Teorema di Rolle: sia y=f(x) una
funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], e derivabile
nei punti interni di tale intervallo, se la funzione assume valori eguali
negli estremi a e b dell'intervallo, allora esiste almeno un punto c,
interno all'intervallo, in cui la derivata della funzione è nulla.
Teorema di Lagrange: data una
funzione y=f(x)continua
nell'intervallo chiuso e limitato [a,b] e derivabile nell'intervallo
aperto (a,b), esiste almeno un punto c, interno all'intervallo chiuso,
tale che risulti: (f(b)-f(a))/(b-a)=f '(c)
Applicazioni del Teorema di Lagrange:
se una funzione è continua in un intervallo I e ha derivata nulla in tutti
i punti interni a I, essa è costante in quell'intervallo.
Applicazioni del
Teorema di Lagrange: se due funzioni f(x), f(g), continue in un
intervallo I, e hanno derivate uguali in tutti i punti interni di I, esse
differiscono per una costante.
Funzioni decrescente e crescente: sia
y=f(x) una funzione continua in un intervallo I e derivabile nei punti
interni di I. Se la derivata della funzione è sempre positiva, allora la
funzione è crescente in I. Se la derivata della funzione è sempre
negativa, allora la funzione è decrescente in I.
Applicazioni delle Funzioni decrescente e crescente: sia y=f(x) una funzione continua in un intervallo I e derivabile
nei punti interni di I. Se f(x) è crescente in I, allora nei punti interni
di I, si ha f '(x)≥0. se invece f(x) è decrescente, si ha f
'(x)≤0.
Teorema di De L'Hopital: siano date
due funzioni f(x) e g(x), che supponiamo definite e derivabili in tutti i
punti di un intorno di I del punto c (finito o ),
escluso al più c stesso. Supponiamo inoltre che il limite del rapporto
delle due funzioni si presenti in una forma indeterminata del tipo [0/0] o
[] e infine sia g'(x)0 in tutti i punti di I, escluso al più x=c. In tale ipotesi, se
esiste il limite per x→c del rapporto delle derivate, allora esiste
anche il limite 1 e sono =.
Massimi minimi e flessi
Definizione: diremo che c è un punto
di massimo relativo per la funzione f(x), se esiste un intorno di c,
contenuto in I, per tutti i punti x del quale si abbia f(x)f(c), cioè se
f(c) è il massimo dei valori che la funzione assume nell'intorno
considerato di c: si dice quindi che f(c) è un massimo relativo della
funzione.
Definizione: si dice che c
è un punto di minimo relativo per la funzione f(x) e che f(c) è un minimo
relativo, se esiste un intorno di c, contenuto in I, per tutti i punti x
del quale si abbia f(x) ≥f(c), cioè se f(c) è
il minimo dei valori che la funzione può assumere nell'intorno considerato
del punto c.
Definizione di
flesso:
data una funzione y=f(x), definita in un intervallo I, 1) se esiste la
retta tangente al grafico della funzione nel suo punto (xo ;
f(xo)), 2) se esiste un intorno (xo - d ; xo
+ d) di xo,
contenuto in I, tale che, in corrispondenza ai due intorni, sinistro e
destro, (xo - d ; xo)
e (xo ; xo + d), il diagramma della
funzione stia da parti opposte rispetto alla retta tangente, potendo
eventualmente avere anche punti sulla tangente stessa, allora il punto (xo
; f(xo)) è un flesso della curva di equazione y=f(x).
Teorema massimo
e minimo: sia y=f(x) una funzione definita in
un intervallo I e derivabile nei punti interni di I. Se nel punto c,
interno a I, la funzione ha un massimo o un minimo relativo, allora
risulta f'(c)=0, cioè c è un punto stazionario
Teorema massimo
e minimo: sia y=f(x) una funzione continua in
tutti i punti di un intorno I=(c-d ; c+d) del punto c e
derivabile in tutti i punti di I escluso al più c 1) se risulta f'(x)>0
in (c-d ; c) e
f'(x)<0 in (c ; c+d) allora c è un
punto di massimo relativo per f(x). 2) se risulta f'(x)<0 in (c-d ; c) e
f'(x)>0 in (c ; c+d) allora c è un
punto di minimo relativo per f(x).
Definizione
concavità si dice che la curva, grafico della funzione, ha nel punto P di
ascissa c la concavità rivolta verso il semiasse positivo delle y, se
esiste un intorno del punto c per tutti i punti del quale (c escluso) le
ordinate dei punti sulla curva sono maggiori delle ordinate dei
corrispondenti punti sulla tangente in P.
Definizione
concavità si dice che la curva, grafico della funzione, ha nel punto P di
ascissa c la concavità rivolta verso il semiasse positivo delle y, se
esiste un intorno del punto c per tutti i punti del quale (c escluso) le
ordinate dei punti sulla curva sono maggiori delle ordinate dei
corrispondenti punti sulla tangente in P.
Teorema
concavità: sia data una funzione y=f(x) due
volte derivabile nei punti a un intervallo I e sia f"(x) continua in I;
inoltre sia c un punto interno di I. 1) se è f"(c)>0, allora la curva
di equazione y=f(x) volge, nel punto di ascissa c, la concavità verso
l'alto; 2) se è f"(c)<0, allora la curva di equazione y=f(x) volge, nel
punto di ascissa c, la concavità verso il basso.
Integrali definiti
Definizione: le successioni delle somme integrali inferiori e
superiori rivestite a una funzione f(x), continua in un intervallo chiuso
e limitato [a;b], sono convergenti e ammettono, per n→, lo stesso limite finito
Teorema della media: Se la funzione f è continua nell'intervallo
chiuso e limitato [a;b], allora esiste un punto c di tale intervallo per
cui si ha.
Teorema fondamentale del calcolo integrale: Se la funzione f(x) è
continua in [a;b], la corrispondente funzione integrale F(x) è derivabile
e, x [a;b] risulta: F'(x) = f(x)
