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Prodotto notevole , cioè alla potenza n-esima.
Sappiamo già risolvere:
Adesso volendo sviluppare e procedendo in modo analogo si potrebbe risolvere: . Per gli sviluppi di si potrebbe operare nel modo appena descritto, ma risulterebbe molto laborioso e complicato.
Al fine di ricercare la soluzione del prodotto notevole, disponiamo i coefficienti dei prodotti notevoli in uno schema triangolare.
Coefficienti di 1
Coefficienti di 1 4 6 4 1
La legge di formazione di questo triangolo di numeri è evidenziata dalle frecce e dal segno +. Se vogliamo trovare un valore (es n=4) dobbiamo sommare i numeri della riga precedente, così troviamo il secondo valore del coefficiente e così via.
Considerazione: ogni sviluppo ha un termine in più del precedente; i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti degli estremi sono uguali; lo sviluppo di contiene termini, il primo è e l'ultimo è .
Proseguendo
nella costruzione di altre righe di questo triangolo, detto TRIANGOLO DI
TARTAGLIA, si possono ottenere i coefficienti degli sviluppi di per qualsiasi valore
di n.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
.......... ..... ...... ...
Ora volendo risolvere il prodotto notevole di prima:
basta fare riferimento a e si ha
in questo non conosciamo direttamente i coefficienti e come spiegato prima si sommano le cifre della riga precedente, il primo valore trovato della somma è il secondo coefficiente. In questo caso è: . I numeri sono stati trovati in questo modo (; e così via).
ESEMPIO
Calcoliamo il seguente prodotto notevole .
Dallo schema del triangolo di tartaglia si ha:
Svolgendo i calcoli si ha:
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