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Proprietà delle funzioni continue

matematica


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Si dice che la funzione f(x), definita in tutti i punti di un intervallo [a,b], è continua nel punto c (interno a questo intervallo), se risulta: lim f(x) = f(c)

                    x->c

la funzione è continua in un punto c appartenente al dominio se:

~    lim f (x) è uguale a un num. finito

        x->c

~    esiste finito il lim f(x)

                                             x->c



~    risulta lim  f(x) = f(c)

                         x->c

Proprietà delle funzioni continue:

~    TEOREMA DI WEIERSTRASS:la funzione ammette un minimo assoluto e un massimo assoluto.( massimo assoluto:è un numero che all'interno dell'insieme dei valori assunti dalla funzione non viene superato da nessun numero dell'insieme; minimo assoluto:è un numero che all'interno dell'insieme non è maggiore di nessun altro numero dell'insieme)

~    TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI: la funzione assume ogni valore compreso tra il suo minimo m e il suo massimo M.

~    TEOREMA DELL'ESISTENZA DEGLI ZERI: se in due punti dell'intervallo la funzione assume valori di segno opposto, esiste almeno un punto tra questi in cui la funzione è nulla.

Sia f(x) una funzione definita in un insieme A e c un punto di accumulazione per A.

Si dice che f(x) ha un punto di discontinuità in x=c, se f(x) non è contenuta nel punto x=c.

DISCONTINUITA' ELIMINABILE: si dice che c'è un punto di discontinuità eliminabile per una funzione f se la funzione ammette limite finito.

DISCONTINUITA' DI PRIMA SPECIE:si dice che c'è un punto di discontinuità di prima specie per una funzione f se, la funzione ammette limite destro e limite sinistro finiti e diversi tra loro.

DISCONTINUITA' DI SECONDA SPECIE: si dice che c'è un punto di discontinuità di seconda specie per una funzione f se, in x=c, uno dei due limiti della funzione è infinito o non esiste.

PUNTO DI ACCUMULAZIONE : se nell'intorno di un punto cadono infiniti punti (o valori)

PUNTO ISOLATO si ha quando intorno a tale punto non cadono infiniti valori.

PUNTO ANGOLOSO: si ha quando esistono la derivata destra e la derivata sinistra nel punto,ma sono diverse tra loro (es. quando c'è la funzione in un modulo) e quindi la funzione non è derivabile

PUNTO DI CUSPIDE: si ha quando calcolando il lim per x  tendente a quel punto, della derivata rima risulterà infinito.

DERIVATA:

SIGNIFICATO ALGEBRICO la derivata prima di una funzione in un punto (x0) è il limite se esiste ed è finito, del rapporto incrementale al tendere cmq a zero dell'incremento della variabile indipendente (Dx)

f' (x0) = lim     f (x0+h) - f(x0)

                                         h®0                          h

e permette di capire l'andamento della funzione e calcolare i punti critici, cioè i punti in cui la derivata prima si annulla (minimi e massimi)

SIGNIFICATO GEOMETRICO: la derivata prima di una funzione è il coefficiente angolare della tangente alla curva nel punto di ascissa x0

m =   Dx   =   y2 - y1   =      f(x0+h) - f(x0)

         Dy         x2 - x1                        h

permette di trovare l'equazione della tangente in qualsiasi punto.

TEOREMA DELLA FUNZIONE SOMMA:

La funzione s (x) = f(x) + g(x), somma di due funzioni derivabili nello stesso intervallo I, è anch'essa derivabile ed è uguale alla somma delle derivate delle due funzioni:

s' (x) = f'(x) + g'(x)

dimostrazione:

IL RAPPORTO INCREMENTALE DI s (x) è

s(x+h) - s(x) = [f(x+h) + g(x+h)] - [f (x) + g (x)]

           h                                          h

da cui si ricava

s(x+h)- s(x)  =  f(x+h)-f(x)  +  g(x+h)-g(x)

       h                         h                      h

per ipotesi f(x) e g(x) sono derivabili 

 lim  f(x+h) - f (x) = f' (x)    lim g(x+h) - g(x)  = g'(x)    h®0                 h                                               h®0                h




applicando il teorema del limite di una somma

lim s(x+h) - s(x) = f'(x) + g' (x)

h®0                h

TEOREMA del PRODOTTO

La funzione p (x) = f(x) g(x), prodotto delle due funzioni derivabile in I è anch'essa derivabile e la sua derivata è uguale alla somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando la derivata di ciascuna funzione per tutte le rimanenti funzioni non derivate.

P' (x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

TEOREMA del QUOZIENTE

La funzione q(x) =f(x) quoziente delle due funzioni derivabili f e g (con g¹0), è una funzione derivabile nell'intervallo I, in cui sono derivabili f e g , e la sua derivata è data da:

q'(x) = f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)

                     [g(x)]2

DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA: sia g(x) una funzione definita in un intervalli I e derivabile in x0ÎI e sai f(x) una funzione definita nell'intervallo I' e derivabile nel punto z0=g(x0).

In questa ipotesi, la funzione composta F(x)=f[g(x)] è derivabile in x0 e si ha:

F'(x0)=f'(z0)*g'(x0).

TEOREME DI LAGRANGE: se f(x) è una funzione continua nell'intervalli chiuso [a,b] e derivabile internamente ad esso, allora esiste almeno un punto c, interno ad [a,b] tale che:

f'(c)=f(b)-f(a)

             b-a

TEOREMA DI ROLLE: sia f(x) una funzione definita nell'intervallo chiuso [a,b] che abbia le seguenti proprietà:

~          Sia continua in [a,b]

~          Sia derivabile in (a,b)

~          Assuma valori uguali negli estremi dell'intervallo, cioè f(a)=f(b)

In tale ipotesi, esiste almeno un punto c, interno all'intervallo [a,b] nel quale si annulla la derivata della funzione, cioè risulta : f'(c)=0,     a<c<b.

TEOREMA DI DE HOSPITAL: siano f(x) e g(x) due funzioni definite nell'intorno H di un punto a. se valgono le seguenti ipotesi:

~          f(x) e g(x) sono continue in x=a ed f(a)=g(a)=0

~          f(x) e g(x) sono derivabili in H0=h-

~          g'(x)¹0 in H0

~          esiste (finito o infinito) il lim f'(x)

                                                           x®a g'(x)

allora esiste anche il lim f(x) e risulta

lim    f(x) =    lim     f'(x)                             

 x®a    g(x)       x®a     g'(x)







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