO ROTOLAMENTO
C = punto di contatto col suolo e centro di rotazione vC = 0
le velocità dei punti sono perpendicolari all'asse che li congiunge a C, e valgono ω|PC|
vC = vCM + ω · r vCM = - ω · r (aCM = α · r)
asse y: N = mg
asse x: F-f(forza di attrito) = m aCM
MCM = r · f = I · = I aCM / r
aCM = F / m(1+I/mr2)
f = F / 1+mr2/I
condizione necessaria affinchè il corpo rotoli e basta, e non trasli:
f ≤ μsmg F ≤ μsmg(1+mr2/I) = Flim
R + mg = maCM M + r · f = I · (R=reazione del piano)
N = mg f = maCM M - rf =I aCM / r
aCM = M / mr(1+I/mr2)
f = M / r(1+I/mr2)
condizione necessaria affinchè il corpo rotoli e basta, e non trasli:
f ≤ μsmg M ≤ μsmgr(1+I/mr2) = Mlim
F +f = maCM M - r · f = I aCM / r
aCM = 1/m · (F + M/r)/(1 + I/mr2)
f = (M/r - IF/mr2)/(1 + I/mr2)
condizione necessaria affinchè il corpo rotoli e basta, e non trasli:
f ≤ smg
f è ux se M > IF/mr e viceversa, se M = IF/mr , f = 0
per annullare questo attrito occorre F2 ≥ h m g / r, anche se per lo più lo trascuriamo.
mgh = ½ICω2 + ½mv2CM = ½mk2v2CM/r2 + ½mv2CM k2 = IC/m
vCM = √(2gh)/(1 + k2/r2) < √2gh (Ek diventa traslazione e rotazione)
mgsen - f = maCM fr = IC = mk2aCM/r
aCM = gsenθ/(1 + k2/r2) f = mgsenθ/(1 + r2/k2)
con I = mk2 e F = mgsenθ
condizione necessaria affinchè il corpo rotoli e basta, e non trasli:
f ≤ μsmgcosθ tgθ ≤ μs(1+r2/k2)
IMPULSO ANGOLARE
impulso angolare = ∫M dt = ∫r·F dt = r·∫F dt = r·J = L(t2) - L(t1) = ΔL Mmedio = ΔL/Δt
L = r·J = momento dell'impulso (della forza) (= Iω)
condizione di equilibrio:
L = costante (Iω = cost)
energia cinetica:
Ek = L2/2I
pendolo rigido:
Ep iniziale = m g h
Ep finale = ½Iω2 + mg hCM
condizione di equilibrio per un corpo rigido:
R = 0, M = 0 P = cost, L = cost
URTI
Teorema dell'impulso:
se Fext sono conservative e non impulsive, la quantità di moto totale P = costante.
in un corpo rigido ciò vale solo per CM (teorema di Konig):
Ek = ½ (m1 + m2) v2CM + E'k
il primo termine, Ek CM è costante, ciò che varia è l'energia cinetica dei punti rispetto a CM:
E'k = ½m1v'12 + ½m2v'22 E'k iniz ≠ E'k finale
Urto completamente anelastico
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2) v' = (m1 + m2) vCM
Ek iniz = ½m1v12 + ½m2v22 = E'k + ½(m1 + m2)vCM2
Ek fin = ½ (m1 + m2) vCM2 < Ek iniz
l'energia cinetica rispetto al centro di massa E'k è stata assorbita durante l'urto:
ΔEk = -E'k = ½ (+ m2)vCM2 - ½m1v12 - ½m2v22
Urto elastico
si conserva l'energia cinetica: P = P' Ek = E'k
metto a sistema:
m1v1 + m2v2 = m1v'1 + m2v'2
½m1v12 + ½ m2v22 = ½m1v'12 + ½m2v'22
Urto anelastico
coefficiente di restituzione: e = - P'1 iniz / P'1 fin = - v'1 iniz / v'1 fin = lo stesso con 2
E'k finale = e2 (½m1v'12 + ½m2v'22)iniziale = e2 E'k iniz
variazione energia cinetica: δ = (E'k fin - E'k iniz) / E'k iniz = e2 - 1
le soluzioni del sistema diventano:
v1 fin = [(m1 - em2) v1 iniz + m2 (1 + e) v2 iniz ] / m1 + m2
v2 fin = [m1 (1 + e) v1 iniz + (m2 - em1) v2 iniz ] / m1 + m2
GRAVITAZIONE
forza centrale, avente un'origine con vettore ur radiale. Campo di forza = modifica dello spazio che fa coincidere una forza ad ogni posizione. Rispetto al centro, dL/dt=0 L=cost
L = r · mv = r · m(vr + vθ) = r · mvθ = m r2 dθ/dt
quindi aree spazzate dal vettore r (velocità areale): dA/dt = ½ r2 dθ/dt = L/2m = cost
se la traiettoria è chiusa, il Periodo di percorrenza T = 2mA / L
le forze centrali sono conservative.
Keplero:
1) I pianeti percorrono orbite ellittiche intorno al Sole che occupa uno dei fuochi dell'ellisse.
2) La velocità areale con cui il raggio vettore che unisce il Sole ad un pianeta descrive l'orbita è costante.
3) Il quadrato del periodo di rivoluzione di ogni pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'ellisse: T2/r3 = k
dA/dt = ½ r2 d /dt = cost d /dt = cost
F solo centripeta: F = m ω2 r = m (2π/T r (T2/r3=k) F = 4 /k · m/r2
F(sole su terra) = F(terra su sole) 4π2/kT · mT/r2 = 4π2/kS · mS/r2 mTkS = mSkT
detto /mTkS F(sole-terra) = γ mSmT / r2 ur
g = γ mT/r2T
F(terra luna) = mL ω2 rL
γ = 6.67 · 10-11
m3/kg s2 , mT = 5.98 ·
Campo gravitazionale: G = -γ msorgente/r2 F = Gmmassa di prova
Energia potenziale gravitazionale: Ep = - γ m1m2 / r
velocità di fuga: un corpo sulla terra con velocità v viene portato a distanza infinita (Ep = 0) con velocita vo (valore limite di v = velocità di fuga per vo = 0):
½mv2 -
γ mmT/rT = ½mvo2 vfuga
= √(2γmT/rT)
= 11,2 km/s = 4 ·
Privacy |
Articolo informazione
Commentare questo articolo:Non sei registratoDevi essere registrato per commentare ISCRIVITI |
Copiare il codice nella pagina web del tuo sito. |
Copyright InfTub.com 2025