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Teorema del campionamento di Shannon - Aliasing

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Teorema del campionamento di Shannon - Aliasing

Il quesito che ci poniamo a questo punto è il seguente: dato un segnale continuo e(t), con quale criterio scegliamo la pulsazione di campionamento tex2html_wrap_inline1410(e quindi il periodo di campionament T) in modo che il segnale campionato tex2html_wrap_inline1220contenga tutte le informazioni contenute in e(t)?

Si intuisce che il periodo di campionamento tex2html_wrap_inline1410sarà in qualche modo legato alla rapidità di evoluzione del fenomeno rappresentato dal segnale e(t).

Si intuisce inoltre che il segnale campionato tex2html_wrap_inline1220sarà stato correttamente campionato quando da esso in qualche modo può essere ``ricostruito'' e(t).

Per rispondere al quesito sopra indicato, prendiamo in considerazione un segnale da campionare e(t) avente uno spettro giflimitato in frequenza (o a banda limitata) come mostrato in Fig. 1.11.



   figure358
Figure 1.11: Possibile spettro di un segnale e(t) a banda limitata.

Al di sopra della pulsazione tex2html_wrap_inline1448, lo spettro del segnale e(t) è nullo (cioè e(t) non contiene nessuna componente frequenziale).

Lo spettro del segnale campionato tex2html_wrap_inline1220si ottiene dalla 1.1 sostituendo jw al posto della variabile complessa s.

  equation367

Nella Fig. 1.12 è riportato sia (b) l'andamento dello spettro del segnale campionato (nel caso in cui tex2html_wrap_inline1222) che (a) lo spettro del segnale da campionare.

   figure376
Figure 1.12: (a) Spettro del segnale da campionare e(t). (b) spettro del segnale campionato
tex2html_wrap_inline1220nel caso di tex2html_wrap_inline1222.

Nello spettro del segnale campionato la componenete |E(jw)|/T prende il nome di componente primaria, mentre tutte le altre componenti tex2html_wrap_inline1470con tex2html_wrap_inline1472prendono il nome di componenti complementari. È da sottolineare il fatto che la scelta di una pulsazione di campionamento tex2html_wrap_inline1410tale che tex2html_wrap_inline1476è essenziale in quanto tiene separate nello spettro le varie componenti che si presentano come la ripetizione della componente primaria.

Nel caso in cui la condizione tex2html_wrap_inline1476non fosse rispettata il segnale campionato avrebbe uno spettro come quello riportato in Fig. 1.13.

   figure389
Figure 1.13: (a) Spettro del segnale da campionare e(t). (b) spettro del segnale campionato
tex2html_wrap_inline1220nel caso di tex2html_wrap_inline1228.

Le singole componenti spettrali (primaria e complementari) si sovrappongono parzialmente e si combinano per formare lo spettro risultante. Da quanto sopra, si deduce che se, e solo se la condizione tex2html_wrap_inline1476è soddisfatta (Fig. 1.12), non si ha sovrapposizione ed è posibile distinguere la componente primaria da quelle complementari nel segnale campionato. In queste condizioni, se il segnale campionato tex2html_wrap_inline1220viene mandato in ingresso ad un filtro ideale di spettro opportuno è possibile ricostruire il segnale originario e(t) a partire dal segnale a dati campionati.




Le considerazioni precedenti sono riassunte nel Teorema del campionamento o di Shannon:

teorema401

In quanto segue si approfondisce il fenomeno legato al processo di campionamento quando le condizioni del teorema di Shannon non sono rispettate. Il fenomeno di sovrapposizione descritto in Fig. 1.13 prende il nome di aliasing. In altri termini l'aliasing corrisonde alla generazione (dopo l'operazione di campionamento) di nuove componenti spettrali nel range di frequenza della componente spettrale (primaria) di partenza.

Con riferimento alla Fig. 1.13 sia tex2html_wrap_inline1506, una pulsazione compresa nel campo di pulsazioni in cui la componente primaria ed una componente complementare si sovrappongono. Per tale pulsazione tex2html_wrap_inline1506esistono quindi sia un'armonica appartenente alla componente primaria che una ``nuova'' armonica appartenente alla componente complementaregif. In questo caso il segnale tempo-continuo ricostruito a partire dal segnale tempo-discreto per mezzo di un filtro passa-basso ideale non sarebbe in grado di ricostruire con fedeltà il segnale di partenza e(t). In particolare si perderebbero informazioni relative alle alte frequenze del segnale.

Una condizione necessaria per l'applicazione del Teorema di Shannon è che il segnale da campionare sia passa-basso. Considerazioni pratiche ci insegnano però che il segnale e(t) da campionare, anche per la presenza di disturbi (generalemente ad alta frequenza), ha una banda molto ampia se non infinita.

Per evitare il fernomeno dell'aliasing che sarebbe perciò inevitabile è quindi opportuno (pre-)filtrare il segnale e(t) prima del campionamento con un filtro anti-aliasing come descritto in Fig. 1.14 dove si è indicato con tex2html_wrap_inline1516il segnale da campionare.

   figure414
Figure 1.14: Filtro anti-aliasing.

Risultati soddisfacenti si ottengono con filtri passa-basso con sufficiente attenuazione (e.g. -40 db ed oltre) per tex2html_wrap_inline1520

esempio421







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