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OLTRE LA TERZA DIMENSIONE - Prospettiva 4D - L'Universo

ricerche



OLTRE LA TERZA DIMENSIONE





Indice


Introduzione


Le dimensioni dell'Universo

Cosa significa dimensione

Il tempo




Metodi di visualizzazione intuitivi della quarta dimensione

Analogie 2D-3D / 3D-4D e studio di alcuni solidi in 4D attraverso analogie

Prospettiva 4D


L'Universo

L'espansione dell'Universo

Lo spazio quadridimensionale ed i nostri rapporti con la quarta dimensione





Introduzione


Trattare la quarta dimensione significa spesso affrontare lo studio di complicate strutture matematiche alle quali non è programmato neppure di accennare nei corsi liceali. Eppure c'è un che di misterioso in questo termine che accende la scintilla dell'immaginazione e la tentazione di scoprire qualcosa di questo magnifico mondo, nascosto ai comuni mortali, è grande. Sono solo pochi, addirittura pochissimi, i libri che trattano l'argomento in maniera soddisfacente senza coinvolgere conoscenze di matematica superiore. Riuscire a trovarne uno equivale così a trovare le chiavi per entrare in un nuovo mondo coraggioso E' comunque arduo per chi non si è mai scontrato con problemi di visualizzazione astratti come questi, riuscire a intravedere solidi quadridimensionali attraverso le cortine di fumo che la nostra mente assuefatta alle tre dimensioni ci pone, ma un po' d'allenamento e di sforzo riusciranno ad avere ragione delle limitazioni imposteci dall'abitudine.

C'è un altro fattore che rende la quarta dimensione così affascinante : gran parte della fantascienza moderna ne parla, in una maniera o nell'altra, o come iper-spazio o proprio direttamente come quarta, e magari quinta, dimensione. Teorie di spazi quadridimensionali vengono comunque utilizzate realmente nella fisica contemporanea, sia per spiegare fenomeni a livello microscopico (teorie quantistiche) che macroscopico (struttura dell'Universo) e un capitolo riservato a queste applicazioni non poteva mancare in questo lavoro.

Non sono in grado di dire se ciò che ho scritto è chiaro a sufficienza anche a chi non è pratico di questa materia, ma è comunque il massimo che si poteva fare per spiegare un argomento tanto complesso ed il minimo nei riguardi di un argomento tanto interessante.


Le dimensioni dell'Universo


Noi viviamo in un mondo che ci appare tridimensionale, cioè gli oggetti possiedono tre caratteristiche geometriche principali : l'altezza, la lunghezza e la profondità. Queste sono le dimensioni che l'ambiente in cui viviamo sembra avere. La loro esistenza è così intrinsicamente radicata in noi che ci vuole un ragionamento approfondito per rendersi conto che esse non sono poi così scontate e che sono invece legate a doppio filo alla nostra tipica visione bioculare che permette al cervello di ricostruire un'immagine tridimensionale dello spazio. Non è mia intenzione di dimostrare che l'Universo è quadridimensionale (ci ha già pensato Einstein) perché sarebbe un compito arduo e certo non teorico, ma di chiarire come un Universo tridimensionale è solo quello che i nostri sensi limitati vedono e non per forza la realtà nella sua totalità.



Cosa significa dimensione


Dimensione : "Estensione di un corpo quanto a larghezza, altezza e lunghezza".



Questa è la definiz 232c27c ione che dà il vocabolario del termine dimensione ed è sufficientemente adeguata per quanto riguarda le nostre richieste : per noi una dimensione è l'estensione di un corpo in una particolare direzione. Comunemente la caratteristica più importante delle direzioni di riferimento è che sono tra di loro perpendicolari. Quindi l'aggiunta di una quarta o di ulteriori dimensioni allo spazio non rappresenta che l'estensione di un metodo generale di descrizione geometrica a situazioni che non sono verificabili sperimentalmente ma che non per questo devono essere ritenuti meno reali di quelli di cui facciamo esperienza costantemente. La matematica ci dà infatti gli strumenti adatti per trattare oggetti n-dimensionali tranquillamente, senza avere la più pallida idea di come o cosa siano. Del resto la fisica moderna ha accettato da quasi un secolo l'assunto che l'Universo non sia tridimensionale ma che sia caratterizzato da una spazio-tempo quadridimensionale, anche se noi non ne siamo affatto consapevoli.




Il Tempo


La teoria della Relatività generale introduce nella concezione dell'universo una nuova dimensione : il Tempo.

Fino al secolo scorso il tempo veniva considerato assoluto, una proprietà dell'Universo da cui era impossibile prescindere e che nessuna legge fisica poteva ignorare. Oggi il tempo è stato "ridotto" alla condizione di dimensione e trattato alla stregua delle altre tre dimensioni spaziali. Ci sono però alcune caratteristiche che distinguono nettamente il tempo dai suoi omologhi spaziali. Prima di tutto il tempo ha una sola possibile direzione di scorrimento (almeno per quanto se ne sa oggi). Inoltre il tempo ha un'unità di misura diversa e non confrontabile con quella unica e comune delle dimensioni spaziali. Per di più, secondo quello che asserisce la Relatività generale, lo spostarsi in una delle dimensioni spaziali influisce sullo scorrere del tempo, mentre altezza, lunghezza e profondità sono fra loro indipendenti. Per questo è possibile affermare che il tempo non è veramente una dimensione. In ogni caso il tempo è un qualcosa di imprescindibile dalla realtà dell'Universo, quindi un metodo di visualizzazione (Analogie 2D-3D / 3D-4D) che sfrutta il tempo stesso come dimensione di supporto per la visualizzazione di oggetti quadridimensionali (in cui però la quarta dimensione è come le altre, spaziale) è tecnicamente corretto.



Metodi di visualizzazione intuitivi

della quarta dimensione


La quarta dimensione, al contrario dell'opinione comune, può essere visualizzata, sobbarcandosi un piccolo sforzo intellettivo e soprattutto conoscendo ed accettando le naturali limitazioni che la nostra mente assuefatta ad un universo tridimensionale ci impone. E' chiaramente impossibile per noi immaginare dove questa iper-dimensione potrebbe "trovarsi", ma non risulta troppo complicato ricorrere ad espedienti che ci chiariscano il concetto, di cui finora abbiamo parlato solo astrattamente, di quarta dimensione. Ci sono due metodi intuitivi e funzionano assai bene entrambi, ma hanno una differenza sostanziale : il primo utilizza lo scorrere del tempo per visualizzare il procedere nello spazio quadridimensionale di spazi tridimensionali, il secondo invece tratta con una dimensione spaziale reale e fissa (vedi "Il Tempo").



Analogie 2D-3D / 3D-4D


Una maniera pratica per immaginarsi qualcosa nella quarta dimensione è ricorrere all'analogia. Così come un abitante bidimensionale, che non ha la minima percezione della terza dimensione, non ha nemmeno un vocabolo per definire il concetto, per noi comune, di altezza, così noi non abbiamo nessuna parola che indichi l'iper-lunghezza che misura la quarta dimensione. Ecco, questo è un esempio pratico di cos'è un'analogia. Utilizzare un'analogia 2D-3D/3D-4D significa rendersi conto come questo abitante bidimensionale possa (o non possa) percepire la terza dimensione e dedurne, per inferenza, come noi potremmo percepire l'iper-lunghezza.



Si può quindi cercare di immaginare uno spazio quadridimensionale. Il nostro amico bidimensionale, che chiameremo A-Square per rifarci ad un famoso libro che descrive appunto un mondo bidimensionale "Flatlandia" di E. A. Abbott, può percepire solo una parte dello spazio tridimensionale, cioè l'intersezione di questo con un piano, e immaginarsi che nella terza dimensione questi infiniti piani si allineino per formare un tri-spazio (spazio tridimensionale), anche se egli non riesce a capire come riescano a non sovrapporsi, perché non ha il concetto della profondità. Nello stesso modo, noi non possiamo che visualizzare un iper-spazio come intersezione di questo con un tri-spazio, concetto per noi normale, e cercare di capire come questi infiniti tri-spazi si "allineino" nella quarta dimensione senza intersecarsi l'uno con altro e coesistere senza avere nemmeno un punto in comune.


Uno spazio tridimensionale è formato da infiniti piani paralleli.


Iper-cubo


Il primo oggetto quadridimensionale che proveremo a visualizzare è la superficie di un iper-cubo (ovvero un iper-cubo vuoto all'interno), mentre A-Square cercherà di visualizzare la superficie di un tri-cubo (ovvero un tri-cubo vuoto all'interno).

Quello che A-Square vede nel suo bi-spazio quando un cubo viene tagliato da un piano (consideriamo, per semplicità, che il piano sia perpendicolare a una dimensione del cubo, per esempio l'altezza) è un quadrato. Se il piano taglia il cubo su una delle due facce a lui parallele A-Square vedrà un quadrato pieno, mentre se il piano taglia il cubo in un punto centrale A-Square vedrà solo il perimetro del quadrato. Così, se il piano scorre nello spazio tridimensionale, prima all'esterno del cubo, poi intersecandolo, poi nuovamente all'esterno, A-Square all'inizio non vedrà nulla, poi all'improvviso comparirà un quadrato pieno, poi tutta una serie di quadrati vuoti, poi nuovamente un quadrato pieno e poi ancora il vuoto. Un tri-spazio che scorra nella quarta dimensione fino ad intersecare un iper-cubo e poi a superarlo ci darebbe un risultato simile. Prima vedremmo il vuoto, poi d'improvviso ci apparirebbe un cubo pieno seguito da una famiglia (infinita) di cubi vuoti, poi nuovamente un cubo pieno, dopodiché solo il vuoto. Tutto ciò naturalmente ci apparirebbe nella stessa regione di spazio perché l'iper-cubo è formato "dall'accostamento" di questi infiniti cubi lungo la quarta dimensione così come un tri-cubo è formato dall'accostamento, nella terza dimensione, degli quadrati visti da A-Square. La nostra mente non riesce completamente a comprendere come tutti gli elementi di quella successione di solidi fanno parte di un solo iper-solido e che coesistono tutti nella stessa regione dello spazio.


Iper-sfera


Per visualizzare degli iper-solidi abbiamo bisogno, come si è detto prima, di un'analogia con la seconda dimensione. Questo naturalmente limita la portata della possibilità di visualizzazione perché noi possiamo solo immaginarci come un essere bidimensionale vede un tri-solido intersecato da un piano e non abbiamo un modello visivo chiaro; inoltre, anche avendo questo modello, la visualizzazione sarebbe comunque limitata dal fatto di dover fare un'analogia e di non poter riportare automaticamente i risultati da una dimensione all'altra. Per questo motivo il nostro tentativo di "vedere" degli iper-solidi inizia con configurazione semplici, cubi, sfere ecc., e con piani (o spazi) sezione che si muovono lungo assi notevoli della figura (l'altezza per il cubo, ad esempio).

Il prossimo solido che cercheremo di visualizzare è un'iper-sfera (anch'essa vuota).

A-Square, guardando un piano che scorre attraverso una tri-sfera, lungo una qualsiasi dimensione, vedrebbe prima un punto, poi una circonferenza molto piccola che, via via che il piano scorre, si allarga sempre di più fino a raggiungere un massimo, dopo il quale comincia a ridursi fino a tornare un punto e a scomparire. Dopo aver visto l'esempio dell'iper-cubo è facile immaginare cosa accadrebbe se noi vedessimo una iper-sfera attraversata da un tri-spazio : vedremmo prima un punto, poi questo si allargherebbe in una sfera cava che crescerebbe fino ad un massimo dopo di che si rimpicciolirebbe nuovamente fino ad un punto.

Da notare che nel caso del cubo la nostra logica tridimensionale ritiene assurdo fin da subito che due cubi stiano nella stessa regione di spazio, ma quando si "vede" un'iper-sfera la cosa si fa assurda solo dopo che questa ha raggiunto il massimo e comincia a ridursi, poiché fino ad allora le sfere concentriche non si sovrappongono. Questo non significa che se noi ci limitassimo a visualizzare una iper-semi-sfera, cioè se il tri-spazio scorresse fino all'iper-equatore e poi si fermasse, potremmo visualizzarla con una sfera piena formata da infinite sfere cave concentriche; per tornare all'analogia anche ad A-Square non sembra assurdo che le circonferenze concentriche della tri-semi-sfera esistano tutte assieme perché non si tagliano fra loro, ma non per questo sarebbe nel giusto ad affermare che una tri-semi-sfera è un cerchio pieno formato da infinite circonferenze concentriche. Potremmo dire, però, che un cerchio pieno è la proiezione bidimensionale di una tri-semi-sfera vuota così come una tri-sfera piena può essere vista come la proiezione tridimensionale di una iper-semi-sfera cava. Naturalmente tutto ciò vale solo per una iper-sfera cava, perché l'iper-sfera piena è formata da tri-sfere piene concentriche, configurazione impossibile nel tri-spazio.

Adesso ci addentreremo in figure più complesse, che richiedono una maggior capacità di visualizzazione per essere immaginate.


Iper-ellissoide


L'iper-ellissoide è sicuramente un iper-solido bizzarro e anti-intuitivo, molto più dei due precedentemente descritti.

Quando un iper-ellissoide viene intersecato da un tri-spazio (anche qui per comodità sceglieremo direzioni perpendicolari agli iper-assi dell'iper-solido) non genera una serie di figure fissa, ma si formano serie differenti a seconda dell'asse che viene scelto per lo scorrimento del tri-spazio. Mi spiego, come al solito, con un'analogia.

Ci sono tre tipi differenti di solidi che possono venir considerati degli ellissoidi. Il primo è la normale sfera (detta tri-ellissoide S), che, così come il cerchio nelle due dimensioni, non è che il caso degenere di un'ellisse, ovvero un caso particolare di una famiglia più ampia e generale. Il secondo è un solido le cui proiezioni su piani perpendicolari agli assi dà come risultato due ellissi uguali e una circonferenza (detto tri-ellissoide T). Il terzo è un solido in cui le suddette proiezioni sono tutte e tre delle ellissi (detto tri-ellissoide E).


Proiezioni dei tri-ellissoidi :

a sinistra tri-ellissoide E, nel centro tri-ellissoide T, a destra tri-ellissoide S.


Un tri-ellissoide può essere descritto come un solido formato dallo scorrere di un'ellisse (detta curva generatrice) lungo la terza dimensione (perpendicolare al piano dell'ellisse) in modo che ogni coppia di punti individuati da una qualsiasi retta parallela ad un asse qualsiasi descriva nel suo moto una circonferenza o un'ellisse (curve di scorrimento), a seconda del tipo di ellissoide e dell'asse considerato. Da questa definizione possiamo estrapolare, per analogia, la definizione di iper-ellissoide. Un iper-ellissoide è un iper-solido formato dallo scorrere nella quarta dimensione di un tri-ellissoide (curva generatrice), di modo che ogni ellisse individuata da un piano parallelo ad uno qualsiasi degli iper-assi del solido formi, scorrendo, un tri-ellissoide o una tri-sfera (curve di scorrimento). Questa definizione rende l'idea delle difficoltà di visualizzazione che si incontrano appena gli iper-solidi diventano più complessi : i tipi di iper-ellissoide sono molti di più di quanti non fossero quelli di tri-ellissoide, perché qui può variare, oltre alle curve di scorrimento, anche la curva generatrice stessa. Sia la curva generatrice che le curve di scorrimento, infatti, sono tri-ellissoidi, e quindi possono assumere una qualsiasi delle tre forme di cui abbiamo parlato prima. Da ciò si ricava che i tipi differenti di iper-ellissoide possono essere addirittura . Come nel tri-ellissoide alcune delle  configurazioni di terne di ellissi-circonferenze erano impossibili, tanto che solo 3 sono effettivamente tri-ellissoidi, così solo alcuni degli iper-ellissoidi sono effettivamente "costruibili". Questo non è un criterio empirico, ma come ogni cosa in questo campo, segue leggi che sono analoghe per tre e per quattro dimensioni. Un tri-ellissoide può essere rappresentato dall'insieme delle sue tre proiezioni. Un tri-ellissoide è effettivamente costruibile se ciascuna proiezione ha con le altre due uno dei suoi diametri a comune (per diametri si intendono le proiezioni della curva sui due assi ortogonali del piano della curva) in modo che ciascun diametro sia a comune con una sola delle altre proiezioni del tri-ellissoide.


Requisiti perché un tri-ellissoide (in questo caso di tipo T) esista.




Quelli che adesso sono stati chiamati diametri per semplicità in realtà altro non sono che ellissi unidimensionali. Questa affermazione ci da la possibilità di estendere la legge appena trovata all'iper-ellissoide. Un iper-ellissoide esiste se le sue quattro proiezioni tridimensionali (tri-ellissoidi) hanno in comune una delle proiezioni bidimensionali (ellissi) e se ciascuna di queste ellissi è in comune con un solo altro tri-ellissoide. Si nota facilmente come questa regola escluda in partenza la possibilità di formare un iper-ellissoide che abbia contemporaneamente come proiezioni un tri-ellissoide S e un tri-ellissoide E dato che questi non hanno nessuna proiezione che possa essere "condivisa". Ciò restringe sensibilmente il campo delle possibilità di formare un iper-ellissoide e dopo un breve ragionamento si giunge alla conclusione che le configurazioni possibili solo cinque!

Non rientra nell'ambito di questa ricerca, ma va notato come, trovata una regola generale, sia facile, attraverso le analogie, estendere i risultati anche a dimensioni successive alla quarta, anche se è chiaro che ogni tentativo di visualizzazione intuitiva viene reso vano fin dall'inizio.


Iper-cilindro


L'iper-cilindro potrebbe sembrare un caso solo leggermente diverso dall'iper-sfera, ma in realtà ,questo solido ha proprietà e configurazioni inaspettate. Quello di cui parleremo però, non è proprio un iper-cilindro, ma una sua riduzione tridimensionale. Il termine riduzione indica che non si tratta di una proiezione, ma di una "deformazione" vera e propria che schiaccia l'iper-cilindro perché rientri nel tri-spazio. Come al solito è bene partire da un'analogia. Per rendere un cilindro tridimensionale completamente visibile ad A-Square è possibile compiere un'operazione di "schiacciamento" che con altri solidi non era possibile : il cilindro diviene una serie di circonferenze concentriche che però non formano un cerchio pieno, ma una corona circolare



Un cilindro tridimensionale ed il suo equivalente deformato in due dimensioni.


Per A-Square la cosa più difficile sarebbe comprendere che le varie circonferenze hanno tutte, nel tri-spazio, uguale raggio e che il cerchio vuoto centrale è in realtà un cilindro di spazio tridimensionale schiacciato fino a due dimensioni.

Lo stesso ragionamento conduce alla visualizzazione di un iper-cilindro, non immaginandolo, come per gli altri solidi, ma nella sua interezza, anche se deformato. Questo iper-cilindro "schiacciato" nelle tre dimensioni si presenta come una serie di sfere concentriche che formano una corona circolare tridimensionale.



Un iper-cilindro deformato in tre dimensioni.

Questo è un iper-cilindro completo e non solo un'intersezione di questo con uno spazio tridimensionale come per gli altri solidi quadridimensionali fin qui visualizzati, con l'unico limite di essere fortemente deformato. Infatti per noi è difficile comprendere come le sfere concentriche, nelle quattro dimensioni, abbiano uguale raggio e spessore nullo e come la regione tridimensionale racchiuso dalle sfere sia l'iper-cilindro schiacciato lungo la quarta dimensione così da apparire nel tri-spazio come una semplice sfera.



Prospettiva 4D



Un secondo metodo di visualizzare una superficie dello spazio quadridimensionale è quello di usare una tecnica prospettica : così come con la normale prospettiva si visualizzano su piani solidi tridimensionali, così questa tecnica si realizzano nello spazio prospettive di solidi quadridimensionali, con il limite evidente dato dal fatto che stiamo scrivendo su un foglio e che quindi le eventuali figure in prospettiva dovranno a loro volta subire un processo di ulteriore riduzione prospettica da tre a due dimensioni. Va sottolineata la differenza sostanziale fra i due tipi di prospettiva : mentre per la tecnica prospettica normale, noi ci immaginiamo facilmente ciò che sulla carta viene disegnato, anche se di per sé è assurdo, quando trattiamo con la prospettiva 4D ci rendiamo conto subito della nostra impossibilità ad immaginarci completamente quello che ci viene mostrato ridotto, perché la nostra mente non riesce a superare le incongruenze aggiunte dalla riduzione prospettica, che si presenta quindi assurda.

Per ovvi motivi questa tecnica permette di visualizzare bene iper-solidi molto semplici, perché quando ci addentriamo nel in casi più difficili la prospettiva non ci offre più visioni chiare ma solo complicate architetture di cui non riusciamo a cogliere nemmeno i particolari. Inoltre una caratteristica della prospettiva è quella di visualizzare bene solidi formati da linee dritte ma di non poter far quasi nulla per quanto riguarda le curve. Quindi non sarà possibile con questa tecnica "vedere" iper-sfere od iper-ellissoidi.

Iper-piramide



Riduzione prospettica tridimensionale di un iper-tetraedro.

Questa è la riduzione prospettica di un'iper-piramide. Non sembra molto diversa da una piramide ordinaria se non per la sua struttura interna. Ma l'apparenza inganna. In realtà l'iper-piramide è formata da cinque tetraedri tridimensionali posti in modo che ognuno tocchi attraverso una faccia uno degli altri quattro. Quattro di questi tetraedri sono facilmente individuabili dalla struttura interna, mentre l'ultimo è il tetraedro che fa da confine a tutta la struttura. Da notare come qui le piramidi sono disegnate vuote, ma che normalmente dovrebbero essere piene. Questo rende assurdo il disegno perché dovrebbero coesistere nello stesso spazio sia le quattro piramidi interne che la piramide esterna. Forse per chiarire meglio il disegno è bene partire con il suo analogo bidimensionale.


Riduzione prospettica bidimensionale di un tetraedro.


Questa è una piramide tridimensionale (un tetraedro) in prospettiva su un piano bidimensionale e viene visto in prospettiva come se la faccia più vicina fosse trasparente. Le tre facce rimanenti appaiono distorte per effetto della prospettiva, ma l'occhio riesce comunque a visualizzare l'oggetto in tre dimensioni. Con una dimensione in più la prospettiva è ancora possibile, ma non riusciamo più a visualizzare l'oggetto. Nello stesso modo in cui qui una delle facce è trasparente, nell'iper-piramide una delle facce era invisibile, altrimenti non saremmo riusciti a vedere nulla dell'interno dell'iper-tetraedro.


Iper-cubo

Nello stesso modo possiamo trattare un iper-cubo.


Riduzione prospettica bidimensionale di un tri-cubo.

Questo è un tri-cubo in prospettiva bidimensionale, con una delle facce trasparenti. Anche qui, le facce rimanenti visibili sono deformate (quelle laterali) o rimpicciolite (quella centrale). Per analogia un iper-cubo è formato da otto tri-cubi che hanno le facce a comune ciascuno con altri sei.



Riduzione prospettica tridimensionale di un iper-cubo.

Anche qui la faccia più esterna è trasparente e di dimensioni reali, mentre le altre facce sono deformate o rimpicciolite.

L'iper-cubo può anche venir "aperto" così come è possibile per un cubo tridimensionale.


Cubo tridimensionale e quadridimensionale aperti rispettivamente in due ed in tre dimensioni


Piegare questi otto cubi lungo le facce quadrate nella quarta dimensione ricostruirebbe l'iper-cubo originario.



L'Universo


L'espansione dell'Universo


Uno dei grossi problemi che sono sorti nel campo di ricerca dell'astronomia moderna deriva dall'osservazione delle altre galassie, che sembrano tutte allontanarsi dalla nostra con velocità crescente tanto più è lontana la galassia in questione. Questo fatto sembrerebbe implicare che la nostra galassia è in una posizione unica e particolare rispetto alla altre, cioè posizionata al centro. Una teoria "geocentrica" come questa era tipica della scienza pre-galileiana, nella quale il metodo scientifico non era ancora applicato e l'uomo era ritenuto il centro della creazione divina. La scienza oggi non può accettare teorie e ipotesi che vedano l'uomo (e la Terra) in una posizione privilegiata rispetto ad altri punti dello spazio. A questo proposito la scienza moderna accetta due principi basilari : l'omogenità e l'isotropia.




OMOGENEITA'. Questo principio afferma che due regioni dell'Universo sono generalmente uguali. Naturalmente bisogna ragionare su una scala sufficientemente grande, cosicché le variazioni locali nel numero di galassie tendono mediamente a scomparire. Questa situazione è analoga a quella che avremmo affermando che una stanza piena di gas è omogenea, anche se in un particolare millimetro cubo ci possono essere più atomi di ossigeno che in un altro.


ISOTROPIA. Questo principio afferma che, indipendentemente da dove ci si trovi nello spazio, l'Universo apparirà generalmente lo stesso in tutte le direzioni. Un Universo isotropico è necessariamente omogeneo. L'universo reale è stato per lungo tempo considerato isotropico, più per ragioni "estetiche" che in base ad una effettiva dimostrazione, e anche oggi non sappiamo con certezza se l'universo possieda o meno questa caratteristica ; recentemente, comunque, la radiazione infrarossa di fondo è stata misurata e si è visto che è isotropica fino ad una minima frazione di variazione percentuale e ciò dà un sostegno ancora maggiore all'ipotesi di Universo isotropico.


Di conseguenza, poiché dalla Terra si vedono le altre galassie allontanarsi costantemente da noi, dobbiamo supporre che anche da punti di altre galassie si veda l'Universo in espansione omogenea attorno a loro. Si pone quindi il problema di trovare un modello di espansione che soddisfi questa ipotesi.




Modello di universo inflazionistico con espansione centrale, non sufficiente

per spiegare tutte le osservazioni sperimentali, quindi ritenuto inadatto.


Un modello di Universo che soddisfi tutte le condizioni precedenti è un Universo tridimensionale situato sulla faccia di un'iper-sfera quadridimensionale. Procediamo per analogia. Quando una tri-sfera aumenta il suo volume interno, la sua superficie si dilata. Un ipotetico universo bidimensionale situato sulla superficie della tri-sfera sarebbe tale che da ogni galassia si vedrebbero le altre galassie allontanarsi costantemente, perché sulla superficie di una sfera che aumenti di volume ogni punto si allontana da tutti gli altri anche se nessuno di questi è il centro di espansione della sfera, che si troverebbe all'esterno dell'universo bidimensionale. Così anche il nostro Universo potrebbe essere la superficie tridimensionale di una iper-sfera che stia aumentando il suo iper-volume. Sarebbe soddisfatta la condizione che ogni galassia veda le altre allontanarsi costantemente da sé ed anche il fatto che una galassia più lontana retroceda più in fretta di una situata più vicino. Il centro di espansione dell'Universo non si troverebbe quindi all'interno dell'Universo stesso ma all'esterno, in un punto "quadridimensionalmente" diverso. Si deve notare anche che in un universo di questo tipo la "materia" non si allargherebbe in uno spazio già esistente e immutabile, ma lo spazio tridimensionale stesso verrebbe via via creato con la crescita dell'iper-sfera e che quindi all'inizio l'Universo tridimensionale sarebbe "piccolo" e la materia sarebbe "compressa" al suo interno. Con l'espandersi dello spazio la materia potrebbe raffreddarsi e potrebbero formarsi le galassie.

Modello di universo inflazionistico di uno spazio bidimensionale posto al di sopra

di una sfera tridimensionale, in cui lo spazio dell'Universo stesso è prima

piccolo, poi cresce, mentre le galassie mantengono le loro normali dimensioni.

Una struttura spaziale quadridimensionale dell'Universo, pur essendo ancora solo un'ipotesi, potrebbe spiegare molte osservazioni finora compiute e contemporaneamente soddisfare quei due principi fondamentali citati prima, l'omogeneità e l'isotropia.




Lo spazio quadridimensionale e i nostri rapporti con la quarta dimensione


Fino ad oggi non è stato possibile dimostrare se il nostro mondo tridimensionale faccia parte o no di uno spazio quadridimensionale più grande. Così come A-Square è confinato sul suo piano, noi siamo limitati dal nostro spazio tridimensionale e non possiamo interagire con un eventuale spazio quadridimensionale. Quello che potrebbe accadere è invece che un essere a quattro dimensioni decida di mettersi in contatto con noi e ci dimostri che "effettivamente la nostra percezione della realtà è limitata e chiusa". Vediamo come potrebbe fare. Come al solito procediamo con un'analogia. Cosa succederebbe se una "sfera" tridimensionale decidesse di contattare A-Square per convincerlo che c'è qualcosa "di più" dello spazio bidimensionale ? Dopo aver inutilmente provato a spiegarsi a parole, la sfera passerebbe ai "fatti" e proverebbe, ad esempio, ad estrarre una tavoletta da un armadio chiuso, senza aprirlo.

La tri-sfera solleva nella terza dimensione la tavoletta, la sposta

sopra al punto desiderato e la cala nuovamente sul piano

Ad A-Square sembra che la tavoletta diventi in qualche modo eterea,

passi attraverso l'armadio e si rimaterializzi all'esterno.


Questa è un'azione che a noi pare del tutto naturale, perché la sfera si limiterebbe a sollevare la tavoletta nella terza dimensione, spostarla all'esterno dell'armadio e poi rimetterla giù sul piano di A-Square. Al povero A-Square non resterebbe invece che ipotizzare che la tavoletta è stata smaterializzata, poi portata all'esterno e dunque nuovamente materializzata, oppure credere alla incomprensibili parole della sfera riguardo alla terza dimensione. Fra l'altro, A-Square sarebbe anche scosso dal continuo fluttuare del "raggio" della sfera dato che, muovendosi nella terza dimensione, non avrebbe un'intersezione fissa con il piano di A-Square. Più o meno la stessa cosa succederebbe a noi se, dopo aver inutilmente tentato di convincerci a parole, una creatura quadridimensionale togliesse dal nostro frigorifero una brocca di latte senza aprire lo sportello. Anche a noi non resterebbe che credere nella smaterializzazione o nella quarta dimensione, poiché non potrebbe esistere nessun'altra spiegazione per un fatto del genere.


L'essere quadridimensionale prende la brocca di latte dal frigo, la solleva nella quarta dimensione, la sposta sopra al punto desiderato poi la riabbassa nella terza.


Anche noi probabilmente vedremmo le dimensioni del nostro interlocutore quadridimensionale fluttuare al variare della sua intersezione con lo spazio tridimensionale ordinario.

Certo non sarebbe facile arrivare ad accettare l'esistenza di un essere che sfida così impunemente tutte le leggi della fisica cui siamo abituati, ma in presenza di prove così schiaccianti non sarebbe possibile fare altrimenti.

Sono convinto che la mente umana, al contrario di quanto si creda normalmente, sia in grado, con un continuo allenamento, di vedere la quarta dimensione così come fa con la terza. Quello che non posso dire con certezza è se questa quarta dimensione realmente esista.









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