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Teoria in sintesi - PARABOLA, DISEQUAZIONI DI 2s GRADO

matematica


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Teoria in sintesi

 

PARABOLA

 

Ogni funzione , con a ¹0, rappresenta una parabola, con le seguenti caratteristiche:

 

·        ·        L'asse della parabola è parallelo all'asse delle y



·        ·        Il vertice ha ascissa  (l'ordinata si può t 616c23g rovare sostituendo questo valore nella funzione)

·        ·        La parabola ha la concavità rivolta verso l'alto se , verso il basso se

·        ·        La "apertura" della parabola è tanto maggiore, quanto maggiore è .

·        ·        Per tracciare il grafico qualitativo della parabola si determinano il vertice  e le intersezioni con gli assi.

 

N.B.: Per queste ultime ricorda che devi risolvere i due sistemi

                        che dà             

 

            che dà             

 

 

 

DISEQUAZIONI DI 2º GRADO

 


 

N.B.: Possiamo sempre fare riferimento ai casi in cui il coefficiente a è positivo. Infatti se a è negativo, basta cambiare segno a tutti i termini e invertire il senso delle disequazioni.

(esempio:  è equivalente a )

 

 

 

·        ·        METODO GRAFICO (uso della parabola)

 

Per dare una interpretazione grafica delle disequazioni di secondo grado

 

 

a)      a)      si disegna la parabola;

b)      b)      si cercano gli eventuali punti di intersezione della parabola con l'asse x;

c)      c)      si considerano le soluzioni delle disequazioni che sono date dalle ascisse dei punti della parabola che hanno ordinata positiva  oppure negativa .

 

I casi possibili risultano riassunti nel seguente schema:

 

·        ·       

 

 

 

 

·        ·       

 

Costruisci tu per questo caso lo schema riassuntivo in modo analogo. Ricorda che in questo caso si procede considerando la parte di parabola che sta nel semipiano delle y negative.

 

 

·        ·        DECOMPOSIZIONE DEL TRINOMIO DI SECONDO GRADO

 

La risoluzione analitica delle disequazioni

 

 

avviene nel modo seguente

 

 




              dette  le due soluzioni di  e posto  si ha

 

 

 

 

E quindi, dalle regole dei segni, otteniamo la soluzione

 

 

(N.B.: Il simbolo , preso in prestito dalla logica, sta a significare che si considera l'unione dei due insiemi ).

 

  1.             

 

quindi soluzione

 

 

 

soluzione

R

 

Invece per la disequazione  in modo analogo si ottiene:

 

  1. ,  ossia per valori interni all'intervallo di estremi ;

 

  1.              non è mai verificata;

 

  1.              non è mai verificata;

 

Svolgere per esercizio uno schema analogo al caso precedente.

RISOLUZIONE GRAFICA DI UNA DISEQUAZIONE DI II GRADO

Ricordando che:

     i.tutti i punti della parabola di equazione y=ax2+bx+c  hanno coordinate della forma (x;ax2+bx+c): le loro ordinate, infatti, si ottengono sostituendo alla variabile x i valori numerici scelti per le ascisse;

      ii.quando si risolve una disequazione di II grado quale ax2+bx+c>0 si cercano quei valori reali che, sostituiti alla variabile x nell'espressione a primo membro, danno un risultato positivo;

si deduce che per risolvere una disequazione di II grado del tipo ax2+bx+c>0 (o ax2+bx+c<0) è possibile procedere graficamente nel modo seguente:

1.disegnando la parabola grafico dell'equazione y=ax2+bx+c,

2.individuando tutti quei valori di ascissa dei punti della parabola che hanno ordinata positiva (o negativa).

 

Le situazioni che si possono presentare sono le seguenti:  

                            

                  

 

dove con x1 e x2 sono stati indicati i valori delle ascisse dei punti (eventualmente coincidenti) in cui la parabola interseca l'asse x, detti anche ZERI della funzione quadratica.

 

I diversi casi dipendono dai seguenti elementi:

·         il segno del coefficiente a, che determina se la parabola associata alla disequazione rivolge la concavità verso l'alto (a>0) o verso il basso (a<0);

·         il segno del discriminante Δ che determina se il trinomio ha due zeri reali e distinti (Δ>0), due zeri reali coincidenti (Δ =0) oppure nessuno zero reale (Δ<0);

·         il simbolo di disuguaglianza > o < che determina quali punti della parabola si devono prendere in considerazione per individuare le soluzioni: quelli con ordinata positiva se compare il simbolo >, quelli con ordinata negativa se compare il simbolo <.

 

Considerando il caso a>0, sono qui di seguito rappresentate tutte le situazioni possibili:







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