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FISICA SPERIMENTALE B - ELETTROSTATICA

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FISICA SPERIMENTALE B - ELETTROSTATICA

FISICA SPERIMENTALE B

ELETTROSTATICA

Carica elettrone/protone:      1,6 · 10-19 C

Legge di Coulomb:                F = K q1q2 / r2             K = 8,98 · 109 m/Farad           K = 1/4πεo     

F = (1/4πεo) q1q2 / r2   εo = cost. dielettrica nel vuoto = 8,85 · 10-12 F/m

Sistema di cariche:    vale il principio di sovrapposizione:

                                               F = Q · [1/4πεo · Σ (qi/ri2) ur i]



Campo elettrico:        esiste indipendentemente dalla carica Q di prova:

                                               E = F/Q = 1/4πεo q/r2              (vel. di propagazione campo = vel. luce)

Cariche non puntiformi:

                                                ρ = Q/Volume = densità di carica

                                                E = 1/4πεo · ∫V ρ/r2 dv

Proporzione tra F gravitazionale e F elettrostatica:

Fel / Fg = 1043              à posso ignorare Fg

Proprietà della carica elettrica:        1) conservazione della carica totale

2) quantizzazione della carica: dq = ρ dv non è infinitesima, la                 carica minima è l'elettrone e 151i85b il protone

Lavoro del campo elettrostatico:                 (E è conservativo, quindi L non dipende da traiettoria)

                                                L = ∫F ds = q1q2/4πεo · (1/rb - 1/ra)

Energia potenziale:                L per portare carica da rb = ∞ a ra

                                                Ep = 1/4πεo · q1q2/r

Potenziale elettrostatico:

            V = Ep/Q =  1/4πεo q/r           à L = Q (VA - VB) = -QΔV

            V = Σ Vi                                 à Ex,y,z = - ∂V/∂x,y,z · dx,dy,dz à E = - ΛV

                                                                con Λ = vettore derivate parziali

                                                           à dV = -E · dl

Legge di Gauss:                     ΦE = ∫ E n dΣ = Qcontenuta in Σ / εo

Flusso generato da guscio sferico carico:   

ΦE = Q/εo = E Σ          à E = Q/Σ 1/εo = σ/εo

all'interno di un conduttore non c'è campo, poiché Q interno a Σ è 0

Cariche sferiche:       ext:       E = Q/A 1/εo = Q/4πεor2                                               ÷ 1/r2

                                   int:        E = Qint/A 1/εo            (Qint = ρ 4/3 π r3, A = 4πr2)

                                               E = (ρ 4/3 π r3) / 4πεor2 = ρ/εo r/3                               ÷ r

Cariche superficiali piane:                considero piano infinito carico:

                                                E = ½ σ/εo un  

E è costante e non dipende dalla distanza (poiché il piano è infinito)

Cariche cilindriche:               considero un cilindro infinito carico:

                                   ext:       E = ρ/εo · R2/r                                                             ÷1/r

                                   int:        E = ρ/εo · 2r                                                                ÷ r

Cariche filiformi:                   considero filo infinito carico:

                                               E = λ / 2πεod

Cariche ad anello:                 considero solo E lungo la retta passante per il centro dell'anello:

                                               E = λhR / 2εo(h2+R2)3/2

Energia elettrostatica:                     

dW = V dq à W = ∫V dq

esempio:          caricare una sfera:

                        V = 1/4πεo q/r             q = ρ 4/3 π r3               à V = ρr2/3εo

dq = ρ (4 π r2 dr)(=d Vol)      

W        = ∫ V dq           = ∫ ρr2/3εo · ρ 4 π r2 dr =  4π/3εo ρ2 ∫ r4 dr       = 4π/3εo ρ2R5/5

W        àsostituisco ρ = q / 4/3πR3à            = 3/5  Q/4πεo  1/R

Conduttori e isolanti:

Un materiale conduttore immerso in un campo elettrostatico subisce l'effetto dell'induzione elettrostatica, detta completa se tutte le linee di campo passano per il conduttore. All'interno del conduttore il campo è nullo, le cariche si dispongono sulla superficie e generano un campo esterno che nei pressi della superficie è perpendicolare ad esse, poiché altrimenti vi sarebbe una componente di E tangente che farebbe muovere le cariche.

Teorema di Coulomb:                       E = ρ/εo

Condensatori:            E uniforme = ρ/εo                     V = ρ d / εo = q/εo d/A = E d

                                   C = εo A/d       = q/V               u.m.: Farad = C/V

energia associata a E:           W = ½ Q2/C    = ½ V2C          = ½ VQ           = ½ E2εo Ad (Ad = vol)

esempio se V = sfera:               W = ∫(4/3 πr3)  ½ E2εo dv          = ∫0R  ½ εo (1/4πεo)2 Q2/R4 4πr2 dr

(dv = 4πr2 dr)

Condensatore cilindrico:       E = σ/εo a/l      ΔV = -q/2πεol  log(b/a)

                                               C = q/ΔV = 2πεol / log(b/a)

Condensatore sferico:           C = 4πεo / (1/a - 1/b)

Corrente elettrica:     I = dQ/dt         = ∫Σ J · n dΣ     con J = densità di corrente = q N v

                                   Q = v · n Δt                             con n = normale alla superficie, v = velocità

                                   I = q N v n Σ   = ∫Σ J n dΣ        N = n portatori di q / Volume

Corrente in un metallo:         V = R I                                   R = resistenza u.m.: Ω Ohm

                                               R = ρ · Lunghezza/Superficie ρ = resistività ~ T         u.m.: Ω/m

Campo conservativo: carica: puntiforme o sferica:      circuitazione = ∫AA qE · dl = 0

Forza elettromotrice:G = differenza di potenziale ai morsetti del generatore a circuito aperto.                                   nel generatore è presente una resistenza interna r tale per cui:                               

G = RI + rI

Resistenze     in serie:           Rtot = R1 + R2              Vtot = V1 + V2             I = cost

                        in parallelo:    1/Rtot = 1/R1 + 1/R2     V = cost                      Itot = I1 + I2

Legge                         alle maglie:     ΣAA Vi = 0      



ai nodi:            ΣAA I = 0

Divergenza di E:        data una superficie gaussiana Σ che racchiude un volume V,

                                   dwE = lim Σ>>0 ovvero V>>0 ΦE/V

                                   dwE = ∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y + ∂Ez/∂z = ΛE           con Λ = vettore derivate parziali

ΦE = [ ∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y + ∂Ez/∂z ] dx dy dz = dwE  dx dy dz

teorema di gauss:         ΦE = ∫Vol ΛE dV

                                   dwE = ρ/εo      (se E è solenoidale dwE = 0)

equazione di poisson:   E = -ΛV à ΛE = ρ/εo = Λ(-ΛV) à Λ2V = -ρ/εo

Rotore di E:               L E · dl            è        Σ rotE · n dΣ               N.B. con Σ superficie aperta

                                   rot E = Λ×E =               ux         uy            uz 

                                                                         ∂/∂x   ∂/∂y     ∂/∂z

                                                                         Ex                  Ey        Ez  

poiché E è conservativo:          Σ rotE · n dΣ = 0         poiché rotE = 0

Dipolo elettrico:         momento di dipolo P = q d us              +q ßà-q       us: - à +

                                   r = distanza di un punto da O posto in d/2,       r >> d

                                   allora Ep = -ΛVp

potenziale di dipolo:     Vp        = V+q + V-q      = q/4πεo (1/r+ - 1/r-)                = q/4πεo (r- - r+ / r-r+)

                                   r- - r+    = d cosθ          con θ = angolo asse d e r,        r-r+ = r2

                                   Vp        = q/4πεo dcosθ/r2                    = 1/4πεo p·r/r3

calcolo Ep = -ΛVp:       Ep        = -1/4πεo Λ(p·r/r3)                  = -1/4πεo [1/r3(Λp·r) + p·r(Λ1/r3)]

                                   r = (xux + yuy + zuz)    

p = (pxux + pyuy + pzuz)                      

r3 = (x2 + y2 + z2)3/2

Λp·r = Λ(pxx + pyy + pzz) = ∂pxx/∂x + ∂pyy/∂y + ∂pzz/∂z = pxux + pyuy + pzuz = p

Λ1/r3 = Λ 1/(x2 + y2 + z2)3/2

= ∂1/(x2 + y2 + z2)3/2/∂x + ∂1/(x2 + y2 + z2)3/2/∂y + ∂1/(x2 + y2 + z2)3/2/∂z

= -3/2 1/(x2 + y2 + z2)5/2 2x ux + -3/2 1/(x2 + y2 + z2)5/2 2y uy + -3/2 1/(x2 + y2 + z2)5/2 2z uz

= -3/r5 (xux + yuy + zuz)           = -3r/r5

                                   Ep = -1/4πεo [p/r3 - 3(p·r) r / r5]          = 1/4πεo [(p·r)·r / r5 - p/r3]

                                   Ep = componente r - componente p

Dielettrico:     caratterizzato da εr = costante dielettrica relativa = Cdiel/Cvuoto        >1 à Cdiel > Cvuoto

I dipoli molecolari/atomici si orientano secondo E, annullando gli effetti del loro campo all'interno del dielettrico, ma generando all'esterno una carica superficiale ∂q e densità ∂p, che genera un campo Ediel opposto e proporzionale a E: Etot = E - Ediel

vettore polarizzazione:  P = Σpi / Δvolume       ∂p = (P · n)

(ci sono condizioni per cui ho densità di cariche nel volume del dielettrico ρp ~ dwP = ΛP)

P = εoχE          χ = suscettività elettrica

Legge di Gauss:                    dwE = ΛE = ρo = (ρlibera - ρp) / εo                

                                               dwE = (ρlibera - ΛP) / εo           à        Λ[εo E + P] = ρlibera

                                               o E + P] = D = spostamento elettrico            dwD = ρlibera

                        D = εo E + P = εo E + εo χ E = εo E (1+χ) = εo E εr

                        Etot = Eo εr

Dielettrico nel condensatore:           date 2 maglie a distanza d e un dielettrico spesso h:

                                                           C = Cod / d-h 

Polarizzabilità atomica:         p = q d = α E               α = polarizzabilità atomica

            4πd2E = ρ o · 4πr3/3  à E = ρ d / 3 εo = q d / 4πr3εo = p/4πr3εo         αd = 4πR3εo     R= r atomo

p = αoE            αorientamento ≠ αdeformazione ( = 4πR3εo )

L'energia cinetica (temperatura) dispone casualmente i dipoli, E li fa orientare: p ~ 1/T

in genere:         αo = po2/3kT                α = αo + αd       αo dipende dal materiale.

Liquidi: α = (3εo/N) (εr - 1)/(εr + 2)                 N = num dipoli / volume

Gas:                 εr ~ 1 à          α = (εo/N) (εr - 1)

dimostrazione 2a legge di Ohm: V = RI             V = E lfilo         R = ρ A/l          I = J A

                                               E = ρ J             J = σ E            σ = 1/ρ = conducibilità

In genere quindi J // E // p. Alcuni materiali p non è // E, quindi

p = εo χ E        è        χ àx, χy, χz)            costanti dette tensori

Drude: considero una corrente in un metallo:    F = q(e-) E         a = q/m E

                        gli elettroni urtano con i cationi: tempo medio tra due urti:         т

                        vderiva = a т = q/m E т               J = n q vd         vd = J/nq

                        J = nq2тE /m    quindi               σ = 1/ρ = conducibilità = nq2т /m

                        т = m σ / n q2              conosco vtermica т = l (distanza tra due urti)       ½mvth2 = 3/2 k T

                        la distanza tra ioni è d ~ 5 Ǻ     nd = l

Nel metallo gli elettroni, se raggiungono velocità suff. elevate, si comportano come onde, e se il materiale è un cristallo perfetto, si muovono senza interagire quindi la resistenza è nulla.

                       




ELETTROMAGNETISMO

Forza di Lorentz:        F = q v×B                   u-m.: Tesla = Kg / A s2

            La forza di Lorentz non compie lavoro, poiché è una forza sempre centripeta: a = v2/R

·        v_B:

                                   moto circolare uniforme: qvB = mv2

raggio di curvatura:      ρ = mv/qB

·        v e B con angolo θ:

moto elicoidale, devo scomporre v in componenti parallelo a B, che rimane inalterato, e perpendicolare a B, che subisce l'effetto della F di Lorentz.

·        v // B

B non varia la velocità.

Effetto Hall:               Data una piastra di spessore a, lunghezza b, e una corrente i che la percorre, immersa in un campo magnetico B perpendicolare ad essa:                           i = J a b = N q vd        

Il campo magnetico B curva le velocità con Fm = - q vd B e sposta gli elettroni da un lato della lastra, generando una carica negativa da un lato e una positiva dall'altro, creando così un campo elettrico il cui ΔV è misurabile.                                                                ΔV = E b

E applica sulle cariche una forza Fe opposta a Fm, in condizioni di equilibrio abbiamo:   q E = q vd B

E = vd B           ΔV / b = vd B              B = ΔV / b vd              ( vd = i / N q a b )        B = ΔV N q / a i

Campo generato da un circuito:       dato un circuito chiuso γ, dato l'elementino di circuito dl, R il

vettore che indica il punto P e R' quello che indica dl, B calcolato in P vale:

                        B(p) = μo i / 2π  γ [dl × (R-R') / (R-R')3]         (Formula di Laplace)

μo = 4π 10-7 Henry/m = N C-2 m-1                   cost. di permeabilità magnetica nel vuoto                    

Filo percorso da corrente:                 F = i  l×B         F è centripeta e B è tangente a una circonferenza col centro nel filo.

Se ci sono due fili, entrambi generano un campo e si attrarranno se i hanno lo stesso verso oppure si respingeranno, con F:                        F = (μo/2π)(I1I2)(l/d)

Formula di Biot-Savar:          Dato un filo l uz passante per O, considero l'elementino dl e un punto P posto a distanza d, allora:   O-dl = R' = z              O-P = d = R ux            dl-P = R-R'= P-dl

detto θ l'angolo tra asse z e R-R', allora B:

B = i μo / 4π  ∫dz senθ / (r-r')2  sostituisco:       (R-R')senθ = d            z/d = cotgθ

B = μo/4π i/d ∫0π -senθ dθ                   B = μo/2π  i/d

Campo generato da una spira:         consideriamo asse z passante per O centro della spira di raggio a e P posto su z di coordinata R, θ l'angolo tra l'asse z e R-R' congiungente l'elementino di spira dl = R' a P.      Allora avremmo che:   

B = i μo / 4π  ∫dl senθ / (R-R')2            sostituisco:       R-R' = √(a2 + z2)         senθ = a / √(a2+ z2)

B = (i μo / 4π) (a / (a2+z2)3/2) ∫spira dl = (i μo / 4π) (a / (a2+z2)3/2) 2πa        B = (i μo / 2) (a2 / (a2+z2)3/2)

Se z>>a allora B = (i μo / 2) (a2 / z3)

Dipolo magnetico:      m = i · Area circuito · normale                       (n determinata da regola mano destra)

                                   Bspira = μo/2π  m/z3  

Campo generato da un solenoide:    dato un solenoide approssimato a un numero N di spire di lunghezza l, considero il campo lungo il suo asse centrale z:

η = N/l = densità di spire.        considero tratto infinitesimo: dz dN = η dz

dB = campo di una spira · dN: dB = (i μo / 2) (a2 / (a2+z2)3/2) ηdz

Dato θ angolo tra asse z e dl, sostituisco:         z = a cotgθ       dz = a dθ / senθ           a/√(a2 + z2) = senθ

B = (i μo η / 2) ∫ senθ dθ = (i μo η / 2) |cosθ|θ1θ2         

se il solenoide è infinito θ1 = 0, θ2 = 180°         B = i μo η

Filo immerso in un campo magnetico esterno:       

F = (q v×B)(num e- = N S l)    N = densità di corrente, S = sezione filo

sostituisco J = Nqv à F = J×B S l                  sostituisco J S = i à F = i l×B

Spira immersa in un campo magnetico esterno:    

considero una spira quadrata di lato l e B che forma con la normale n alla superficie un angolo θ, considero i lati uno alla volta:

l1:         F1 = l1×B i cosθ           l3:         F3 = l3×B i cosθ          

poiché l1 = -l3 à F1 + F3 = 0   perché entrambe hanno la stessa retta d'azione posta sul piano della spira e perpendicolare nel centro di l a l.

F2 e F4 sono una coppia di forze = i l2,4×B

Momento torcente:      Mo = i l2 l4 B senθ        = m B senθ

Legge di Gauss:         ΦB = ∫Σ B n dΣ = 0                 

ΦB = ∫v dwB dv = ∫v ΛB dv à dwB = 0 à non esistono le sorgenti del campo B

                                  

Circuitazione: ΓB = ∫γ B dl = μo Iconcatenata                    Legge di Ampère (non sempre valida)

                        ΓB = ∫Σ rotB n dΣ = ∫Σ (Λ×B) n dΣ      con Σ superficie aperta sottesa da l linea chiusa

                        ΓB = ∫Σ μo J n dΣ à rot B = μo J        

Limitazioni legge di Ampère:            Data la relazione Λ(Λ×B) = Λ(μo J), il primo termine è 0, allora: ΛJ = 0         che è valida sempre se J è solenoidale, ovvero quando:

ΦJ = v ΛJ dv = Σ J n dΣ = 0              Il flusso è uguale a 0 se la densità di corrente è stazionaria, ovvero non si accumulano cariche:            Inetto = -∂q/∂t = 0 è    ΛJ = -∂q/∂t     se ≠ 0 Ampère non valida

Formula di Biot-Savar:          B dl = μo Iconc scelgo l = circonf. centro nel filo tg a B = 2πr

                                               B = μo/2π  I/r

Corrente cilindrica:               ext:       B = μo/2π  I/r

                                               int:        B = μo J r / 2

Teorema di Helmotz: Detto F campo vettoriale, U il potenziale e W l'energia, allora:

            U = 1/4π  R3 (rotF ∙ F') / |F-F'|  dv'   

            W = 1/4π  R3 (rotF ∙ r') / |r-r'|  dv'

Energia di un campo magnetico:      dUB = B2/2μo dV

Costanza del valore di B all'interno del solenoide:            γ B dl = μo Iconc ,         se stabilisco un percorso rettangolare interno al solenoide, con 2 lati // a B, di cui uno coincidente con l'asse centrale, l'integrale è uguale a:  =  ∫ B dlpar1 + ∫ B dlpar2 + ∫ B dl1 + ∫ B dl2 = μo Iconc = 0, i componenti perpendicolari dl1 e dl2 sono uguali a 0, quindi, ∫ B dlpar1 + ∫ B dlpar2 = 0, B al centro è uguale a B non al centro!



Annullamento del campo all'esterno del solenoide:           stesso discorso di prima ma con un lato // esterno, per cui ∫ B dlint + ∫ B dlext = μo Iconc = μo I η l,

il primo termine da esattamente μo I η l, allora il secondo non può che essere uguale a zero.

Energia del campo di un solenoide: U = 1/2μo  B2  Aspira l = ½ μo η2 A l I2

autoinduttanza = L = μo η2 A l   è legata a geometria del solenoide à U = L I2

Autoinduttanza:          calcolo ΦB sulla superficie aperta Σ racchiusa dal circuito,

che è quindi ≠ 0 = Σ B n dΣ,

L = ΦB autoconcatenato / I circuito (u.m. Henry = T m2 / A)

Autooinduttanza di un solenoide:     ΦB autoconcatenato = μo I η Aspira Nspire ( = ηl) = μo η2 A l I

L = μo η2 A l I / I = μo η2 A l               quindi: ΦB = L I,          UB = ½ L I2

Forza fra due circuiti:            F2 su 1 = I1 dl1 × B2

se i circuiti sono 2 fili paralleli:   F2/l2 = (μo / 2π) (I1I2 / d)          (forza su unità di lunghezza)

Magnetismo nella materia:

Affianco al termine μo, nella formula di Laplace, il termine μr = B/Bo (<1 diamagnetismo, >1 paramagnetismo, >>1 ferromagnetismo dipende cmq dal campo generante, ovvero da I nel circuito).

Diamagnetismo:

considero l'orbita dell'elettrone nell'atomo come una spira di raggio ro, e il campo B che ne attraversa l'area con un certo angolo.

  1. I = e-/t = e- vo/2πro       vo = velocità elettrone senza Bext
  2. Florentz = -e- v×Bext          v = velocità centripeta elettrone a effetto compiuto, B non deforma l'orbita
  3. Forze agenti = Fcoloumb à agisce B à Fcoloumb + Florentz           F = 1/4πεo  e2/ro  +  evB = m vo2/ro (v≠vo)
  4. evB = m/ro (v + vo) (v - vo)      dati: v+vo ~ 2vo e v-vo = Δv ~ eBro/2m = Δv(B) che provoca ΔI
  5. ΔI = eΔv / 2πro = e eBro / 2πro 2m = e2B/4πm
  6. mom = momento di dipolo magnetico = ΔI π ro2 = e2B/4πm πro2 = e2Bro2 / 4m                      
  7. momtot = -∑ e2Bro2 / 4m          (mom ÷ B ma verso opposto)

quindi B genera momenti magnetici che generano minicampi opposti a B, che perciò lo indeboliscono. In genere i materiali diamagnetici hanno orbitali con gli spin entrambi occupati, e quindi non presentano momenti magnetici propri. Il diamagnetismo non dipende dalla temperatura.

Paramagnetismo:

in materiali con elettroni spaiati, presenza quindi di un momento magnetico di spin. In presenza di un campo esterno la spira ruota finchè momo non è orientato come B (somma massima). Tuttavia si presenta anche il fenomeno del diamagnetismo, con la formazione di un momdiam opposto a B.

Avrò quindi: Bext e momo à, e Bint generato da momdiam ß, in totale B > Bo .

Bext genera momdiam che indebolisce B, ma orienta momo in modo da ottenere somma massima.

Il fenomeno del paramagnetismo diminuisce all'aumentare di Temperatura, gli atomi vibrano, si ha meno orientazione degli orbitali.

Magnetizzazione:

∫ B dl = μo (Iconc + Imagnetizzazione atomo) à Λ×B = μo (jconc + jmagn)          

devo trovare legame M = magnetizzazione = (∑momi) / Volume

considero 2 volumetti di lato dx, dy, dz affiancati sulla faccia dx dz, ognuno contenente I antiorario, sullo spigolo dz avrò a sinistra una I che sale, e a destra una I che scende, ognuna producente il suo M lungo x Mx che varia di volumetto in volumetto:

                   dy

        dx       I1         I2                   M'x = Mx + δMx/δy ∙ dy

                                               I1A1 = I1 dy dz = Mx dx dy dz à I1 = Mx dx

        dz                                    I2 dy dz  =(Mx + δMx/δy ∙ dy) dx dy dz à I2 = (Mx + δMx/δy ∙ dy) dx

                                              

Mx                 M'x                   I'z = I1 - I2 = - δMx/δy ∙ dx dy

             z I' = I1-I2                                                                                                                                                      I3

                                               nelle altre dimensioni:

       I1           I2                                M'y = My + δMy/δx ∙ dx                                                         I1

                                               I3 = My dz + δMy/δx ∙ dx dz

                                               I'3 - I' = I''z = δMy/δx ∙ dx dz

Jz magn = (δMy/δx - δMx/δy) = (Λ×M)z

quindi   Λ×B = μoj + μo Λ×M à Λ×B/μo = j + Λ×M                        detti: H = B/μo - M  e  Λ×H = j

allora    ∫H dl = I                     

se   (μoàμo μr)   e   (∫B dl = (Iconc + Imagn) μo)   à   Λ×B/μo = j + jmagn          e          jmagn = Λ×M

ottengo:            H = B/μo - M              Λ×H = j          ∫H dl = I

Conservazione componenti di B:

considero il passaggio da un materiale 1 con μr1 e materiale 2 con μr2 e un percorso rettangolare che li comprenda entrambi, e per cui dl di passaggio da 1 a 2 << dl nei materiali.

γH dl = Iconc = 0 à  Htg1 dl - Htg2 dl = 0 à  Htg1 = Htg2

se invece considero un cilindro infinitesimo, in cui dh << ds, allora:

ΣB n dΣ = 0  à  Bnorm 2 ds - Bnorm 1 ds = 0  à  Bnorm 1 = Bnorm 2







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