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LA GEOMETRIA

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IMPARIAMO INSIEME
Geometrie non euclidee: EUCLIDE, BOLYAI, LOBACESVKIJ
Punto,retta,piano e spazio sn gli enti primitivi e fondamentali della geometria.
LE ORIGINI DELLA GEOMETRIA
AREA DEI POLIGONI
CIRCOCENTRO - ORTOCENTRO - INCENTRO

LA GEOMETRIA

Quando di un dato oggetto si tiene conto soltanto della forma e dell'estensione, trascurandone tutti gli altri aspetti, si ottiene un corpo geometrico, del cui studio si interessa la geometria.

La geometria è la scienza che studia la forma e l'estensione dei corpi e alcune proprietà delle trasformazioni che tali corpi subiscono.

IL METODO ASSIOMATICO

I termini primitivi

Ogni definizione richiede termini già noti. Esistono due termini che non si definiscono e vengono chiamati termini 616j98g primitivi.

Punto, retta e piano sono gli elementi primitivi della geometria e l'insieme di tutti i punti prende il nome di spazio:

·        I punti sono indicati con le lettere maiuscole (A,B,C.)



·        Le rette vengono indicate con le lettere minuscole (a,b,c.)

·        I piani sono indicati con le lettere dell'alfabeto greco.

"Si chiama figura geometrica ogni insieme non vuoto di punti"

Vi sono delle affermazioni che non possono essere dimostrate e sono chiamate "ASSIOMI" o "POSTULATI"; invece, le affermazioni che si possono dimostrare prendono il nome di "TEOREMI". Quindi nello studio della geometria ci serviremo di:

·        ASSIOMI: sono proprietà che non possono essere dimostrate

·        DEFINIZIONI: con le quali vengono precisate chiaramente le figure geometriche si vogliono studiare

·        TEOREMI: sono quelle proprietà che possono essere dimostrate.

Il Teorema si scompone in tre parti fondamentali:

1.     IMPOTESI: rappresenta il punto di partenza;

2.     TESI: costituisce il punto d'arrivo, con l'intento di dimostrare la verità;

3.     DIMOSTRAZIONE: è il ragionamento logico con il quale, partendo dall'ipotesi, si giunge alla tesi.

LA RETTA

·        Nello spazio esistono infinite rette

·        Per ogni coppia di punti distinti (A,B),esiste una sola retta che li contiene

·        Ogni retta è costituita da infiniti punti

La retta "p" che congiunge i punti A,B, prende il nome di RETTA CONGIUNGENTE e si scrive "p = AB". Date due rette ben distinte, "r" e "s", si presentano due eventualità:

1.     hanno un solo punto in comune

2.     non hanno alcun punto in comune

"Tre punti appartenenti ad una stessa retta si dicono ALLINEATI; due o più rette si dicono CONCORRENTI se passano per uno stesso punto."

La retta si può considerare percorsa da un punto mobile in due versi, uno opposto all'altro, chiamati POSITIVO e NEGATIVO.

PROPRIETA' DI UNA RETTA

1.     Precedere ed eseguire su una retta

Se percorriamo una retta nel verso positivo passante per A e B, incontriamo prima A e poi B: si dice allora che il punto A precede B o che B segue A.

2.     Tricotomia




Dati due punti (A,B) di una retta orientata "s", si verifica sempre che : i punti A,B coincidono, cioè A = B; o il punto A precede i punto B, cioè A<B; oppure il punto B precede il punto A, cioè B<A.

3.     Transitiva

Se in una retta ci sono tre punti tali che A<B, B<C, allora A<C. In base a questa proprietà, si dice che la retta è una linea aperta.

4.     Densità

Tra due punti di una retta è sempre compreso un terzo punto

5.     Illimitatezza nei due versi

Non esiste sulla retta in ciascun verso né un primo né un ultimo punto.

SEMIRETTTE E SEGMENTI

Sia data una retta orientata "p" e sia "C" un qualsiasi suo punto: si chiama SEMIRETTA di origine "C" l'insieme costituito dal punto "C" e da tutti i punti di "p" che precedono o seguono "C" nel verso fissato.

La semiretta che segue il punto in considerazione, si chiama POSITIVA, quella che la precede si chiama NEGATIVA.

"Sia data una retta "s" con due punti A,B, si dice SEGMENTO l'insieme dei punti fra A e B, compresi loro stessi."

"Si chiama SEGMENTO NULLO ogni segmento i cui estremi coincidono, quindi è privo di punti. Due segmenti si dicono CONSECUTIVI quando hanno in comune soltanto un estremo; ADIACENTI, quando sono consecutivi e giacciono su una stessa retta."

PIANO E SEMIPIANO

·        Nello spazio esistono infiniti piani

·        Per ogni tre punti non allineati nello spazio esiste un solo piano che lui contiene

·        Una retta che ha due punti in comune con un paino, è all'interno del piano in questione

·        Ogni piani contiene infiniti punti e infinite rette

Da queste regole ricaviamo due conseguenze:

1.     per una retta e un punto, non appartenenti a questa, passa un solo piano

2.     per due rette incidenti passa un solo piano

"Si chiama FASCIA DI RETTE INCIDENTI, l'insieme di tutte le rette di un piano passanti per uno stesso punto."

PARTIZIONE DEL PIANO

Ogni retta "s" di un piano divide l'insieme degli ulteriori suoi punti in due parti non vuote, tali che:

·        se i punti A,B appartengono a parti diverse, allora il segmento AB taglia la retta "s" in un punto

·        se i punti C,D appartengono alla stessa parte, allora anche il segmento CD è inclusa in questa.

"Si chiama SEMIPIANO una figura costituita da una di queste due parti e dalla retta "s". La retta si dice BORDO, mentre i punti si dicono INTERNI al semipiano."







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