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Calcolo dell'accelerazione di gravità della terra mediante l'utilizzo di un pendolo.

fisica


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Relazione


Scopo:

Calcolo dell'accelerazione di gravità della terra mediante l'utilizzo di un pendolo.

Strumenti:

- Filo a piombo m ≈ 420 g

- Cronometro Casio

- Goniometro

Procedimento:

Dopo aver collocato il pendolo in una posizione idonea abbiamo iniziato a farlo oscillare con degli angoli molto piccoli (5°-10°) al fine di rendere quasi costante il tempo che intercorre tra le varie oscillazioni.

Sono state ripetute più volte sia le oscillazioni, sia la misurazione del periodo  di oscillazione per far sì che l'errore fosse ridotto al minimo.



Ecco i dati sperimentali ottenuti:

Tempo trascorso

N° di oscillazioni

Tempo x 1 oscillazione

1

20'' 35'''

10

2.035

2

21''

10

2.1

3

20'' 80''' 444e42e

10

2.08

4

20'' 40'''

10

2.04

5

20'' 70'''

10

2.07

6

20''80'''

10

2.08

7

19'' 80'''

10

1.98

8

20'' 33'''

10

2.033

9

29'' 40'''

14



2.1

10

27'' 30'''

14

1.95

11

25'' 03''

12

2.085

12

16'' 80'''

8

2.1

13

12'' 30'''

6

2.05

14

12'' 40'''

6

2.06

Semidispersione = ± 2.025

Calcoli & Formule:

 

Media aritmetica dei periodi:

 

2.035+2.1+2.08+2.04+2.07+2.08+1.98+2.033+2.1+1.95+2.085+2.1+2.05+2.06

14

=2.05

Risoluzione della formula con i dati ricavati:

g= 4π²l = 39.43 x 1.055 =  9.899 m/s²

                  4.202

Commento:

 

Dalla posizione di equilibrio statico, cioè quella verticale con l'apice del pendolo fermo ed il filo teso, abbiamo cominciato a far oscillare il pendolo con un angolo  5°<α<10°.

Considerando le prime 8 prove, l'estremo minimo è stato di 19''80''', scendendo così sotto i 20 secondi, l'apice massimo invece è stato 21''.

Il periodo minimo rilevato è quello del 10° tentativo (con 14 oscillazioni e quindi un angolo che diminuisce maggiormente con il trascorrere del tempo) con 1.95 s. Il periodo massimo è invece quello della 2° prova che dura 2.1 s.

 

Un po' di storia:

È noto che il periodo di oscillazione di un pendolo geometrico che oscilla liberamente è legato alla lunghezza del pendolo e alla accelerazione di gravità: si può così usare un pendolo per ricavare informazioni sull'attrazione gravitazionale in un particolare luogo. Inizialmente questo tipo di misura era servita proprio per verificare la legge di gravitazione universale: le osservazioni venivano eseguite al livello del mare e su una montagna per vedere se l'accelerazione di gravità diminuiva come previsto da Newton. Le prime esperienze erano state eseguite da Bouguer sulle Ande in Perù (ora Ecuador) nel corso della missione svoltasi fra il 1735 e il 1743 per la misura di un arco di meridiano e di parallelo all'equatore; i risultati avevano confermato le previsioni teoriche. Si poteva, con lo stesso metodo e ipotizzando una densità costante della Terra, ricavare la lunghezza del raggio terrestre, affiancando con questo i metodi geodetico-astronomici normalmente usati per la determinazione della forma della Terra.
L'osservazione consiste nel misurare la lunghezza del pendolo che batte il secondo, per il quale, cioè, la metà di una oscillazione completa avviene in un secondo. Un apparato sperimentale più avanzato di quello usato sulle Ande era stato elaborato da Borda; un apparato praticamente identico è descritto da Biot (1844, vol.2, 435-441), che lo aveva usato in numerose misure. Il pendolo era formato da una sfera di platino e da un filo di sospensione in argento: veniva scelto il platino perché la sua grande densità permetteva di realizzare una sfera massiccia relativamente piccola, diminuendo così gli effetti della resistenza dell'aria. Il filo era unito alla sfera tramite una calotta lavorata all'interno per darle la stessa curvatura della sfera; calotta e sfera restavano attaccate grazie alla pressione dell'aria, con solo un velo di materia grassa nella zona di contatto. Alla sommità il filo era inserito in un coltello di sospensione simile a quello degli orologi, appoggiato su due sostegni molto duri per evitare disturbi nelle oscillazioni libere. Il tempo di oscillazione era valutato accuratamente con un orologio a pendolo posto dietro il pendolo semplice, che veniva scelto di lunghezza tale da battere approssimativamente il secondo. L'orologio era verificato con misure astronomiche; sul suo pendolo veniva posto un segno di riferimento che coincideva con il filo del pendolo semplice quando entrambi erano in posizione di riposo. Poi entrambi venivano fatti oscillare, ed erano osservati con un cannocchiale posto ad una certa distanza (7 / 8 m). Il filo del pendolo semplice e il riferimento sul pendolo dell'orologio sono sempre coincidenti se i due periodi di oscillazione sono uguali. Se questo non avviene, ad ogni oscillazione il filo si allontana un po' dal riferimento, sopravanzandolo o rimanendo indietro. L'osservazione consisteva nel rilevare all'orologio i tempi delle coincidenze successive fra il filo e il riferimento; per facilitare la misura si faceva coincidere il filo verticale del crocifilo del cannocchiale con la posizione di riposo del pendolo. La lunghezza del pendolo semplice veniva accuratamente misurata e dalla conoscenza dei ritardi o degli anticipi, delle masse e dimensioni di filo e sfera di platino si ricavava la lunghezza del pendolo geometrico equivalente e con un semiperiodo di un secondo.
Nel calcolo bisognava considerare, oltre agli errori strumentali, anche la resistenza dell'aria. Questo, però, non era semplice perché il moto di un corpo in un fluido non era stato ancora sufficientemente analizzato. In una Memoria dell'Accademia di Berlino del 1826 Bessel criticò la trattazione newtoniana del fenomeno, proponendo una propria metodica da applicare anche al caso del calcolo della lunghezza del pendolo battente il secondo.
Gabrio Piola difese in una Memoria pubblicata sulle Effemeridi dell'osservatorio la trattazione newtoniana, cercando di articolarla meglio; in una seconda Memoria ribatté alle osservazioni avanzate da Bessel riguardo alla sua Memoria precedente. Sul valore di questo lavoro di Piola possiamo riportare il giudizio dato, molto tempo più tardi, da Schiaparelli: "(Piola) ha ragione quando difende la sua analisi e mostra la formula usata ordinariamente per tener conto della resistenza dell'aria essere incompleta: sebbene in pratica il difetto si confonda cogli errori di osservazione. Ha torto quando pretende di spiegare col nuovo termine da lui aggiunto le differenze fra la teoria e l'osservazione constatate da Bessel; torto marcio quando vuole ad ogni costo che alla teoria di Newton sulla resistenza dei fluidi non si possa più correggere nulla! L'apologia è del resto scritta assai bene e con dignità, senza perdere il rispetto al grande avversario" (manoscritto 43).
Misure sulla lunghezza del pendolo a secondi erano state eseguite in varie occasioni e in località diverse, per esempio lungo l'arco di meridiano, misurato con metodi astronomico-geodetici, che va da Dunkerque a Formentera. Nel 1810 la Commissione dei pesi e delle misure del Regno d'Italia decideva che fossero eseguite anche a Milano, secondo il nuovo sistema metrico decimale. Il compito di costruire l'apparato di misura veniva affidato a Megele, che, già anziano e malato, non riuscì a portarlo a termine. Nel frattempo veniva sciolta la Commissione. Carlini continuò a pensare all'esperimento e all'apparato di misura, che fu infine completato da Grindel. L'occasione per eseguire la prova giunse nel 1821, quando Carlini e Plana ricevettero l'incarico di eseguire osservazioni geodetico-astronomiche in Savoia. Lo strumento fu collocato sul Monte Cenisio, vicino alla stazione che ospitava gli strumenti astronomici.
Carlini aveva apportato varie modifiche al modello usato da Biot. Due erano le più importanti. La misura della lunghezza del filo del pendolo semplice avveniva tramite due microscopi muniti di micrometro filare portati da due pezzi di marmo infissi nello stesso muro del pendolo; in questo modo si evitava di dover rimuovere il pendolo per misurarlo con un'asta graduata, e addirittura non si doveva neppure aprire la cassa che proteggeva il filo dai movimenti dell'aria: bastava infatti traguardare con uno dei micrometri il taglio del coltello di sospensione del filo e con l'altro prima il bordo superiore e poi quello inferiore della sfera di platino. Carlini aveva inoltre allontanato l'orologio a pendolo dal pendolo semplice, per evitare che i due corpi interagissero attraverso la comune lastra di sospensione accoppiando le oscillazioni.
Per osservare le coincidenze l'immagine dell'orologio veniva sovrapposta otticamente a quella del pendolo, usando uno specchio piano per portarla nell'oculare del cannocchiale puntato sul pendolo semplice.
Le misure di Carlini avevano dato per la lunghezza del pendolo a secondi un valore, ridotto al livello del mare, di 993.708 mm, contro un valore medio di 993.498 mm. La differenza era da imputare all'influsso della massa della montagna, che alterava il valore che l'accelerazione di gravità avrebbe dovuto avere in aria alla stessa quota della stazione del Monte Cenisio. Usando la differenza fra i valori è possibile calcolare la densità della Terra, conoscendo il materiale che forma la montagna e la sua distribuzione. L'influsso delle masse delle montagne tende a mascherare la diminuzione dell'accelerazione di gravità all'aumentare della quota.
Fortunatamente, nonostante non avesse considerato questo effetto, Bouguer nelle sue misure sulle Ande aveva trovato ugualmente una diminuzione dell'accelerazione di gravità, mentre, in condizioni diverse, avrebbe potuto ricavare una sua sostanziale uniformità o addirittura un suo aumento: questo forse era accaduto a un certo sig.r Coultaud, le cui misure, eseguite ai piedi e a varie altezze del monte Faucigny in Savoia, apparivano comunque tanto accurate da essere elogiate da D'Alembert in un suo opuscolo.




Poco tempo dopo le misure di Carlini, l'11 novembre 1824, passò da Milano Biot, che insieme al figlio stava compiendo una campagna sistematica di misure della lunghezza del pendolo a secondi per determinare la forma della Terra. Eseguì misure sull'arco di parallelo da Bordeaux a Fiume, poi a Lipari (quindi in una zona vulcanica), a Formentera (il punto più a sud della grande meridiana di Francia) e a Barcellona. Nelle sue misure Biot usò un apparato modificato rispetto al modello precedente.

 

BIBLIOGRAFIA

 

'Fisica 2" di M.E. Bergamaschini, P. Marazzini, L.Mazzoni

Il sito Internet  "Le misure con il pendolo semplice"

(http://manier.brera.mi.astro.it/MUSEO/Schede/app6.html)


Aldrigo Alberto                                 Benvenuti Carlo                                Davanzo Elena

© 2000 By Aldrigo Alberto, Benvenuti Carlo, Elena Davanzo, San Donà di Piave (Ve)

    Aldrigo Alberto editore s.n.e.

    Tutti i diritti riservati

Prima e ultima edizione  26 - Gennaio - 2000

Printed by Aldrigo Alberto editore s.n.e.; Grafica  e Impaginazione by Aldrigo Alberto

Il commento e i calcoli sono di Elena Davanzo

Le rilevazioni sperimentali dei dati sono di Carlo Benvenuti

La parte storica e il resto sono di Alberto Aldrigo







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