Numeri complessi

matematica

Numeri complessi

Un numero complesso è un numero composto da una parte reale e da una parte immaginaria e si indica con una lettera maiuscola "A".

La parte reale, che si indica con "a", è costituita da un numero normalissimo.

La parte immaginaria, che si indica con "jb", è costituita da un unità immaginaria "j" che corris 717b19h ponde a , e da un coefficiente della parte immaginaria "b".

J² = -1 J³ = -J J⁴ = 1 J⁵ = J

Con i numeri complessi si possono eseguire delle operazioni:

ADDIZIONE

Questa operazione si esegue sommando le parti reali e poi le parti immaginarie; es:

(a+jb)+(c+jd) = (a+c)+j(b+d)

SOTTRAZIONE

Questa operazione si esegue sottraendo le parti reali e poi le parti immaginarie; es:

(a+jb)-(c+jd) = (a-c)+j(b-d)

MOLTIPLICAZIONE

Questa operazione si esegue come una comunissima moltiplicazione tra binomi; es:

(a+jb)*(c+jd) = ac+jad+jbc+j²bd = (ac-bd)+j(ad+bc)

DIVISIONE

Questa operazione si esegue moltiplicando numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore;

il complesso coniugato di un numero complesso è un numero che ha la stessa parte reale e parte immaginaria di segno opposto e si indica con una lettera maiuscola con un asterisco "A^*"; es:

a+jb c-jd (ac+bd)+J(bc-ad)

c+jd c-jd c²+d²

i numeri complessi si usano per rappresentare dei vettori che si usano nel piano di GAUSS; la parte reale si riporterà sulle x e il coefficiente della parte immaginarie sulle y.

I numeri complessi hanno altre due proprietà il modulo e la fase.

Il modulo di un numero complesso è la lunghezza fisica del vettore che lo rappresenta e si indica con "|A|";

La fase è l'angolo misurato dall' asse delle x in senso antiorario fino ad incontrare il vettore, esclusivamente in radianti e si indica con A.

A A* = A

A (a²+b²)

A = arctg b/a

La funzione arctg restituisce un risultato variabile tra - p/2 e + p

e quindi qualsiasi sia l' angolo che risulta dal calcolo dell' arctg il suo valore può essere sbagliato di p radianti.

Per i numeri complessi esiste un' altra rappresentazione, quella polare o di Eulero che si serve del modulo e della fase; es:

A = A e^{j A} e = numero di Eulero = 2,71

A = a+jb = (a²+b²) e^{J arctg b/a}

OPERAZIONI IN FORMA POLARE

A B = A B e^{j A+ B)}

A/B = A B e^{j A- B)}

FORMULE DI CONVERSIONE

a = A cos A

b = A sin A

A e^{J A} A cos A + J A sin A

e^Jx = cosx +sinx

Con i numeri complessi si possono eseguire anche delle espressioni che si risolvono con le operazioni tra numeri complessi già descritte; es:

(3+j2)+(-5+J3) = (-2+J5)

ma si possono anche risolvere in via grafica grazie alla regola del parallelogramma; es: