EVOLUZIONE DELLE GRANDEZZE FISICHE NELLO SCHEMA DI HEISENBERG

a_AB =

con (

Analogamente a quanto fatto per la traslazione spaziale e per le rotazioni quindi, possiamo esprimere gli elementi di matrice di un certo operatore su stati al tempo t come elementi di matrice di un operatore dipendente dal tempo su stati indipendenti dal tempo.

Tale punto di vista in cui si preferisce associare l'evoluzione temporale alle grandezze fisiche e mantenere fissi nel tempo gli stati è detto schema di Heisenberg:

Lo schema di Heisenberg è interessante tutte le volte in cui si sa esplicitare la dipendenza dal tempo della grandezza di interesse.

equazione del moto per gli operatori

E' utile ottenere una equazione differenziale per gli operatori nello schema di Heisenberg. Derivando rispetto al tempo la (2) si ha:

    eq.del moto per gli operatori (

Si è fatto uso dell'invarianza temporale di H:

Va osservato inoltre che le proprietà di commutazione si mantengono tra gli operatori trasformati:

[a b g [a(t),b(t)] = g(t)

operatori x e p  nello schema di heisenberg per particella in un campo conservativo

Consideriamo il caso di una particella soggetta ad un campo di forze conservativo, la cui hamiltoniana si esprime come:

La (3) diventa , per gli operatori x e p:

    (

Si noti l'analogia con le equazioni classiche del moto.

caso in cui U(x) è un polinomio al più di 2°grado

L'analogia con le equazioni classiche porterebbe a pensare che nota una soluzione di queste ultime, tale soluzione lo è anche per l'evoluzione quantistica degli operatori. Questo è vero solo se l'energia potenziale è una funzione al più quadratica in x:

In questo caso si può dimostrare che è possibile esprimere la soluzione delle (4) nelle incognite x(0)=x₀ e p(0)=p₀ in una forma lineare che comprende dei coefficienti dipendenti dal tempo:

Sostituendo nelle (4) si ricavano delle espressioni per i coefficienti:

   (

    (

In più le condizioni iniziali saranno:

e(0)=h(0)=1 f(0)=g(0)=0 r(0)=s(0)=0

Dalle (5) e ( si ricava:

e

Ovvero due equazioni del moto armonico che avranno soluzioni:

e(t) = h(t) = coswt   con

Da queste, insieme con le (5) e ( e le condizioni iniziali, si ricava che:

    e

Conviene trattare separatamente il caso c=0 ovvero presenza solo di una forza costante (U(x)=bx) e b=0 ovvero sola forza elastica (U(x)=cx²/2):

Caso U(x)=bx

Nel primo caso (c=0) si ottiene:

w e(t)=h(t)=1 , g(t)=0 , f(t)= , s(t)= bt , r(t)=

Quindi le equazioni del moto degli operatori diventano:

Riconosciamo il moto classico di una particella soggetta ad una forza costante b in cui le condizioni iniziali sono sostituite dagli operatori posizione e quantità di moto dello schema di Schrödinger.

Caso U(x)=

Nel caso invece in cui sia presente solo forza elastica (b=0) si ha che r(t)=s(t)=0:

Si noti che la dipendenza lineare degli operatori di Heisenberg da quelli di Schrödinger permette di esprimere il valor medio dei primi come combinazione lineare a coefficienti dipendenti dal tempo dei secondi:

I valori medi quindi obbediscono alle leggi di evoluzione delle grandezze classiche.

Nel caso di una U(x) generale il moto del valor medio si può approssimare con quello classico solo se la media della forza si può approssimare con la forza calcolata nella posizione media:

  <F[x(t)]> F[<x(t)>]

Lo schema di Heisenberg è utile ogni qualvolta si è interessati al calcolo dell'evoluzione temporale di valori medi e non si richiede l'evoluzione dello stato.

evoluzione temporale nel caso generale in cui l'hamiltoniana dipende dal tempo

Ricaviamo ora l'operatore di evoluzione temporale nel caso di un operatore energia che dipende dal tempo:

y(x,t) = U(t)y(x,0)  (

Sostituendo la (7) nell'equazione di Schrödinger si ricava che U(t) deve soddisfare la seguente equazione:

con U(0)=I   (

Se separiamo nell'hamiltoniana una parte indipendente dal tempo H₀ da una dipendente H₁ e scriviamo l'operatore di trasformazione come:

   H = H₀+H₁

Sostituendo nella (8) si ottiene:

con (

Qindi l'Hamiltoniana H₁ si trasforma come si trasformerebbe un operatore nello schema di Heisenberg costruito con l'Hamiltoniana indipendente dal tempo. Tale particolare schema è detto schema di interazione. Data la dipendenza dal tempo di  H₁ la ( ha una soluzione sotto forma di serie:

    (

La soluzione della (10) si ottiene per iterazione:

    (

La (11) è una equazione complicata perchè in generale le hamiltoniane di perturbazione nello schema di interazione sono operatori dipendenti dal tempo che non commutano a tempi diversi.

Questa equazione si semplifica drasticamente nel caso particolare in cui l'Hamiltoniana trasformata nello schema di interazione diventa indipendente dal tempo. Un esempio è quello dell'oscillatore armonico soggetto ad una perturbazione del tipo:

H₁ = f(t)a⁺ f^*(t)a

f(t) = fe ^iwt

In rappresentazione di interazione a e a⁺ diventano:

a(t) = e ^iwta  a⁺(t) = e ^iwta⁺

La dipendenza temporale degli operatori di abbassamento ed innalzamento nella rappresentazione di interazione compensa l'oscillazione del campo esterno f(t):

   (

Sostituendo nella (11) e sfruttando la seguente identità:

si ottiene un risultato che consente di sommare la (10):

Nel caso dell'oscillatore armonico forzato di (12) si ottiene:

Se infine lo stato iniziale è lo stato fondamentale, otteniamo uno stato coerente di ampiezza a(t) pari a:

Si noti come l'ampiezza dell'oscillazione cresca linearmente nel tempo. Il sistema assorbe energia dalla perturbazione esterna.

Nel caso generale non sarà possibile risommare la (10) ma questa formula è comunque utile per calcoli approssimati se nella H₁ compare un parametro piccolo che consenta di troncare la serie ad un ordine finito.

Alternativamente il problema dell'oscillatore in presenza di una forza costante nello spazio e variabile nel tempo si può affrontare direttamente mostrando che se l'oscillatore è in uno stato coerente al tempo iniziale si mantiene in uno stato coerente sotto l'azione della forza con una ampiezza che varia nel tempo con la legge prevista dalla meccanica classica:

ay(x,0) = ay(x,0) ay(x,t) = a(t)y(x,0) (

Nella prima delle (13) abbiamo espresso la condizione iniziale, ovvero il carattere coerente dello stato al tempo zero. Nella seconda abbiamo espresso quello che vogliamo dimostrare: la coerenza al tempo t.

La dimostrazione si ottiene applicando l'operatore di evoluzione ad ambo i membri della prima delle (13):

ay(x,t) = aUy(x,0) U⁺aUy(x,0) = a(t)y(x,0)  (

L'operatore a(t) soddisfa l'equazione differenziale:

Esplicitando il commutatore otteniamo:

Nel caso particolare in considerazione l'equazione differenziale si può risolvere facilmente perchè il termine dipendente dal tempo è il termine noto dell'equazione. La soluzione è la seguente:

Tornando alla (14), verifichiamo che se lo stato è coerente al tempo zero, rimane coerente al passare del tempo, con ampiezza:

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