TABELLA DELLE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE  

DEFINIZIONE GEOMETRICA

PROCEDIMENTO

EQUAZIONI

Simmetria assiale

La simmetria assiale è una trasformazione geometrica rispetto ad un asse in cui il punto corrispondente P' si trova sulla retta perpendicolare all' asse individuata da P in modo tale che il punto medio del segmento PP' appartenga allo asse.

- fissare un sistema cartesiano;

- fissare l' asse di simmetria;

- determinare la retta perpendicolare all' asse, passante per il punto P;

- fissare il punto P' appartenente alla ret 656h72g ta di P in modo tale che il punto medio del segmento PP' appartenga all' asse;

tramite l' equazione del punto medio, giungere alle equazioni della isometria;

- fissare un sistema cartesiano;

-fissare l' asse di simmetria;

- determinare la retta perpendicolare all' asse passante per il punto P in modo tale che il punto medio del segmento PP' appartenga all'asse;

-tracciare i segmenti PO e P'O;

-tracciare la perpendicolare all'asse dell'ordinate passante per il punto con ascissa minore e la perpendicolare all'asse delle ascisse  passante per il punto che ha ordinata minore;

- verificare l' uguaglianza dei triangoli ottenuti tramite gli angoli e di conseguenza l' uguaglianza fra le ascisse  e le ordinate.

X'= 2k-x

Y'= y

X'= x

Y'=2m-y  

1 e 3 quadrante

X'= Y

Y'=X

2 e 4 quadrante

X'=-Y

Y'=-X

Simmetria centrale

La simmetria centrale è una trasformazione geometrica rispetto ad un centro O in cui il trasformato P' si trova sulla retta identificata da P ed O, in modo tale che O sia il punto medio di PP'.

- Fissare un riferimento cartesiano;

- fissare il centro di simmetria e il punto P;

- tracciare un segmento PP' il cui punto medio sia il centro;

- tramite le equazioni del punto medio del segmento PP' giungere alle equazioni della isometria.

X'= 2Xc- X

Y'= 2Yc- Y

Traslazione

Una traslazione è una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano individuata da un vettore che determina uno spostamento sul piano, secondo la sua direzione, il suo verso, il suo modulo (lunghezza).

- Fissare un piano cartesiano;

- individuare il vettore ponendo la sua origine nell' origine degli assi e la sua fine nel punto individuato dalle sue componenti cartesiane;

- applicare poi il vettore al punto.

V (a;b)

X'= X+a

Y'= Y+b

Glissosimmetria

E' una composizione di una traslazione e di una simmetria assiale o viceversa, anche se non vale la proprietà commutativa.

- Fissare un sistema cartesiano;

- fissare l' asse di simmetria, il vettore e il punto;

-applicare al punto la traslazione o la simmetria a seconda dell' ordine dato e applicare al trasformato l' altra isometria

quindi:

fare la composizione delle due isometrie.

S  T y=h

X'= X+a

Y'= 2h-Y-b

T  S

X' =X+a

Y'=2h-Y+b

S  T X=m

X'= 2m-x-a

Y'=Y+b

T  S

X'= 2m -X+a

Y'= Y+b

Rotazione

Questa trasformazione fa corrispondere al punto P un punto P' che fa parte della stessa circonferenza che ha centro in O, in modo tale che l' angolo POP' sia uguale a quello indicato e il senso sia quello indicato.

Si può ottenere anche componendo due simmetrie assiali ad assi incidenti, in cui il centro è l' intersezione degli assi, l' angolo il doppio di quello creato dagli assi e il senso dal primo al secondo asse.

- Fissare un sistema cartesiano;

- fissare i due assi di simmetria e il punto P;

- trovare il simmetrico di P secondo uno o l' altro asse e il simmetrico di P' secondo l' asse rimanente, in modo tale che P, P', P'' siano disposti in senso orario o antiorario a seconda delle indicazioni.

Rotazione +90°

X'= -Y

Y'= X

Rotazione -90°

X'= Y

Y'= -X

Omotetia

E' una trasformazione geometrica identificata da un centro C e da un numero reale diverso da 0 chiamato rapporto di omotetia (K) in cui, il trasformato di un punto P, P' si trova sulla retta identificata dal segmento PC in modo tale che il quoziente tra la lunghezza del segmento P'C e quella del segmento PC sia uguale a K

Se K è positivo P e P' si trovano sulla stessa semiretta che ha origine in C, se K è negativo P' si troverà nell'altra semiretta che ha sempre origine in C.

- Fissare un piano cartesiano ed un punto P;

- fissare un centro C e un rapporto K;

- ricavare il punto P' allineato con P e C che dista dal centro K volte la lunghezza del segmento più C. 

Con centro nell'origine degli assi

X' = KX

Y' = KY

Con centro un punto qualsiasi del piano

X' = KX+Xc(1-K)

Y' = KY+Yc(1-K)