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RACCOLTA DI ESERCIZI SULLE VARIABILI CASUALI DOPPIE DISCRETE DA TEMI D'ESAME DI MATEMATICA B

tecnica


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Raccolta di esercizi sulle variabili casuali Doppie discrete da temi d'esame di matematica b

Esercizio 1

E' data la variabile doppia in tabella

X\Y

-1

0



1

-1

0.2

0.1

0.1

1

0.2

0.3

0.1

Calcolare:

a)      le distribuzioni marginali delle componenti X e Y, la loro media e la loro covarianza;

b)      la curva di regressione e la curva di variabilità di Y|X.

Esercizio 2

Qual è la condizione necessaria e sufficiente affinché le componenti di una variabile discreta doppia siano stocasticamente indipendenti?

Esercizio3

E' data la variabile doppia in tabella

X\Y

-2

1

2

0

0.15

0.17

0.03

2

0.05

0.30

0.20

Calcolare:

a)      le distribuzioni marginali delle componenti X e Y, la loro media e la loro matrice di varianza-covarianza;

b)      la curva di regressione e la curva di variabilità di Y|X.

Esercizio 4

Riempire la seguente tabella 747e42h nell'ipotesi di indipendenza stocastica delle componenti e dire quanto vale la curva di regressione di Y su X

.

X\Y

1

3

5

qi

-1

0.7

1

0.3

rj

0.4

0.3

0.3


Esercizio 5

E' data la variabile doppia in tabella

X\Y

-2

-1

0

0.15

0.35

2

0.27

0.23

- dire se X e Y sono stocasticamente indipendenti, giustificando la risposta;

- calcolare le distribuzioni marginali delle componenti X e Y, la loro media e la loro matrice di varianza-covarianza;

- calcolare la curva di regressione e la curva di variabilità di Y|X.

Esercizio 6

Data la variabile doppia discreta (X,Y) in tabella

X\Y

-1

0

1

0

0.1

0.1

0.3

1

0.3

0.1

0.1

1.      determinare le distribuzioni di probabilita' marginali di X e di Y;

2.      calcolare il vettore media di (X,Y).

Data la trasformazione

1.      determinare la distribuzione di probabilita' della variabile doppia (V,W);

2.      calcolare il vettore media di  (V,W) nei due modi seguenti:
a) utilizzando la distribuzione di (V,W) ricavata;
b) utilizzando il teorema della media.


Esercizio 7

Data la variabile doppia discreta (X,Y) in tabella

X\Y

1



2

3

0

0.10

0.20

0.12

1

0.08

0.02

0.10

2

0.05

0.25

0.08

3.      determinare le distribuzioni di probabilita' marginali di X e di Y;

4.      calcolare il vettore media di (X,Y) e la matrice di covarianza ;

5.      la distribuzione di Y condizionata al valore di X=1.

Esercizio 8

E' data la seguente variabile casuale doppia:

X\Y

1

2

3

-1

0.12

0.18

0.10

0

0.15

0.05

0.10

1

0.17

0.10

0.03

Determinare:

-         la probabilita' del punto (1,1) e quella  dell'insieme dei due punti (1,1), (1,2);

-         le distribuzioni marginali delle componenti e dire il significato di tali distribuzioni;

-         il vettore media e la matrice di varianza covarianza.

A partire dalle marginali della variabile doppia data costruire la distribuzione di probabilita' di una nuova variabile doppia le cui componenti siano tra loro stocasticamente indipendenti.

Calcolare la matrice di covarianza e far vedere che nel caso di indipendenza stocastica delle componenti essa e' sempre diagonale. [sXY= Sij xiyjpij-mXmY =0]

La variabile casuale W e' ottenuta a partire dalla variabile doppia (X,Y) tramite la seguente trasformazione: W = X2 + Y2.

Calcolare la media di W applicando il teorema della media.

Esercizio 9

Data la variabile doppia discreta in tabella,

X\Y

1

2

3

-1

0.1

0.2

0.05

0

0.05

0.2

0.2

1

0.05

0.1

0.05

calcolare:

1.      le distribuzioni marginali;

2.      il vettore media e la matrice di covarianza;

3.      la distribuzione di Y condizionata al valore x=1;

4.      la media e la varianza della distribuzione condizionata.

Esercizio 10

Data la variabile casuale bidimensionale discreta in tabella,

X\Y

-1

0

2

0

0.12

0.18

0.15

1

0.10

0.05

0.10

2




0.03

0.20

0.07

calcolare:

5.      le distribuzioni marginali;

6.      il vettore media e la matrice di covarianza.

Data la trasformazione  V = X + Y,  W = X · Y, trovare la distribuzione della variabile doppia (V, W) e calcolarne il vettore media nei 2 modi seguenti:

1.      utilizzando la distribuzione trovata;

2.      utilizzando il teorema della media.

Esercizio 11

Data la variabile casuale doppia (X,Y) in tabella

X\Y

-1

0

1

1

0.05

0.15

0.05

2

0.10

0.30

0.10

3

0.10

0.05

0.10

calcolare:

1.      le distribuzioni marginali;

2.      il vettore media e la matrice di covarianza;

3.      la curva di regressione e la curva di variabilità di Y su X.

Data la trasformazione V = 2Y2 + X , W = 3XY

1.      determinare la distribuzione della variabile casuale doppia (V,W);

2.      determinare il vettore media e la matrice di covarianza di (V, W) utilizzando la distribuzione trovata e il teorema della media.

Esercizio 12

Data la variabile casuale doppia (X,Y) in tabella

X\Y

-1

0

1

-2

0.05

0.1

0.1

0

0.1

0.3

0.1

2

0.1

0.1

0.05

calcolare:

4.      le distribuzioni marginali;

5.      il vettore media e la matrice di covarianza;

6.      la distribuzione di Y|x=2

7.      la media e la varianza della distribuzione condizionata ricavata

8.      le seguenti probabilita':
P(x = -2), P(y =0), P(x = -2,y = -1).

Data la trasformazione Z= X+3Y, ricavare:

1.      la media e la varianza di Z.

Esercizio 13

Determinare la probabilita' congiunta della variabile casuale (X,Y), a partire dalle marginali, nell'ipotesi di indipendenza stocastica delle componenti.

X\Y

-1

0

1

q

0

0.20

1

0.50

2

0.30

r

0.20

0.60

0.20

Dopo aver dimostrato che nel caso di indipendenza stocastica sXY e' necessariamente nulla,

calcolare la media e la matrice di covarianza di (X,Y).

Data la trasformazione  Z=5X+Y, calcolare la media e la varianza di Z utilizzando il teorema della media. Calcolare, infine, la distribuzione di W=X+Y2.

Esercizio 14

Data la variabile casuale doppia  discreta in tabella

X\Y

1

2

3

-1

0.05

0.30

0.10

0

0.10

0.05

0.05

1

0.05

0.15

0.15

Calcolare il vettore media e la matrice di covarianza.

Calcolare la distribuzione di Y|x=-1 la sua media e la sua varianza.

Sapendo che la variabile doppia (U,V) e' legata alla variabile (X,Y) dalle seguenti relazioni

U=4X+5Y

V=3X+7Y,

Calcolare il vettore media e la matrice di covarianza di (U,V), utilizzando le formule di propagazione.







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