I I

Cioè in prima approssimazione risulta :

I I= f(x) h + f(x) h + . +f(x) h

I lo si può considerare come un I e risulta:

lim I = I

Questa del rettangolo può essere considerata una prima formula di quadratura soggetta ad un errore di troncamento dato dalla somma di tutte le aree trascurate.

La quadratura approssima l'integrazione definita sostituendo al calcolo dell'integrale definito quello di una sommatoria dei valori della funzione moltiplicati per determinati coefficienti :

f(x) dx = A f(x) + R(f) (1)

R(f) è il resto o errore di troncamento della formula che è l'errore che si commette approssimando li valore esatto I utilizzando la (1).

Schematicamente le formule di quadratura possono essere cosi simboleggiate:

I(f) = L(f) + R(f)

Per calcolare gli A si sfrutta la definizione di "formule interpolatorie o di Newton-Cotes" che sono quelle formule esatte , cioè R(f)=0 , per ogni polinomio p(x) di grado minore uguale di n.

Si considerino due punti x=a ed x=b detti nodi della formula , per calcolare gli A non si utilizza R(x)=0 ma:

R(( x - x)= 0 con k= 0 , 1 ,., n

Si ottiene un sistema in due equazioni e due incognite che risolto fornisce A ed Ache risultano essere uguali ad h/2 , la formula si può pertanto così scrivere:

f(x) dx = h/2 [ f(x) + f(x) ] + R(f)

che è la formula interpolatoria per n=1 detta anche formula del trapezio dove il resto è l'integrale del resto della formula di interpolazione di Lagrange. Quando approssimiamo l'integrale definito con l'area del trapezio , si approssima la f(x)

con una retta la formula ha due nodi ( n = 1).

Una formula di quadratura si dice di ordine r 0 se esatta per ogni polinomio di grado minore uguale ad r o se R(x) = 0 per k = 0 , 1 , . , r.

Una formula di quadratura si dice di ordine esattamente r se :

R(x) = 0 con k = 0 , 1 , . ,r

R(x) 0

Nel caso in cui n = 2 si ottiene la "formula di Simpson" o parabolica che si ottiene approssimando la f(x) con una parabola la formula ha ordine r = 2 e tre nodi :

x

x = x + h

x = x + 2h

e si ricava sfruttando la proprietà per cui la formula interpolatoria deve essere esatta per ogni polinomio di grado minore uguale di 2 ; dovrà cioè risultare :

R( ( x - x )) = 0 con k = 0 , 1 , 2 .

Da questa condizione si ottiene la formula di Simpson:

f(x) dx = h/3 [ f(x) + 4 f(x) + f(x) ] + R(f)

La formula di Simpson comporta un errore minore , il coefficiente dell'errore di troncamento è più piccolo.

Si verifica che la formula del trapezio è di ordine esattamente 1 quella di Simpson è di ordine esattamente 3 in generale vale la seguente proprietà :

se n è dispari l'ordine della formula è esattamente n , se n è pari l'ordine della formula è esattamente n+1.

Si divida l'intervallo [ a , b ] in n sottointervalli di uguale ampiezza h. Se si applica ad ogni sottointervallo l'approssimazione di f(x) con la retta si ottiene la formula del trapezio composta , se ad ogni sottointervallo si applica la formula di Simpson ottengo la formula di Cavalieri-Simpson , entrambe "formule composte".

La "formula del trapezio composta" ha la seguente espressione:

f(x) dx = h/2 [ f(x) + f(x) ] + h/2 [ f(x) + f(x) ] +.+ h/2 [ f(x) + f(x) ] +

+ R(f).

Si può migliorare l'approssimazione della formula del trapezio composta con il metodo di Romberg che consiste nell'approssimare combinando le formule in modo tale che l'ordine di grandezza dell'errore diminuisca , partendo dalla considerazione che si può considerare l'errore di trocamento espresso tramite uno sviluppo in serie di potenze di esponente pari.

La "formula di Cavalieri-Simpson" ha la seguente espressione:    f(x) dx = h/3 [ f(x) + 4 f(x) + 2 f(x) + 4 f(x) +. + 4 f(x) + f(x) ] + R(f)

Per quest'ultima h = ( b - a ) / 2n in quanto si applica n volte la formula di Simpson.

Gli R(f) sono il risultati delle somme degli errori per ogni sottointervallo.

Le formula di quadratura sono somme di formule di ordine basso , non sono interpolatorie e nel procedimento concettuale non si approssima sostituendo ad una curva un'altra ma per esempio nel caso del trapezio si ha a livello grafico una spezzata.

Le "formule di Gauss-Legendre" presentano le seguenti convenzioni : gli estremi di integrazione sono 1 e -1 i nodi sono n e non n+1 .

Le formule sono costruite in modo tale che scelti opportunamente i nodi questi la rendano dell'ordine più alto possibile .

L'ordine delle formule di Gauss si trova sfruttando dei teoremi da cui si evincono le seguenti proprietà:

la formula di Gauss non può avere ordine 2n

la formula di Gauss può avere l'ordine 2n-1.

Condizione necessaria e sufficiente affinché la formula di Gauss abbia ordine 2n-1 è che sia interpolatoria e sia soddisfatta la seguente ortogonalità:

p(x) q(x) dx = 0

dove p(x) è un polinomio fissato di grado n che ha come radici i nodi della formula mentre q(x) è un polinomio qualsiasi di grado n-1; l'ortogonalità deve essere soddisfatta per ogni polinomio con grado minore uguale di n.

Da questa proprietà si determinano i nodi , dal fatto che la formula debba essere interpolatoria si determinano i coefficienti A.

La formula di Gauss per due punti ha la seguente espressione:

f(x) dx = f(-/3) + f( /3) + R(f)

I nodi della formula di Gauss sono sempre reali , distinti ed interni all'intervallo [ -1 , , 1 ] .

APPLICAZIONE : CONFRONTO FRA LE DIVERSE FORMULE DI QUADRATURA

Calcolare il valore dell'integrale definito I = ( 1/) dx con le formule di quadratura precedentemente esposte sapendo che il valore esatto di I è 2(-1) = 0,828427124.

Metodo dei rettangoli

h = 0,2

x= 0  f(x) = 1

x= 0,2   f(x)= 0,912870929

x= 0,4  f(x)= 0,845154254

x= 0,6  f(x)= 0,800569595

x= 0,8   f(x)= 0,745355992

x= 1 f(x)= 0,707106781

I = 0,2 [ f(x) + f(x) + f(x) + f(x) + f(x) ] = 0,860790152

Formula del trapezio

h = 1

I = ½ [ f(0) + f(1) ] = 0,5 ( 1 + 0,707106781 ) = 0,85355339

Formula di Simpson

h = 0,5

nodi: x = 0 , x = x + 0,5 = 0,5 , x= 1

f(x) = 0,816496581

I = 1/6 [ f(x) + 4 f(x) + f(x) ] = 1/6 ( 1 + 0,81649658 + 0,707106781 ) = 0,82884885

Formula del trapezio composta

h = 0,2 n = 5

i nodi x sono gli stessi della formula dei rettangoli

I = h/2 [ f(x) + f(x) ] + h/2 [ f(x) + f(x) ] + h/2 [ f(x) + f(x) ] + h/2 [ f(x) + +f(x) ] + h/2 [ f(x) + f(x) ] = 0,831500829

Formula di Cavalieri-Simpson

h = (b - a) / 2n h = 0,1 n = 3

x= 0    f(0) = 1

x = 0,1 f(0,1) = 0,953462589

x = 0,2    f(0,2) = 0,912870929

x = 0,3    f(0,3) = 0,877058019

x = 0,4    f(0,4) = 0,845154254

x = 0,5    f(0,5) = 0,816496581

x = 0,6    f(0,6) = 0,800569595

x = 0,7    f(0,7) = 0,766964988

x = 0,8    f(0,8) = 0,745355992

x = 0,9    f(0,9) = 0,725476250

x = 1  f(1,0) = 0,707106781

I = h/3 [ f(0) + 4 f (0,1) + 2 f(0,2) + 4 f(0,3) + 2 f(0,4) + 4 f(0,5) + 2 f(0,6) + 4 f(0,7) +

+ 2 f(0,8) + 4 f(0,9) + f(1) ] = (24,87284203) 0,1 / 3 = 0,829094734

Quadratura di Gauss-Legendre

Bisogna effettuare un cambiamento di variabile xt e trasformare la f(x) in una f(t) , le equazioni della trasformazione sono :

x = ½ ( t + 1 )  dx = ½ dt

quindi si ha che

1 / dx = 1/ ( ) dt

cambiati gli estremi di integrazione si può ora applicare la formula di quadratura di Gauss-Legendre:

I = f( -/ 3) + f( / 3) = 0,454296811 + 0,373855926 = 0,828152737