MOTO RETTILINEO - MOTO ARMONICO SEMPLICE

tempo e velocità di caduta di un grave: t = √(2h/g) ; v = √2gh

MOTO ARMONICO SEMPLICE

x_(t) = A sen(ωt + φ) A = ampiezza = max distanza dall'origine

ω = pulsazione (rad/s)

ωt + φ = fase del moto

φ = fase iniziale

periodo di oscillazione: T = 2π / ω

frequenza: v = 1 / T = ω / 2π

v_(t) = ωAcos(ωt + φ) (in quadratura di fase rispetto a x)

a_(t) = -ω²Asen(ωt + φ) = - ω²x (in opposizione di fase rispetto a x)

condizione di armonicità: spostamento e accelerazione in opposizione di fase:

d²x / dt² = - K x con K = costante

sen diventa cos se la fase iniziale è ψ = φ - π/2 (sfalsamento di 90°)

MOTO NEL PIANO

v = dr/dt  r = vettore posizione

v = ds/dt u_t   u_t = versore tangente alla traiettoria infinitesima ds

v = dx/dt u_x + dy/dt u_y = v_xu_x + v_yu_y

componenti polari:

v = dr/dt dr/dt u_r + du_r/dt r dr/dt u_r + d /dt r u_n

(v radiale) (v traversa)

a = dv/dt = dv/dt u_t + v²/R u_n

(a tangenziale)(a normale)

MOTO CIRCOLARE

a_t = 0 se uniforme, a_n = v²/R u_n diretta verso O

acc. angolare: α = dω/dt = a_(t)/R = 0 se moto è uniforme

velocità angolare: ω = v/R = dθ/dt θ_(t) = ωt + θ_o

a_n = ω²R

periodo: T = 2πR/v = 2π/ω

x = Rcosθ = Rcos(ωt + θ_o) y = Rsenθ = Rsen(ωt + θ_o)

lancio di un proiettile:

Gittata:   x = (2v_o²cosθsenθ)/g y = 0

Altezza max: x = (v_o²cosθsenθ)/g y = v_o²sen²θ)/2g

ATTRITO VISCOSO

F = -Kηv

V_max = mg/kη v_(t) = exp(-k t / m) (v_o - v_max)

Per i primi istanti: _v(t) = v_maxt / con = m/kη, poiché exp(-t/ ) ≈ 1- t/

PENDOLO S 949h77j EMPLICE

componente tangente: ma_t = -mgsenθ

a_t = lα = l d²θ/dt α = -g/l senθ (se oscillazioni piccole allora senθ ≈ θ, quindi il moto è periodico)

componente normale: ma_n = T_filo - mgcosθ

a_n = v²/l  T_filo = m (gcos _(t) + v²_(t)/l)

per piccole oscillazioni:

_osen( t + condizioni iniziali: angolo massimo (se v_o = 0): _o = Asen

ω = √(g/l)    v iniziale v_o = 0 = Acos

T = 2π/ω = 2π√(g/l)   ampiezza dalla verticale A² = _o +v_o²/ω²

Legge oraria: s = lθ = l _o sen( t + tgφ = ωθ_o/v_o

v = l dθ/dt = l ω _o cos( t + A = θ_ol

a = l d²θ/dt² = -l ω² _o sen t +

DINAMICA

F = ma = dv/dt m = d²r/dt² m

P = mv = dr/dt m F = dp/dt

Impulso: J = F t = P = m v una forza applicata Δt provoca una variazione di P

Risultante R = Σ F_i equilibro statico: R _x,y,z = 0

ATTRITO RADENTE

F _attrito = μ N_ormale μ_s > μ_d

Quiete: F ≤ μ_sN Moto: F > μ_sN

PIANO INCLINATO

mgsenθ - μ_d mgcosθ = ma a = senθ - μ_d cosθ

F attiva F attrito moto incipiente: μ_s = tgθ

FORZA ELASTICA

F = -kx u_x a = -k/m x = -ω²x moto armonico

√k/m T = 2π/ω = 2π√m/k

x_(t) = Asen( t + condizioni iniziali: x_o = Asen , v_o = 0 = Acos

che danno: A = x_o, = π/2, 3/2 π (ovvero le posizioni iniziali ±A)

x_(t) = x_ocos( t) v_(t) = - x_osen( t) a = - x_ocos( t)

se le condizioni iniziali sono diverse: A² = _o +v_o²/ω² tgφ = ωθ_o/v_o

LAVORO

W = ∫ F ds = ∫ F ds cosθ

W = Σ W_i = Σ F_i ds_i

potenza: P = dW/dt = F dr/dt = F v = F v cosθ = F_tangente v

ENERGIA CINETICA

dW = F_t ds = ma_t ds = m dv/dt ds = m dv ds/dt = m v dv

W = ∫m v dv = | ½ mv² | = ½m (v_b² - v_a²) = E_{k B} - E_{k A} = E_k

E_k = ½mv² P = mv E_k = P²/2m P=√2mE_k

ENERGIA POTENZIALE

gravitazionale: E_p = mgh W = -ΔE_p ΔE_k = -ΔE_p

elastica: E_{p el} = ½kx² W = -ΔE_{p el}

per le forze dissipative il lavoro dipende dalla traiettoria: W = -μ_d N ∫ds

CAMPI CONSERVATIVI

∫ F ds = 0 ΔE_k = -ΔE_p E_meccanica = E_k + E_p (valido per campo gravitazionale ed elastico)

In presenza di forze dissipative: E_m = E_mo - W_dissipativo

conservazione dell'energia nel pendolo semplice

Hmax: E_p = mgl(1-cosθ_o) E_k = 0

Hmin: E_p = 0 E_k = ½mv_o²

E_m = mgl(1-cosθ_o) = ½mv_o² = ½mv² + mgl(1-cosθ)

v = √2gl(cosθ - cosθ_o)   v_o = √2gl(1-cosθ_o) = v_max T = mg(3cosθ - 2cosθ_o)

MOMENTI

angolare L_o = r · P = r · mv L_o' = L_o + (O'O) · mv

della forza: M_o = r · F = r · ma M_o' = M_o + (O'O) · ma

per più forze: R = risultante M_tot = r · R

M dipende dal polo a meno che R = 0

teorema del momento angolare: M_o = dL_o/dt

se non ci sono forze applicate (R = 0, equilibrio) M_o = 0, L_o = costante

^t∫ M dt = ΔL = r · J (impulso)

lavoro: W = _a^b∫ F ds (ds = r · dθ) W = _θa^θb∫ F r dθ = ∫M dθ

MOTI RELATIVI

posizione: r = OO' +r'

velocità: v = v' + v_O' + ω · r' v_t = v - v' = v_O' + ω · r'

accelerazione: a = a' + a_O' + ω · (ω · r') + 2ω · v'

a_t = a_O' + · r') a_coriolis = 2 · v' a = a' + a_t + a_c

moto traslatorio: v = v' + v_O' v_t = v_O' ω = 0

a = a' + a_O'

moto rotatorio: v = v' + ω · r' v_t = ω · r' v_O' = 0

a = a' + ω · (ω · r') + 2ω · v'

moto di P₂ rispetto a P₁: r_1,2 = r₂ - r₁ v_2,1 = v₂ - v₁ a_2,1 = a₂ - a₁

SISTEMI DI RIFERIMENTO

sistemi di riferimento inerziali: v_O' = cost, a_O' = 0, ω = 0 F = ma = ma'

sistemi di riferimento non inerziali: F = ma = ma' + ma_t + ma_c

ma_t = forza di traslazione, ma_c = forza di Coriolis, sono forze apparenti , termini correttivi per rendere il sistema non inerziale in inerziale cosicché sia possibile studiare il moto.

trasformazioni galileiane (per sist di riferimento inerziali):

OO' = v_O't

(x,y,z)' = (x,y,z) - v_O'(x,y,z)t

v'_x,y,z = v_(x,y,z) - v_O'(x,y,z)

a'_(x,y,z) = a_(x,y,z)

trasformazioni per sistemi di riferimento accelerati:

a_t = a_O' con velocità iniziale v_in

(x,y,z)' = (x,y,z) - v_in(x,y,z)t - ½a_tt²

v'_x,y,z = v_(x,y,z) - v_in(x,y,z) - a_tt

a'_(x,y,z) = a_(x,y,z) -a_t

trasformazioni per sistemi in rotazione:

v = v' + ω · r',

a = a' + ω · (ω · r') + 2ω · v'

a = a' + a_centrifuga + a_coriolis

SISTEMA TERRA

T = 8.64 · 10⁴s /T = 7.29 · 10^-5 rad/s Raggio = 6.37 · 10⁶ m

accellerazione di gravità di un punto misurata dal sistema terrestre:

g = g_o - ω · (ω · R') - 2ω · v'

dove g_o è il valore di g misurato in un sistema inerziale

ω · (ω · R') è l'accellerazione centrifuga, che dipende dalla latitudine

2ω · v' è l'accelleravione di Coriolis che dipende dalla velocità del punto relativa al sistema terrestre

g è l'accellerazione di gravità misurata sulla terra (= 9,8 m/s²), che non è un sistema inerziale, ed ha perciò bisogno dei due correttivi della forza centrifuga e di coriolis.

SISTEMI DI PUNTI MATERIALI

P_i è un punto del sistema su cui agisce: F_i = F_i^(ext) + F_i^(int)

In genere, R^(int) = Σ F_i^(int) = 0

ad ogni punto sono associate r, v, a, e anche P, L_o, E_k, che sotto sommatoria danno le componenti totali per l'intero sistema.

CENTRO DI MASSA

r_CM = Σ m_i · r_i / Σ m_i con r scomponibile in x, y, z

se cambio sistema di riferimento: r = r' + OO' r' = r + O'O quindi r'_CM = r_CM + O'O

v_CM = P_tot/m_tot ovvero un corpo è assimilabile un punto in r_CM con massa m e vel. v.

a_CM = R_tot^(ext)/m_tot ovvero un corpo è assimilabile un punto in r_CM con massa m e acc. a.

R^(ext) = dP/dt il moto del centro di massa è determinato solo dalle forze esterne.

CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA' DI MOTO

se R = 0 allora v = cost e P = cost, ciò vale per il centro di massa, e non necessariamente per tutti i punti: P = p₁ + p₂ = mv₁ + mv₂ = cost R = d(.)/dt = 0 F₁ + F₂ = 0 F₁ = -F₂

TEOREMA DEL MOMENTO ANGOLARE

L = Σ r_i · m_iv_i  dL/dt = Σdr_i/dt · m_iv_i + Σ r_i · m_i dv_i/dt

dato che: dr/dt = v_i - v_o con v_o = velocita del polo

m_i dv_i/dt = m_ia_i = F_i^(ext) + F_i^(int)

allora dL/dt = -v_o · mv_CM + M^(ext) + M^(int)

-v_o · mv_CM è nullo quando: il polo è fisso v_o = 0

il centro di massa è in quiete v_CM = 0

il polo coincide con CM v_o · v_CM = 0

v_o è parallelo a v_CM v_o · v_CM = 0

CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE

Nei casi in cui -v_o · mv_CM è nullo, M = dL/dt, quindi se M = 0, L = cost:

se R^(ext) = 0, M = 0,   L = costante rispetto a qualsiasi polo che annulla -v_o · mv_CM,

P = costante

M = 0 solo rispetto a un determinato polo L = costante solo per quel polo

Nel risolvere i problemi è importante perciò la scelta del polo.

SISTEMA DI RIFERIMENTO IN CM

è un sistema con O' = CM, assi paralleli a x,y,z (quindi ω = 0) e inerziale solo nel caso in cui R^(ext) = 0, quindi a_CM = 0.

r = r' + r_CM v = v' + v_CM ovviamente rispetto a O', r'_CM e v'_CM = 0

perciò rispetto al nuovo polo: Σ m_i r'_i = 0 e Σ m_i v'_i = 0

P' misurata dal centro di massa = 0

sui singoli punti, se il sistema O' non è inerziale (a_CM ≠ 0), allora sembra agire su essi la forza di inerzia: -ma_t = -ma_CM, quindi:

F_i^(ext) + F_i^(int) - m_ia_CM = m_ia_i R^(ext) - m_ia_CM = R^(ext) - ma_CM = Σ m_ia'_i = 0

in quanto R^(ext) = m a_CM come visto prima, quindi

M'^(ext) = Σ r'_i · F_i^(ext)    L' = Σ r'_i · m_iv'_i allora dL'/dt = M'

TEOREMI DI KONIG

teorema di Konig del momento angolare:

L = L' + L_CM (sost. r = r' + r_CM, v = v' + v_CM)

momento angolare = momento angolare del centro di massa (r_CM · mv_CM)

+ momento angolare calcolato dall centro di massa (Σ r'_i · m_iv'_i)

teorema di Konig per l'energia cinetica:

E_k = E'_k + E_{k CM} (sost. r = r' + r_CM, v = v' + v_CM)

en. cinetica =    en. cinetica del centro di massa (½m v²_CM)

+ en. cinetica calcolata dal centro di massa (Σ ½m_iv'_i²)

teorema dell'energia cinetica: W = W^ext + W^int

W^int è legato alle distanze tra i punti, se il corpo è rigido esse sono fisse e W^int = 0

W = W^ext + W^int = E_k se F^int sono conservative, W^int = -ΔE_p^int

se F^ext sono conservative, W^ext = - E_p^ext

se entrambe sono conservative: E_meccanica = costante

se non tutte sono conservative: ΔE_meccanica = W_dissipative

SISTEMI DI FORZE

un sistema di forze è riconducibile a un sistema con R applicata nel polo (cosicché il suo momento = 0) e a una coppia di forze uguali ed opposte di momento M_o che non dipende dalla scelta del polo.

sistema di forze parallele: R = Σ F_i u_f M = Σ F_ir_i · u_f, quindi M R

trovare punto C dove applicare R, tale che

M = OC · R = r_c · R r_c = OC = F_ir_i / F_i

cosicché il sistema è assimilabile a una forza applicata in C.

Se F = mg forza di gravità, C coincide con il Centro di Massa o baricentro.

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

R = m a_CM M = dL/dt ΔE_k = W (non contano forze interne)

traslazione v_i = v_CM

L' = 0  (rispetto a CM) E'_k = 0 (rispetto a CM)

P = m v_CM E_k = E_{k CM} = ½ m v²_CM

R = m a_CM L = L_CM = r_CM · mv_CM = r_CM · P

M = M_CM = r_CM · ma_CM = r_CM · R = dL/dt

rotazione: M = dL/dt

densità: ρ = dm/dV m = dm = _V ρ dV    se omogeneo, tolgo d e m = ρ V

esiste po la densità superficiale in dS e lineare in dl.

CM: r_CM = r dm / dm = r ρ dV / m    se omogeneo r_CM = ρ/m r dV = 1/V r dV

La forza peso mg si applica in CM, così come E_p = mg z_CM.

ROTAZIONI RIGIDE ATTORNO A UN ASSE

P_i descrive una circonferenza di centro sull'asse e raggio R_i pari alla distanza dall'asse

v_i = ωR_i , a_i normale = ω²R_i a_i tangente = α R_i = dω/dt R_i

momento angolare: L_i = m_i R_i r_i ω con r_i = vettore del punto rispetto al polo

il polo è situato sull'asse di rotazione z.

momento angolare assiale = proiezione di L sull'asse di rotazione:

L_{z, i} = L_i cos(π/2 - θ) = L_i senθ = m_i r_i senθ R_i ω = m_i R_i² ω con θ angolo tra r_i e asse z

L_z = Σ L_z,i = Σ (m_i R_i²) ω = I_zω

momento di inerzia I_z = Σ m_i R_i² = Σ m_i (distanza di P dall'asse)²

L_z dipende da ω, dalla forma del corpo e dalla posizione dell'asse, e ha direzione fissa.

invece L_{i ortz} = L_i cosθ_i = m_i R_i r_i ω cosθ_i varia in direzione e verso.

se viene scelto come asse, l'asse di simmetria di un corpo, o l'asse principale di inerzia, allora: L = L_z = I_zω poiché L_ortz = 0 (moto di precessione)

3 casi:    L // ω L = vario dL/dt = M // ω

L // ω L = cost M = 0

L non è parallelo a ω: per la componente L_z valgono i due casi precedenti, per L_ortz invece c'è un M=dL_ortz/dt che ne varia la direzione se ω=cost, anche il modulo se ω=vario.

Questa situazione in cui L non è parallelo a ω possono essere evitate.

EQUAZIONI DEL MOTO, ENERGIA E LAVORO

M = dL/dt = d(I_z ω)/dt = I_z α 

eq. del moto: α = M/I_z ω = ω₀ + ∫ α dt θ = θ_o +∫ ω dt θ = θ_o + ∫ [ ω_o + ∫ α dt] dt

se M = 0 α = 0, ω = ω_o, θ = θ_o + ωt

se M = cost α = cost,    ω = ω_o + t, θ = θ_o + ω_ot + ½αt²

se M generico, moto vario.ò

se l'asse non è parallelo a ω, M M_z, l'altra componente ortogonale non ha effetti sul moto

a_t = αR, a_n = ω²R

E_k = ½ I_z = L_z² / 2I_z

W = E_k = ½ I_z ( _{b a}) = ∫ M_z d

Potenza istantanea: dW/dt     = M_z

MOMENTO DI INERZIA

I = ∫ R² dm = ∫ ρ R² dV = ∫ ρ (x² + y²) dV

anello = m R² disco = ½ m R²

guscio cilindrico = m R² cilindro = ½ m R²

guscio sferico = 2/3 m R² sfera = 2/5 m R²

asta =     1/12 m d² lastra = 1/12 m (a² + b²)

teorema di Huygens-Steiner: il momento di inerzia dato da un asse posto a distanza d dal centro di massa del corpo è dato da: I' = I_CM + md²

ampliamento teorema di Konig per E_k: E'_k = ½ I_z + ½ m v²_CM

PENDOLO COMPOSTO

M = -mghsenθ con h = distanza dal centro di massa da O

dL_z/dt = I_z α = I_z d²θ/dt² = - m g h senθ d²θ/dt² + m g h senθ / I_z = 0

se oscillazione è piccola, senθ ≈ θ, e si ha l'equazione del moto armonico:

θ = θ_o sen( t + ) con = √mgh/I_z    T = 2π√I_z/mgh = 2π √l/g

l = I_z/mh = lunghezza di un pendolo che oscilla con lo stesso periodo

MOTO DI PURO ROTOLAMENTO

C = punto di contatto col suolo e centro di rotazione v_C = 0

le velocità dei punti sono perpendicolari all'asse che li congiunge a C, e valgono ω|PC|

v_C = v_CM + ω · r v_CM = - ω · r (a_CM = α · r)

• CASO A: Forza F applicata in CM

asse y: N = mg

asse x: F-f(forza di attrito) = m a_CM

M_CM = r · f = I · = I a_CM / r

a_CM = F / m(1+I/mr²)

f = F / 1+mr²/I  

condizione necessaria affinchè il corpo rotoli e basta, e non trasli:

f ≤ μ_smg F ≤ μ_smg(1+mr²/I) = F_lim

• CASO B: Momento M applicato in CM

R + mg = ma_CM M + r · f = I · (R=reazione del piano)

N = mg f = ma_CM M - rf =I a_CM / r

a_CM = M / mr(1+I/mr²)

f = M / r(1+I/mr²)

condizione necessaria affinchè il corpo rotoli e basta, e non trasli:

f ≤ μ_smg M ≤ μ_smgr(1+I/mr²) = M_lim

• CASO A+B:

F +f = ma_CM M - r · f = I a_CM / r

a_CM = 1/m · (F + M/r)/(1 + I/mr²)

f = (M/r - IF/mr²)/(1 + I/mr²)

condizione necessaria affinchè il corpo rotoli e basta, e non trasli:

f ≤ _smg

f è u_x se M > IF/mr e viceversa, se M = IF/mr , f = 0

• attrito volvente: M_v = h m g con h = coeff. attrito volvente [m]

per annullare questo attrito occorre F₂ ≥ h m g / r, anche se per lo più lo trascuriamo.

• corpo che rotola lungo a un piano

mgh = ½I_Cω² + ½mv²_CM = ½mk²v²_CM/r² + ½mv²_CM  k² = I_C/m

v_CM = √(2gh)/(1 + k²/r²) < √2gh (E_k diventa traslazione e rotazione)

mgsen - f = ma_CM fr = I_C = mk²a_CM/r

a_CM = gsenθ/(1 + k²/r²) f = mgsenθ/(1 + r²/k²)

con I = mk² e F = mgsenθ

condizione necessaria affinchè il corpo rotoli e basta, e non trasli:

f ≤ μ_smgcosθ tgθ ≤ μ_s(1+r²/k²)

IMPULSO ANGOLARE

impulso angolare = ∫M dt = ∫r·F dt = r·∫F dt = r·J = L_(t2) - L_(t1) = ΔL M_medio = ΔL/Δt

L = r·J = momento dell'impulso (della forza) (= Iω)

condizione di equilibrio:

L = costante  (Iω = cost)

energia cinetica:

E_k = L²/2I

pendolo rigido:

E_{p iniziale} = m g h

E_{p finale} = ½Iω² + mg h_CM

condizione di equilibrio per un corpo rigido:

R = 0,  M = 0 P = cost, L = cost

URTI

Teorema dell'impulso:

se F^ext sono conservative e non impulsive, la quantità di moto totale P = costante.

in un corpo rigido ciò vale solo per CM (teorema di Konig):

E_k = ½ (m₁ + m₂) v²_CM + E'_k

il primo termine, E_{k CM} è costante, ciò che varia è l'energia cinetica dei punti rispetto a CM:

E'_k = ½m₁v'₁² + ½m₂v'₂²    E'_{k iniz} ≠ E'_{k finale}

Urto completamente anelastico

m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂) v' = (m₁ + m₂) v_CM

E_{k iniz} = ½m₁v₁² + ½m₂v₂² = E'_k + ½(m₁ + m₂)v_CM²  

E_{k fin} = ½ (m₁ + m₂) v_CM² < E_{k iniz}

l'energia cinetica rispetto al centro di massa E'_k è stata assorbita durante l'urto:

ΔE_k = -E'_k = ½ (+ m₂)v_CM² - ½m₁v₁² - ½m₂v₂²

Urto elastico

si conserva l'energia cinetica: P = P' E_k = E'_k

metto a sistema:

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v'₁ + m₂v'₂

½m₁v₁² + ½ m₂v₂² = ½m₁v'₁² + ½m²v'₂²

Urto anelastico

coefficiente di restituzione: e = - P'_{1 iniz} / P'_{1 fin} = - v'_{1 iniz} / v'_{1 fin} = lo stesso con 2

E'_{k finale} = e² (½m₁v'₁² + ½m₂v'₂²)_iniziale = e² E'_{k iniz}

variazione energia cinetica: δ = (E'_{k fin} - E'_{k iniz}) / E'_{k iniz} = e² - 1

le soluzioni del sistema diventano:

v_{1 fin} = [(m₁ - em₂) v_{1 iniz} + m₂ (1 + e) v_{2 iniz} ] / m₁ + m₂

v_{2 fin} = [m₁ (1 + e) v_{1 iniz} + (m₂ - em₁) v_{2 iniz} ] / m₁ + m₂

GRAVITAZIONE

forza centrale, avente un'origine con vettore u_r radiale. Campo di forza = modifica dello spazio che fa coincidere una forza ad ogni posizione. Rispetto al centro, dL/dt=0 L=cost

L = r · mv = r · m(v_r + v_θ) = r · mv_θ = m r² dθ/dt

quindi aree spazzate dal vettore r (velocità areale): dA/dt = ½ r² dθ/dt = L/2m = cost

se la traiettoria è chiusa, il Periodo di percorrenza T = 2mA / L

le forze centrali sono conservative.

Keplero:

1) I pianeti percorrono orbite ellittiche intorno al Sole che occupa uno dei fuochi dell'ellisse.

2) La velocità areale con cui il raggio vettore che unisce il Sole ad un pianeta descrive l'orbita è costante.

3) Il quadrato del periodo di rivoluzione di ogni pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'ellisse: T²/r³ = k

dA/dt = ½ r² d /dt = cost d /dt = cost

F solo centripeta: F = m ω² r = m (2π/T r (T²/r³=k) F = 4 /k · m/r²

F(sole su terra) = F(terra su sole) 4π²/k_T · m_T/r² = 4π²/k_S · m_S/r² m_Tk_S = m_Sk_T

detto /m_Tk_S F_(sole-terra) = γ m_Sm_T / r² u_r

g = γ m_T/r²_T

F_{(terra luna)} = m_L ω² r_L

γ = 6.67 · 10^-11 m³/kg s² , m_T = 5.98 · 10²⁴ kg

Campo gravitazionale: G = -γ m_sorgente/r² F = Gm_{massa di prova}

Energia potenziale gravitazionale: E_p = - γ m₁m₂ / r

velocità di fuga: un corpo sulla terra con velocità v viene portato a distanza infinita (E_p = 0) con velocita v_o (valore limite di v = velocità di fuga per v_o = 0):

½mv² - γ mm_T/r_T = ½mv_o² v_fuga = √(2γm_T/r_T) = 11,2 km/s = 4 · 10⁴ km/h