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Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali monometriche (x, y), è assegnata la funzione:
con a e b diversi da zero.
a) si trovino i valori di a e b tali che la curva G grafico della funzione passi per l'origine degli assi 747f58h e presenti un minimo assoluto in x=1;
b) si studi e si disegni G
c) si determini, applicando uno dei metodi numerici studiati, un'approssimazione della intersezione positiva di G con l'asse x;
d) si determini l'equazione della curva G' simmetrica di G rispetto alla retta y = y(1);
e) si disegni, per i valori di a e b trovati, il grafico di:
RISOLUZIONE
a) le informazioni di cui disponiamo sono:
la prima in quanto la funzione passa nell'origine, la seconda in quantox=1 è min.
sostituendo nella funzione e nella derivata che risulta essere:
otteniamo il seguente sistema:
da cui sostituendo e raggirando si ottiene:
b) La funzione così riscritta risulta essere:
L'unica condizione è sull'esistenza del logaritmo: x>-1, quindi il dominio risulta esesre:
Essendo D non simmetrico rispetto all'origine, è inutile cercare eventuali simmetrie. Ricerco le intersezioni con gli assi:
si risolve per via grafica:
e si osserva che ci sono due soluzioni: , entrambe accettabili.
Limiti alla frontiera del dominio:
da cui si deduce che in x=1 la funzione ha un asintoto verticale.
Raccogliamo e otteniamo: . Risolvendo la forma d'indecisione con il teorema di De L'Hopital nella frazione dentro la parentesi, si ottiene che la frazione tende a 0, quindi la parentesi va a 1, di conseguenza il limite iniziale tende tutto a .
In conseguenza di ciò, la f(x) non presenta asintoti orizzontali, quindi si va alla ricerca dell'eventuale asintoto obliquo:
che semplificando, risulta essere , quindi la f(x) non ha asintoto obliquo.
La prima soluzione è accettabile, la seconda no, in quanto non rientra nelle condizioni di dominio.
Il denominare, sotto condizioni di dominio è sempre positivo.
Lo schema della derivata prima risulta essere:
-1 1
XXX-------+++++++
m
che non si può mai annullare ed è sempre maggiore di 0. Di conseguenza f(x) ha sempre la concavità rivolta verso l'alto.
XXX+++++++
Il grafico risulta essere il seguente:
c) Determinare , ad esempio attraverso il metodo di bisezione:
a |
b |
f(a) |
f(b) |
c |
f(c) |
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Da cui si ottiene con approssimazione a che
d) Utilizzando la trasformazione di simmetria rispetto a una retta orizzontale si ha:
riaggirando e ricavando x e y si ottiene: e andando a sostituire nella funzione di partenza e sapendo che si ha che è :
e) per disegnare basta partire da e simmetrizzare rispetto all'asse x i tratti con y<0. Il grafico risulta:
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