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TEOREMI E DIMOSTRAZIONI
TEOREMA (DELL'UNICITÀ DELL'ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE)
L'estremo superiore (o inferiore) di un insieme A, se esiste, è unico.
DIMOSTRAZIONE
Supponiamo per assurdo che esistano due estremi superiori e , e supponiamo che > .
Se > , allora non è un estremo superiore perché non è il più piccolo dei maggioranti, infatti è un maggiorante più piccolo di lui.
TEOREMA (DEL QUOZIENTE TRA POLINOMI)
Siano M e N due polinomi con grado(M) ≥ grado(N). Allora esistono due polinomi Q e R con grado(R) < grado(N) tali che:
M = Q * N + R
(M= dividendo, Q= quoziente, N= divisore, R= resto)
TEOREMA (REGOLA DI RUFFINI)
Sia M un polinomio; allora c è radice di M se e solo se M è divisibile per N=(x-c), cioè se esiste un polinomio Q tale che:
M=Q(x)(x-c)
DIMOSTRAZIONE
Ipotesi: c è radice di M → M(c)=0
Tesi: M(x) = Q(x) (x-c)
Poiché M e N si possono dividere, allora esistono Q e R tali che M = Q(x) * N = (x-c)+R(x)
grado(R)<grado(N) = grado(x-c) = 1
grado R=0 cioè R(x) = (costante)
Dunque posso riscrivere che M(x) = Q(x) * (x-c) +
Uso l'ipotesi: M(c) = Q(c) * (c-c) + = = 0
M(c) è la costante ma per ipotesi M(c) deve essere uguale a 0 quindi =0 cioè R(x) = 0 e quindi vale la tesi M(x) = Q(x) (x-c)
VICEVERSA
Ipotesi: M(x) = Q(x) (x-c)
Tesi: c è radice di M → M(c)=0
Calcolo M(c): M(c) = Q(c) * (c-c) = Q(c) * 0 = 0.
Quindi la tesi è verificata (c è radice di M)
TEOREMA (SUI LIMITI)
Se e , allora risulta che:
1) (limite della somma = somma dei limiti);
2) (limite del prodotto = prodotto dei limiti);
3) se 0 (limite del quoziente = quoziente dei limiti).
TEOREMA (DI UNICITÀ DEL LIMITE)
Se la funzione f ammette limite, per x→, questo limite è unico.
DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO
Neghiamo la tesi e mostriamo che questo genera un assurdo.
Ipotesi: Esiste
Tesi: ℓ è unico.
Supponiamo che esistano due limiti (a) e (b) e supponiamo che .
(a) significa tale che ;
(b) significa tale che .
Nell'intersezione dei due intorni ():
→ < f(x) < → < → →
( poiché per ipotesi, risulta che la quantità è positiva; questo è un ASSURDO perché per definizione di limite, ε deve essere un qualunque numero > 0 e piccolo a piacere, quindi anche un numero < di .
TEOREMA DEL CONFRONTO SUI LIMITI
Siano f(x) e g(x) due funzioni definite in uno stesso e siano e .
1) Se , allora esiste un intorno (diverso da ) tale che risulta:
f(x) > g(x) quando .
2) Se f(x) ≤ g(x) , allora .
3) TEOREMA DEI CARABINIERI:
Sia h(x) una funzione definita su e tale che f(x) < h(x) < g(x).
Se () cioè se =, ne segue che
TEOREMA (OPERAZIONI TRA FUNZIONI CONTINUE)
Siano f(x) e g(x) due funzioni continue su un insieme A. Allora risulta che:
la somma (f(x)+g(x)) è continua in A;
il prodotto f(x)*g(x) è continuo in A;
il rapporto , se esiste, è continuo in A;
la composizione , se esiste, è continua in A.
TEOREMA DI WEIERSTRASS
Sia f continua in . Allora risulta:
f è limitata cioè il dominio di f è limitato;
f ha massimo (M) e minimo (m), cioè esistono in punti di massimo e di minimo assoluto;
f assume tutti i valori compresi tra il suo minimo (m) e il suo massimo (M), cioè
Cod f = .
TEOREMA DEGLI ZERI
Sia f continua in e sia f(a)*f(b)<0. Allora esiste un punto c tale che f(c)=0.
TEOREMA (LEGAME TRA CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ)
Se f è derivabile in , allora f è continua in , cioè la continuità in è condizione necessaria per la derivabilità in .
DIMOSTRAZIONE
Tesi: f è continua cioè .
Ipotesi: f è derivabile cioè (finito→devo supporre che il limite sia finito perché altrimenti verrebbe una forma indeterminata)
Scrivo f(x) nella forma:
f(x) =
Posso allora scrivere :
=
==
* 0 + = ( è un numero, quindi il limite è il numero stesso)
→ LA TESI È DIMOSTRATA
TEOREMA DELLA DERIVATA NULLA ( O DI FERMAT)
Sia f definita in A. Se risulta:
f è derivabile in
è interno ad A
è punto di max o di min relativo
Allora .
DIMOSTRAZIONE
Supponiamo punto di minimo relativo, quindi esiste un tale che →.
Poiché è interno ad A, distinguo i punti che si trovano a destra e sinistra di per studiare il segno del rapporto incrementale.
Considero (i punti a sinistra di )
dunque per è ≤0
Considero (i punti a destra di )
dunque per è ≥0
Dunque per il TEOREMA DEL CONFRONTO SUI LIMITI risulta che:
Poiché f deve essere derivabile in , allora deve risultare , ma questo è possibile solo se = 0 cioè se == 0.
CONSEGUENZE
DEL TEOREMA DELLA DERIVATA NULLA
TEOREMA DI ROLLE (TEOREMA DELL'ESISTENZA DEI PUNTI STAZIONARI)
Sia f continua e derivabile in un intervallo chiuso e limitato e sia . Allora esiste un punto tale che .
Il teorema afferma l'esistenza di un punto stazionario, cioè un punto con derivata prima uguale a zero.
Osservazioni:
1) Per il TEOREMA DI WEIERSTRASS, f ha massimo (M) e minimo (m).
2) Poiché , allora f è costante (M=m) e quindi ci sono infiniti punti a derivata prima uguale a zero. Se invece m<M allora uno dei due cade all'interno di perché sul bordo la funzione assume valori uguali e quindi ho trovato un punto di massimo o di minimo relativo dove f è derivabile, interno ad dunque per il TEOREMA DELLA DERIVATA NULLA, la derivata prima è zero.
TEOREMA DI LAGRANGE
Sia f continua in e derivabile in (a,b). Allora esiste un punto tale che ↓
è il coeff. angol. della retta
che unisce (a,f(a)) e b(, f(b))
Il teorema di Lagrange afferma che esiste un punto c dove la retta tangente al grafico è parallela alla retta secante il grafico nei punti (a,f(a)) e b(, f(b)).
CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI LAGRANGE
TEOREMA DI L'HÔPITAL
Siano f(x) e g(x) due infinitesimi o due infiniti per e siano due funzioni derivabili in un intorno di . Allora, se esiste , tale limite è uguale al .
Cioè: =
TEOREMA DEL LIMITE DELLA DERIVATA
Sia f continua in e sia f derivabile in un intorno del punto escluso .
Allora se esiste finito , f è derivabile in e la derivata .
DIMOSTRAZIONE
f è derivabile in se esiste finito
Poiché f è continua in ,
TEOREMA
Sia f continua in . Allora risulta che:
TEOREMA DEL SEGNO DELLA DERIVATA
Sia f derivabile in (a,b).
a) Se allora f è STRETTAMENTE CRESCENTE in (a,b) → è invertibile;
b) Se allora f è STRETTAMENTE DECRESCENTE in (a,b) → è invertibile;
c) Se allora f è COSTANTE in (a,b).
N.B.: In realtà il teorema vale anche in forma più debole, cioè:
a) Se e zero solo in un numero finito di punti allora f è STRETTAMENTE CRESCENTE in (a,b);
b) Se e zero solo in un numero finito di punti allora f è STRETTAMENTE DECRESCENTE in (a,b).
DIMOSTRAZIONE
Ipotesi:
Tesi: f strettamente crescente in (a,b) cioè . Applico il TEOREMA DI LAGRANGE ad f nell'intervallo [x1,x2]. Posso applicare il teorema in [x1,x2] perché l'intervallo [x1,x2] quindi f è derivabile in tutto [x1,x2] e quindi anche continua.
Dal teorema di Lagrange risulta:
↓ ↓
>0 per ipotesi
>0
Quindi
=→>0 quindi anche l'altro membro è >0 dunque LA
TESI È DIMOSTRATA ↓ ↓
>0 >0
TEOREMA (FUNZ. CONVESSA →MINIMO ASSOLUTO)
Sia f derivabile in (a,b) e convessa. Allora, se è un punto stazionario (), è PUNTO DI MINIMO ASSOLUTO (in (a,b)).
DIMOSTRAZIONE
Tesi: è punto di minimo assoluto cioè
Ipotesi: f è convessa in (a,b)
Poiché f è derivabile e convessa in (a,b) allora risulta che .
Poiché per ipotesi, sostituendo 0 a si ottiene . Quindi , dunque è PUNTO DI MINIMO ASSOLUTO → LA TESI È DIMOSTRATA.
TEOREMA (FUNZ. CONCAVA →MASSIMO ASSOLUTO)
Sia f derivabile in (a,b) e concava. Allora, se è un punto stazionario (), è PUNTO DI MASSIMO ASSOLUTO (in (a,b)).
DIMOSTRAZIONE
Tesi: è punto di massimo assoluto cioè
Ipotesi: f è concava in (a,b)
Poiché f è derivabile e concava in (a,b) allora risulta che .
Poiché per ipotesi, sostituendo 0 a si ottiene . Quindi , dunque è PUNTO DI MASSIMO ASSOLUTO → LA TESI È DIMOSTRATA.
TEOREMA (FUNZIONE CONVESSA, CONCAVA, LINEARE)
Sia f derivabile due volte in (a, b).
TEOREMA (PUNTO DI FLESSO)
Sia f derivabile due volte in e continua in .
a) Se è PUNTO DI FLESSO allora .
b) Se e (o ) in un intorno sinistro e (o ), allora è un PUNTO DI FLESSO.
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