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Matematica finanziaria - La capitalizzazione composta frazionata o interesse composto frazionato

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Matematica finanziaria - La capitalizzazione composta frazionata o interesse composto frazionato

Matematica finanziaria

Dispensa n° 2

 

 

La capitalizzazione composta frazionata

o interesse composto frazionato

Si ha capitalizzazione composta frazionata, e quindi interesse composto frazionato, quando gl 131c26b i interessi vengono capitalizzati per periodi che sono frazioni di anno.

Nella determinazione del montante tra la capitalizzazione frazionata e la capitalizzazione annua la sola differenza sta nel fatto di avere un periodo di capitalizzazione che è una frazione di anno anziché essere un anno intero. Nel caso di capitalizzazione semestrale gli interessi relativi a un qualsiasi semestre vengono aggiunti al montante calcolato alla fine del semestre precedente e fruttano interessi per semestri successivi.



Si parla di montante a interesse composto frazionato di frequenza k quando la capitalizzazione degli interessi viene fatta k volte all'anno.

 


Potete capire che k (chiamata frequenza di capitalizzazione) indichi il numero di volte in cui vengono capitalizzati gli interessi all'interno di un anno.

Quindi si ha:     k = 2    se la capitalizzazione è semestrale

                                   k = 3    se la capitalizzazione è quadrimestrale

                                   k = 4    se la capitalizzazione è trimestrale

                                   k = 6    se la capitalizzazione è bimestrale

                                   k = 12  se la capitalizzazione è mensile.

Consideriamo il capitale C, impiegato in capitalizzazione frazionata di frequenza k, per la durata t espressa in anni, ad un tasso d'interesse che non può essere annuo, cioè riferito all'anno, ma deve essere un tasso di interesse riferito al periodo, e quindi prende il nome di periodale e viene indicato con il simbolo ik.

ik  è il tasso d'interesse unitario periodale, ovvero

ik è l'interesse sul capitale di un euro impiegata per 1/k di anno. è l'interesse prodotto da un euro investito per un periodo di tempo.

 


Quello che cambierà nella formula dell'interesse composto annuo sarà sicuramente l'utilizzo del tasso di interesse più adatto, il tasso periodale, ed il fatto che gli interessi devono essere aggiunti al capitale e produrre nuovi interessi diverse volte in un anno. Questo lo raggiungiamo elevando non più al tempo ma al tempo per il numero di volte in qui questa operazione viene fatta in un anno.

Vi faccio un esempio numerico per essere più chiari:

Ø      Se investiamo il nostro capitale per 5 anni secondo l'interesse composto annuo, la formula  del montante sarà: M = C (1+i)5 perché gli interessi vengono calcolati e aggiunti al capitale cinque volte durante il periodo dell'investimento.

Ø      Se investiamo il nostro capitale per 5 anni secondo l'interesse composto frazionato, per esempio semestrale, la formula  del montante sarà: M = C (1+i)5 x 2 perché gli interessi vengono calcolati e aggiunti al capitale dieci volte durante il periodo dell'investimento.

Ø     

Possiamo considerare una durata t qualsiasi scrivendo la seguente formula: M = C (1 + ik)tk


Il capitale di euro 4500 viene concesso in prestito per 3 anni, a interesse composto semestrale, al tasso semestrale del 3,25%

C = 4500                   i2 = 0,0325                t = 3                k = 2               tk = 6

Si ha:

M = 4500 (1+ 0,0325)6

M = 4500  x  1,21155 = 5451,97

 

Il capitale di euro 3000 viene concesso in prestito per 2 anni e un mese, a interesse composto trimestrale, al tasso trimestrale dell' 1,7%

C = 3000       i4 = 0,017      t = 2 + 1        k = 4               tk = 8,33333

                                                                            12

Si ha:

M = 3000 (1+ 0,017)8,33333

M = 3000  x 1,15082 = 3452,46

 


Spesso in presenza di capitalizzazione frazionata, al posto del tasso periodale ik viene indicato un tasso annuo convertibile. Si può parlare di capitalizzazione semestrale al tasso annuo jk convertibile semestralmente del 6%. In questo caso per qualunque operazione è necessario prima convertire il tasso annuo in tasso semestrale.

Questo lo si fa dividendo il tasso annuo per la frequenza, in questo caso dividendo 0,06 per 2 (frequenza semestrale), ottenendo così il tasso semestrale.

Si usa il simbolo jk per indicare il tasso annuo unitario convertibile in tasso periodale ik.

Quando è dato il tasso annuo convertibile jk per il calcolo del montante a interesse composto frazionato di frequenza k bisogna prima trasformare il tasso annuo unitario in tasso periodale.

Si calcola ik nel seguente modo:                       ik =  jk

                                                                               k

la formula del montante può anche essere scritta così               M = C (1 + jk)tk

Il capitale di euro 5300 viene concesso in prestito per 4 anni e 6 mesi, a interesse composto trimestrale, al tasso annuo convertibile trimestralmente del 9%




C = 5300       j4 = 0,09         t = 4,5            k = 4      tk = 18        i4  = j4 =   0,09 = 0,0225

                                                                                                           4          4                   

Si ha:

M = 5300 (1+ 0,09)18

                                                                                      4

M = 5300  *  1,49259 = 7910,73

 
                                                                                                                             k

Si parla di ricerca di tassi equivalenti relativi a diversi periodi di capitalizzazione qualora ci si trovi davanti ad un problema del tipo: un capitale viene impiegato, per un certo tempo, a interesse composto frazionato, di frequenza k,  a un certo tasso periodale (o annuo convertibile). Ci si chiede: se l'impiego fosse fatto a interesse composto frazionato con una diversa frequenza quale tasso bisognerebbe applicare per avere lo stesso montante?

Consideriamo il capitale di 1000 euro impiegato per 3 anni, a interesse composto annuo al tasso dell'8% annuo. Vogliamo sapere a quale tasso semestrale i2 occorrerebbe impiegare lo stesso capitale per avere uguale montante.

Il montante in capitalizzazione annua al tasso dell'8% annuo è:    1000 (1 + 0,08)3

Il montante dello stesso capitale in capitalizzazione semestrale al tasso i2 semestrale è:

                                                           1000 (1 + i2)3 x 2

Poniamo quindi:                   1000 (1 + 0,08)3 = 1000 (1 + i2)3 x 2

semplificando ed estraendo la radice cubica di ambo i membri, si ha:  (1 + i2)2= 1 + 0,08

estraendo ancora la radice quadrata si ha:                 i2 = (1 + 0,08)1/2 - 1

i2 = 0,03923

 

Consideriamo il capitale di 1000 euro impiegato per 2 anni, a interesse composto annuo al tasso bimestrale dell'1,25%. Se l'impiego fosse fatto a interesse composto trimestrale quale tasso occorrerebbe applicare per ottenere uguale montante.

Il montante in capitalizzazione bimestrale al tasso bimestrale i6 = 0,0125 è:

1000 (1 + 0,0125)2 x 6

Il montante dello stesso capitale in capitalizzazione trimestrale al tasso i4 trimestrale è:

1000 (1 + i4) 2 x 4

Poniamo quindi:                   1000 (1 + 0,0125)2 x 6 = 1000 (1 + i4)2 x 4

semplificando ed estraendo la radice quadrata di ambo i membri, si ha:    

(1 + i4)4= (1 + 0,0125)6

estraendo ancora la radice quarta si ha:            i4 = (1 + 0,0125)3/2 - 1

i4 = 0,00311

 


I tassi equivalenti di più frequente interesse sono quelli fra capitalizzazione annua e capitalizzazioni basate su un periodo di capitalizzazione frazione di anno.

In generale, indichiamo con i il tasso di interesse composto annuo e con ik il tasso d'interesse composto frazionato con di frequenza k. In tal caso, con riferimento alla durata di un anno, cioè di k periodi, si ha:                       

C = (1 + i) = C (1 + ik)k                          cioè                             1 + i = (1 + ik)k

Dato ik, si ottiene:                                i = (1 + ik)k - 1

Dato i, si ottiene:                                 ik = (1 + i)1/k - 1


ik =  jk              fornisce il tasso periodale ik derivante dalla conversione del tasso                    

        k                        annuo convertibile nominale jk.

L'interesse composto, sia annuo sia frazionario, gode di una particolare proprietà: la scindibilità.

Consideriamo il capitale C impiegato per 5 anni a interesse composto annuo al tasso i.

Si ha:                                                   M = C (1 + i)5

La proprietà della scindibilità sta nel fatto che si può scrivere, indifferentemente:

M = C (1 + i)3 (1 + i)2  = C (1 + i) (1 + i)4 = C (1 + i)2+5/12 (1 + i)2+7/12

La proprietà della scindibilità è legata alla proprietà delle potenze per cui: il prodotto di due potenze che hanno la stessa base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.







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