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TEOREMA DI TALETE - TEOREMA INVERSO DEL COROLLARIO DI TALETE

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TEOREMA DI TALETE - TEOREMA INVERSO DEL COROLLARIO DI TALETE

TEOREMA DI TALETE

T. Le due classi di segmenti corrispondenti individuati da un fascio di rette parallele su due trasversali sono direttamente proporzionali.

Osservato che la corrispondenza che associa i segmenti AB, BC, CD,... della trasversale r rispettivamente ai segmenti A'B', B'C', C'D',... della trasversale r' è biunivoca, per pro 949h79j vare l'enunciato applichiamo il primo criterio di proporzionalità. Pertanto dobbiamo dimostrare:

che a segmenti uguali di r corrispondono segmenti uguali di r' (Fig. 1);

che alla somma di due segmenti, presi su r, corrisponde, su r', il segmento somma dei due segmenti corrispondenti a quelli fissati su r (Fig. 2).

1) Sia AB=CD. Vogliamo provare che è pure A'B'=C'D'. Dette a,b,c,d le rette del fascio passanti rispettivamente per i punti A,B,C,D, conduciamo per A e per C le parallele alla r' che intersecano la prima la retta b in P e la seconda la retta d in Q. I triangoli ABP, CDQ sono uguali perchè hanno AB=CD per ipotesi, ABP=CDQ (angoli) perchè corrispondenti rispetto alle parallele b,d tagliate da r, BAP=DCQ (angoli) perchè corrispondenti rispetto alle parallele AP,CQ tagliate da r. Segue da ciò l'uguaglianza dei segmenti AP,CQ. D'altra parte si ha pure AP=A'B' e CQ=C'D' come lati opposti dei parallelogrammi APB'A' e CQD'C'; il che porta a concludere che si ha A'B'=C'D'.

2)Sia GH=CD + EF. Vogliamo dimostrare che G'H', corrispondente di GH, è la somma di C'D' ed E'F', rispettivamente corrispondenti di CD ed EF. Per le ipotesi fatte esiste un punto K del segmento GH che lo divide in due segmenti GK e KH rispettivamente uguali a CD ed EF. Sia k la retta del fascio passante per K e che interseca in K' la trasversale r'. Poichè abbiamo stabilito che a segmenti uguali di r corrispondono segmenti uguali di r', da GK=CD e KH=EF segue che G'K'=C'D' e K'H'=E'F'. Pertanto si conclude che G'H'=G'K' + K'H'=C'D' + E'F'

·                    COROLLARIO DI TALETE

C. Una retta parallela ad un lato di un triangolo determina sugli altri due lati, o sui loro prolungamenti, segmenti proporzionali. (Fig.1)

Sia ABC un triangolo; conduciamo una parallela al lato BC, che interseca le rette AB, AC nei punti D, E. Per il vertice A tracciamo la parallela p a BC. Se applichiamo il teorema di Talete alle 3 parallele p, DE, BC e alle loro trasversali AB, AC abbiamo: AB:AC=AD:AE=DB:EC.

·          TEOREMA INVERSO DEL COROLLARIO DI TALETE

T.  Una retta che determina su due lati di un triangolo, o sui loro prolungamenti, segmenti proporzionali, è parallela al terzo lato (inverso del precedente corollario). (Fig.2)

Dato un triangolo ABC, si consideri una retta che interseca le rette AB ed AC rispettivamente nei punti D ed E, tali che sia AB:DB=AC:EC. Vogliamo dimostrare che DE è parallela a BC. Ragioniamo per assurdo e supponiamo che DE non sia parallela a BC. In tal caso esisterebbe una retta DF, passante per D e parallela a BC, che incontrerebbe la retta AC in un punto F distinto da E. Per il precedente corollario si avrebbe: AB:DB=AC:FC. Confrontando tale proporzione con quella fornitaci dall'ipotesi del teorema si cade in assurdo.







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