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PROBLEMA DEL CONSUMATORE

matematica


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PROBLEMA DEL CONSUMATORE

PROBLEMA DEL CONSUMATORE:

Il consumatore è colui che acquista beni per destinarli al proprio consumo.

L'insieme dei beni che il consumatore acquista prende il nome di paniere di consumo.

D'ora in poi prenderemo in esame un paniere di soli due beni, individuato dalla coppia ordinata (x,y); ovviamente le quantità richieste saranno sempre 0.

Per esprimere la preferenza del consumatore nei confronti di due panieri useremo il simbolo f, mentre per indicare l'indifferenza ~.

Assiomi:

 



A1. Riflessività : (x,y)f=(x,y)       ogni paniere di consumo è desiderato almeno quanto se stesso.

A2. Completezza: (x1,y1) f (x2,y2)      (x2,y2) f (x1,y1)       (x1,y1) ~ (x2,y2) è sempre possibile per il consumatore confrontare i due panieri.

A3. Transitività: se (x1,y1) f (x2,y2)  e  (x2,y2) f (x3,y3)  allora  (x1,y1) f (x3,y3)

A4. Continuità: se (x1,y1) f (x2,y2), allora qualunque paniere sufficientemente simile a (x1,y1) è preferito a (x2,y2).

A5. Non sazietà: dati due panieri di consumo in cui la quantità x è la stessa, cioè (x,y1) e (x,y2), se si verifica che y1>y2 allora (x,y1) f (x,y2).

A6. Stretta convessità: se (x1,y1) f= (x3,y3) e (x2,y2) f= (x3,y3), allora λ(x1,y1)+(1-λ)(x2,y2) f=(x3,y3) per ogni λ compreso fra 0 e 1.

La preferenza del consumatore può essere rappresentata attraverso la funzione di utilità, cioè U(x,y).

Se (x1,y1) f (x2,y2) allora U(x1,y1) > U(x2,y2)

Se (x1,y1) ~ (x2,y2) allora U(x1,y1) = U(x2,y2) perché se i due panieri sono indifferenti per il consumatore, la loro utilità è la stessa.

La rappresentazione grafica della funzione di utilità è tridimensionale, ma utilizzando le linee di livello, dette curve di indifferenza, U(x,y) = K , essa viene disegnata sul piano.

La curva di indifferenza rappresenta l'insieme dei panieri che danno al consumatore la stessa utilità, ossia sono ugualmente desiderabili.

L'insieme di tutte le curve d indifferenza relative ad una funzione di utilità si dice mappa di indifferenza.

La pendenza della curva di indifferenza prende il nome di saggio marginale di sostituzione SMS, ossia il tasso al quale il consumatore è disposto a sostituire il bene 2 con il bene 1 per rimanere con la stessa utilità.

Le curve di indifferenza di una funzione di utilità hanno le seguenti caratteristiche:

§         Sono funzioni decrescenti e quindi hanno una pendenza negativa in ogni punto.

§         Hanno concavità rivolta verso l'alto.

§         Non si intersecano mai.

§         A curve di indifferenza più alte corrispondono livelli di utilità più alti e viceversa.

Le curve di indifferenza possono assumere le seguenti forme:

La curva di indifferenza è costituita da una retta perché il consumatore sostituisce i beni sempre nella stessa proporzione.

Si parla di beni sostituti perfetti.

Questo si verifica se SMS è costante.

 


Y

Per essere soddisfatto il consumatore deve avere a disposizione una quantità minima, ma non nulla, dei due beni, rappresentata dal punto d'angolo.



Mantenendo fissa una delle due quantità si considerano indifferenti tutti i panieri che fanno aumentare la rimanente.

Si parla di beni complementari perfetti.

Questo si verifica se SMS è nullo lungo il ramo orizzontale e infinito lungo quello verticale.

 
                                         X


Y


                                          X


Il consumatore ha lo stesso livello di soddisfazione quando all'aumentare della quantità del bene 1 quella del bene 2 diminuisce, senza però farlo nella stessa proporzione.

Si parla di beni sostituti imperfetti.

 
Y

                                          X

Quando il consumatore acquista dei beni, cerca di farlo in modo da rendere il più grande possibile il suo grado di soddisfacimento, compatibilmente con il denaro a disposizione.

Il vincolo del bilancio rappresenta l'insieme ammissibile dei panieri all'interno del quale il consumatore può scegliere il suo.

Vincolo di bilancio:    C = px * x + py * y

Se il reddito aumenta, il vincolo di bilancio subisce una traslazione verso l'alto; se sono i prezzi dei beni a subire variazioni, la retta del vincolo cambia inclinazione.

Ogni linea che esprime il vincolo di bilancio si chiama isospesa.

Il problema del consumatore diventa quindi quello di trovare il massimo assoluto della sua funzione di utilità con il vincolo di bilancio.

Per risolvere il problema basterà quindi trovare il punto di tangenza attraverso:

  1. Le curve di indifferenza e le isospese (curve di livello e vincolo).
  2. Il metodo elementare
  3. La funzione di Lagrange.

L'OTTIMO PARETIANO

Si ha una situazione di ottimo secondo Pareto quando la distribuzione di beni e servizi fra gli individui di una società è tale che nessun altra distribuzione sia in grado di aumentare l'utilità di un individuo senza diminuire quella di un'altro.

Per contro, una situazione inefficiente è caratterizzata dal fatto che è possibile, aumentare il benessere di qualcuno senza peggiorare la situazione di qualcun altro.

                                                                Bene 1                                               OB

                OA                                           Bene 1                                                 C

Se assumiamo come ipotesi che la funzione di utilità A abbia la massima quantità del bene 1, mentre B abbia la massima quantità del bene 2.

Le curve di indifferenza che corrispondono a questa situazione sono le curve a0 e b0 che si incontrano nell'angolo inferiore a destra del rettangolo (punto di scambio nullo); al di sotto di queste curve non si saranno linee di indifferenza perché l'utilità sarebbe nulla.

Se A e B vogliono scambiare parte della merce in loro possesso, devono spostarsi nella zona delimitata dalle due curve, perché solo in tale zona un aumento di utilità di un soggetto, provoca un aumento di utilità anche per l'altro.


I punti di massima utilità si trovano in corrispondenza dei punti di tangenza delle coppie di curve di indifferenza A e B.

L'insieme dei punti di tangenza forma una linea che si chiama curva dei contratti.

I punti che si trovano più vicini a R sono quelli in cui sono avvenuti gli scambi più vantaggiosi per B, mentre quelli più vicini a S, sono quelli più vantaggiosi per A.

PROBLEMA DEL PRODUTTORE:

per produrre della merce è necessario avere a disposizione delle risorse (terra, lavoro, capitale).

Si dice che una produzione è efficiente se non è possibile ottenere una fissata quantità di bene con una quantità inferiore di qualsiasi fattore di produzione.

Questo fatto si esprime con la legge dei rendimenti decrescenti:

in condizioni di efficienza produttiva, l'aumento di un fattore produttivo determina dei rendimenti progressivamente decrescenti.




La funzione di produzione Q = f (x1, x2, ., xn) indica il massimo livello di produzione che può essere realizzato in un determinato periodo impegnando una certa combinazione di fattori produttivi.


         Q

                                                              L

Noi supporremo che nella produzione di un certo bene, entrino in gioco solo due fattori, il capitale e il lavoro, quindi:   Q = f(L,K)

Un isoquanto di produzione, f(L,K) = d, è l'insieme di tutte le combinazioni di capitale e lavoro che danno la stessa produzione.

In genere questi:

¨      Sono funzioni decrescenti.

¨      Sono concave verso l'alto.

¨      Non si intersecano mai.

¨      Isoquanti che si trovano più ontani dall'origine implicano livelli di produzione più elevati.

Il coefficiente angolare della retta tangente ad un isoquanto di produzione, prende il nome di saggio marginale di sostituzione tecnica, SMST, la sua espressione è data dal rapporto fra le derivate prime parziali rispetto al lavoro e al capitale:

              Q'L

SMST = -----

                Q'K

Gli isoquanti di produzione possono assumere le seguenti forme:

Ogni unità del fattore lavoro viene sostituita sempre dalla stessa quantità del fattore capitale.

L e K sono dei sostituti perfetti.

Questo si verifica se SMST è costante.

 


Y

                                         X


Tra lavoro e capitale non esiste sostituibilità e l'aumento del grado di utilizzo di uno di essi non comporta alcuna diminuzione dell'altro.

Questo si verifica se SMST è nullo lungo il ramo orizzontale e infinito lungo quello verticale.

 
Y


                                          X


All'aumentare della quantità di L quella di K diminuisce, senza però farlo nella stessa proporzione.

Si parla di fattori sostituti imperfetti.

Questo si verifica se SMST è decrescente.

 
Y

                                          X

Si dice economicamente efficiente quella combinazione di fattori produttivi che, a parità di costo, consente di ottenere il più alto livello di produzione o, in alternativa, che , a parità di quantità prodotta, consente di ridurre al minimo il costo di produzione.

Vincolo della produzione: C = PL*L + PK*K

La retta che ne risulta prende il nome di retta di isocosto e rappresenta l'insieme di tutte le combinazioni dei due fattori produttivi che hanno lo stesso costo complessivo.

La combinazione più conveniente è quella che permette di ottenere la massima produzione.

Il problema del produttore diventa quindi quello di trovare il massimo assoluto della sua funzione di produzione con il vincolo di produzione.

Per risolvere il problema basterà quindi trovare il punto di tangenza attraverso:

  1. gli isoquanti di produzione e le rette di isocosto (curve di livello e vincolo).
  2. Il metodo elementare
  3. La funzione di Lagrange.







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