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Teoremi sulle derivate - Massimi minimi e flessi

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Teoremi sulle derivate - Massimi minimi e flessi

Teoremi sulle derivate

 

  • Teorema di Rolle: sia y=f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], e derivabile nei punti interni di tale intervallo, se la funzione assume valori eguali negli estremi a e b dell'intervallo, allora esiste almeno un punto c, interno all'intervallo, in cui la derivata della funzione è nulla.
  • Teorema di Lagrange: data una funzione y=f(x)  continua nell'intervallo chiuso e limitato [a,b] e derivabile nell'intervallo aperto (a,b), esiste almeno un punto c, interno all'intervallo chiuso, tale che risulti:    (f(b)-f(a))/(b-a)=f '(c)
  • Applicazioni del Teorema di Lagrange: se una funzione è continua in un intervallo I e ha derivata nulla in tutti i punti interni a I, essa è costante in quell'intervallo.
  •  Applicazioni del Teorema di Lagrange: se due funzioni f(x), f(g), continue in un intervallo I, e hanno derivate uguali in tutti i punti interni di I, esse differiscono per una costante.
  • Funzioni decrescente e crescente: sia y=f(x) una funzione continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I. Se la derivata della funzione è sempre positiva, allora la funzione è crescente in I. Se la derivata della funzione è sempre negativa, allora la funzione è decrescente in I.
  • Applicazioni delle Funzioni decrescente e crescente: sia y=f(x) una funzione continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I. Se f(x) è crescente in I, allora nei punti interni di I, si ha f '(x)≥0. se invece f(x) è decrescente, si ha f '(x)≤0.
  • Teorema di De L'Hopital: siano date due funzioni f(x) e g(x), che supponiamo definite e derivabili in tutti i punti di un intorno di I del punto c (finito o ), escluso al più c stesso. Supponiamo inoltre che il limite del rapporto delle due funzioni si presenti in una forma indeterminata del tipo [0/0] o [ /] e infine sia g'(x)0 in tutti i punti di I, escluso al più x=c. In tale ipotesi, se esiste il limite per x→c del rapporto delle derivate, allora esiste anche il limite 1 e sono =.



Massimi minimi e flessi

  • Definizione: diremo che c è un punto di massimo relativo per la funzione f(x), se esiste un intorno di c, contenuto in I, per tutti i punti x del quale si abbia f(x)f(c), cioè se f(c) è il massimo dei valori che la funzione assume nell'intorno considerato di c: si dice quindi che f(c) è un massimo relativo della funzione.
  • Definizione: si dice che c è un punto di minimo relativo per la funzione f(x) e che f(c) è un minimo relativo, se esiste un intorno di c, contenuto in I, per tutti i punti x del quale si abbia f(x) ≥f(c), cioè se f(c) è il minimo dei valori che la funzione può assumere nell'intorno considerato del punto c.
  • Definizione di flesso: data una funzione y=f(x), definita in un intervallo I, 1) se esiste la retta tangente al grafico della funzione nel suo punto (xo ; f(xo)), 2) se esiste un intorno (xo - d ; xo + d) di xo, contenuto in I, tale che, in corrispondenza ai due intorni, sinistro e destro, (xo - d ; xo) e (xo ; xo + d), il diagramma della funzione stia da parti opposte rispetto alla retta tangente, potendo eventualmente avere anche punti sulla tangente stessa, allora il punto (xo ; f(xo)) è un flesso della curva di equazione y=f(x).
  • Teorema massimo e minimo: sia y=f(x) una funzione definita in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I. Se nel punto c, interno a I, la funzione ha un massimo o un minimo relativo, allora risulta f'(c)=0, cioè c è un punto stazionario
  • Teorema massimo e minimo: sia y=f(x) una funzione continua in tutti i punti di un intorno I=(c-d ; c+d) del punto c e derivabile in tutti i punti di I escluso al più c 1) se risulta f'(x)>0 in (c-d ; c) e f'(x)<0 in (c ; c+d) allora c è un punto di massimo relativo per f(x). 2) se risulta f'(x)<0 in (c-d ; c) e f'(x)>0 in (c ; c+d) allora c è un punto di minimo relativo per f(x).
  • Definizione concavità: si dice che la curva, grafico della funzione, ha nel punto P di ascissa c la concavità rivolta verso il semiasse positivo delle y, se esiste un intorno del punto c per tutti i punti del quale (c escluso) le ordinate dei punti sulla curva sono maggiori delle ordinate dei corrispondenti punti sulla tangente in P.
  • Definizione concavità: si dice che la curva, grafico della funzione, ha nel punto P di ascissa c la concavità rivolta verso il semiasse positivo delle y, se esiste un intorno del punto c per tutti i punti del quale (c escluso) le ordinate dei punti sulla curva sono maggiori delle ordinate dei corrispondenti punti sulla tangente in P.
  • Teorema concavità: sia data una funzione y=f(x) due volte derivabile nei punti a un intervallo I e sia f"(x) continua in I; inoltre sia c un punto interno di I. 1) se è f"(c)>0, allora la curva di equazione y=f(x) volge, nel punto di ascissa c, la concavità verso l'alto; 2) se è f"(c)<0, allora la curva di equazione y=f(x) volge, nel punto di ascissa c, la concavità verso il basso.

 




Integrali definiti

  • Definizione: le successioni delle somme integrali inferiori e superiori rivestite a una funzione f(x), continua in un intervallo chiuso e limitato [a;b], sono convergenti e ammettono, per n→, lo stesso limite finito
  • Teorema della media: Se la funzione f è continua nell'intervallo chiuso e limitato [a;b], allora esiste un punto c di tale intervallo per cui si ha.
  • Teorema fondamentale del calcolo integrale: Se la funzione f(x) è continua in [a;b], la corrispondente funzione integrale F(x) è derivabile e, x [a;b] risulta: F'(x) = f(x)







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