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PROPAGAZIONE UNIDIMENSIONALE

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PROPAGAZIONE UNIDIMENSIONALE

PROPAGAZIONE UNIDIMENSIONALE

Consideriamo un pacchetto d'onda che si propaga nella direzione dell'asse x incontrando sul suo cammino delle barriere di potenziale che schematizziamo come regioni di ampiezza finita in cui l'energia potenziale è costante. Il pacchetto d'onda si esprime convenientemente come sovrapposizione di onde piane progressive e regressive .

Per una energia potenziale costante a tratti possiamo distinguere zone di propagazione libera e zone ove è presente una barriera di altezza costante. Se associamo un indice a ai diversi tratti ed una ampiezza Ua all'energia potenziale ad essi associata e sostituiamo nell'Eq. di Schrodinger si ottiene che ciascuna componente di Fourier soddisfa l'Eq. di Schrodinger stazionaria.

Se l'ampiezza delle barriere è finita otteniamo.



Si noti come il vettore d'onda k sia immaginario 434i88e per quei modi di energia minore dell'altezza della barriera.

La continuità della funzione d'onda e della sua derivata nei punti di raccordo xa- e xa+ posti rispettivamente a destra e a sinistra della barriera ci porta alle seguenti condizioni.

 

Gli apici 0+,0- indicano le zone di propagazione libera a destra o a sinistra della barriera a l'apice a la zona all'interno della barriera. Essendo le ( ) valide per ogni tempo analoghe relazioni devono valere per le ampiezze di Fourier. Nel punto di raccordo a destra della barriera otteniamo

Nel punto di raccordo a sinistra della barriera si ottiene

La relazione tra k e k' si ottiene imponendo che la dipendenza temporale sia la stessa passando da una zona alla successiva

Si tratta di quattro equazioni in quattro coefficienti u,v incogniti se si ammette di conoscere il pacchetto almeno in una zona. Ad esempio si può affrontare su questa base il problema della riflessione e della trasmissione di un pacchetto d'onda da un ostacolo.

Sulla base delle ( ) il problema si riduce al calcolo delle ampiezze u,v che caratterizzano il pacchetto d'onda emergente oltre l'ostacolo in termini delle ampiezze associate all'onda incidente. Possiamo introdurre due vettori X+ ed X- associati alle due ampiezze u, v nelle zone suddette ed una matrice di trasferimento M

 

Da proprietà generali si può dedurre che la matrice M è unitaria ed ha il determinante unitario

Le ( ) si deducono sfruttando la normalizzazione dei vettori X , la reversibilità temporale ovvero il fatto che il pacchetto che si ottiene come complesso coniugato di ( ) rappresenta un'onda che si propaga in senso opposto, e la conservazione della corrente nel passaggio attraverso le diverse barriere .

La matrice di trasferimento si determina risolvendo il problema del raccordo formulato precedentemente. La conoscenza della M ci consente di risolvere il problema della diffusione da un singlo ostacolo ovvero la determinazione dell'ampiezza dell'onda riflessa v- e di quella trasmessa u+ nota quella dell'onda incidente u-. Dalla ( ) si ottiene infatti

Nel caso di un pacchetto che proviene da sinistra possiamo porre v+=0. Dividendo per u-. si ottengono

 

I moduli quadri di tali rapporti sono detti coefficienti di trasmissione e di riflessione per una data componente di Fourier.Utilizzando le ( ) si ricava che la somma dei coefficienti di trasmissione e di riflessione risulta essere uno come ci si aspetta.

.Il caso particolare di onde stazionarie si ottiene imponendo che la densità di corrente sia in ogni zona nulla ad ogni tempo. La densità di corrente di probabilità si esprime tramite la ( )

Ci conviene calcolare l'integrale su tutto lo spazio, ovvero la componente di Fourier della corrente corrispondente al modo k=0 .Utilizzando la seguente espressione per la delta di Dirac si ottiene

Perchè la corrente sia nulla ad ogni tempo occorre che siano verificate le seguenti relazioni tra le ampiezze

Possiamo esemplificare il formalismo nel caso di una barriera di spessore infinitesimo ed altezza infinita posta nell'origine. Si tratta del limite di barriere rettangolari centrate sull'origine di altezza V/d e larghezza d nel limite di d che tende a zero. In tale limite la barriera si può rappresentare come una delta di Dirac

Integrando l'equazione di Scrodinger stazionaria ( ) su di un segmento molto piccolo che comprende la barriera ed imponendo la continuità della funzione d'onda otteniamo le seguenti relazioni per la funzione d'onda e per la derivata immediatamente a destra f+ o a sinistra f- della barriera (le derivate sono individuate con un apice).

Le ( ), dovendo valere identicamente nel tempo, comportano due relazioni tra le corrispondenti ampiezze di Fourier relative alle componenti progressiva e regressiva . Tale relazione si può porre in termini matriciali. Con semplici calcoli si ottiene il seguente risultato.

È facile verificare come M sia una matrice hermitiana ed il suo determinante sia eguale ad uno in accordo con le ( ).

Possiamo ora calcolare il coefficiente di trasmissione utilizzando la ( ).

Si può utilizzare la conoscenza della matrice M per risolvere il problema delle onde stazionarie in presenza di una barriera posta nell'origine.

Dalla condizione sulla corrente a destra e a sinistra della barriera otteniamo , specializzando la ( ), al nostro caso otteniamo che per la particolare struttura della matrice M la relazione è identicamente soddisfatta.

=1



Una seconda applicazione si ha per condizioni "fisse" ai bordi ,imponiamo cioè ampiezza di probabilità nulla al di fuori dell'intervallo compreso tra  x=-a ed x=a. Dalla condizione che la funzione d'onda sia nulla agli estremi otteniamo

Ovvero in forma matriciale,introducendo le matrici di traslazione D

Sfruttando la matrice di transizione M

Le ( ) implicano un sistema di equazioni omogeneo che ha soluzioni non nulle solo se il determinante dei coefficienti è nullo. La notazione si semplifica se nella prima delle ( ) facciamo comparire il vettore traslato ed introduciamo una rotazione che diagonalizza la matrice

L'Equazione secolare diventa

Gli autovalori della matrice ruotata si calcolano facilmente sfruttando la circostanza che la rotazione non cambia il determinante.

Dalla ( ) si ottiene la condizione che fissa i possibili valori del numero d'onda k e quindi dell'energia compatibili con le condizioni fisse al contorno.

La relazione si semplifica utilizzando note formule trigonometriche.

Per ka compreso ra 0 e p le soluzioni accettabili della ( ) sono le seguenti.

Si noti come la ( ) corrisponda a soluzioni simmetriche rispetto all'origine con una discontinuità della derivata in corrispondenza della barriera e la seconda delle ( ) a soluzioni antisimmetriche coincidenti con le soluzioni antisimmetriche associate al problema senza barriera. La barriera deltiforme modifica pertanto solo le soluzioni simmetriche.

È interessante vedere come si modificano le soluzioni stazionarie se si interpongono 2N+1 barriere deltiformi equispaziati a distanza a. Si tratta di un potenziale periodico, di un modello cioè importante per lo studio degli stati elettronici di un cristallo.

Conviene generalizzare le condizioni di raccordo ( ) ad una qualsiasi barriera. Se con X+,n ,X-n con n=-N,+N indichiamo i vettori associati alle ampiezze di Fourier immediatamente prima e dopo la barriera n-esima otteniamo

Nelle ( ) le funzioni d'onda corrispondenti ad un numero d'onda fissato k in ogni intervallo compreso tra due barriere si ottengono traslando la soluzione immediatamente a destra o a sinistra delle due barriere adiacenti all'intervallo considerato. La matrice di transizione M consente ti di collegare le soluzioni a destra e a sinistra di ogni barriera.

Le condizioni fisse agli estremi comportano nel caso di 2N+1 barriere intermedie le seguenti condizioni.

Introducendo la matrice di transizione trasformiamo la prima delle ( ).

La rotazione agisce in questo su di una nuova matrice

Le condizioni fisse ai bordi si esprimono come nel caso precedente sostituendo i nuovi autovalori. Esiste una complicazione associata al calcolo degli autovalori di MN . La matrice MN si mantiene unitaria e pertanto il calcolo degli autovalori si riduce al calcolo della traccia, questa grandezza si calcola a partire dalla conoscenza degli autovalori della matrice MD-x nel riferimento in cui MD-x è diagonale. Occorre pertanto conoscere la matrice di traslazione in questo sistema di riferimento, determinare cioè esplicitamente la rotazione che diagonalizza MD-a .

Il calcolo si semplifica notevolmente nel caso di condizioni periodiche al contorno. Imponiamo che la funzione d'onda a distanza a dalla prima barriera coincida con la funzione d'onda immediatamente dopo l'ultima barriera.

Tenendo conto della matrice di transizione

Si noti come con le nuove condizioni al contorno la matrice da diagonalizzare sia semplicemente una potenza della matrice D-aM Introducendo la rotazione si ottiene

Nella ( ) si è sfruttata la proprietà che gli autovalori di una matrice potenza di un'altra sono gli autovalori della seconda matrice elevati alla stessa potenza. le soluzioni della ( ) sono date dalla condizione che gli autovalori siano le radici 2N+1-esime dell'unità.

Volendo limitare l'anomalia q tra 0 e p  limiteremo i numeri interi n tra 0 e N. Nel caso che stiamo analizzando

Si può notare come per N=0 si ritrovi almeno una delle soluzioni del caso con condizioni fisse al contorno.( quella compatibile con la periodicità).






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