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NOZIONI INTRODUTTIVE E NOZIONI - GLI INSIEMI

matematica


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NOZIONI INTRODUTTIVE E NOZIONI

GLI INSIEMI

L'insieme è come una collezione qualsiasi di oggetti, in numero finito o infinito.

In un insieme finito il n° degli oggetti che lo costituiscono si dice anche ordine; un insieme infinito si dice anche di ordine infinito. Gli oggetti che costituiscono un insieme sono detti i suoi elementi.

Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole dell'alfabeto; gli elementi con lettere minuscole.

Per indicare l'appartenenza o meno dell'elemento x all'insieme A si scrive "x Є A" e "x Є A".

L'insieme privo di elementi è detto insieme vuoto, indicando con il simbolo 0.

N    è l'insieme dei n° naturali   



Z    è l'insieme dei n° interi relativi   

Q    è l'insieme dei n° razionali, cioè le frazioni n/m dove n e m sono n° interi relativi e m ≠ 0

R    è l'insieme dei n° reali

C    è l'insieme dei n° complessi

Simboli:

         significa  "per ogni";

         significa  "esiste almeno un/o/a";

    !    significa  "esiste uno ed un solo";

            si legge "implica";

            si legge "se e soltanto se";

            Esempio: p           q significa che p e q sono equivalenti;

Λ          si legge "e";

V          si legge "o".

SOTTOINSIEMI

Un insieme A si dice sottoinsieme dell'insieme B se ogni elemento di A appartiene a B.

Si scrive A B e si legge "A contenuto in B" o "A incluso in B". in simboli:

A     B                 (x Є A            x Є B)

OPERAZIONI TRA INSIEMI

Definizione: Dati 2 insiemi A e B, si dice insieme unione di A e di B l'insieme AUB avente come elementi gli oggetti che appartengono ad almeno uno tra A e B.

A     B =

Definizione: Dati 2 insiemi A e B, si dice insieme intersezione di A e di B l'insieme AB avente come elementi gli oggetti che appartengono sia ad A che a B.

A ∩ B =

Esempio:

       =

    =

2 insiemi A e B, si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune, cioè A B = 0.

Definizione: Dati 2 insiemi A e B, si dice insieme differenza di A e di B l'insieme A\B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad A e non a B.

A \ B =

Esempio:

\  =

Se la differenza viene effettuata tra un insieme X e un suo sottoinsieme A, si parla di complementare del secondo insieme nel primo, denotata Сx (A).

Definizione: Dati 2 insiemi A e B, si dice differenza simmetrica di A e di B l'insieme  A    B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad A e non a B e gli oggetti che appartengono a B e non ad A.

A       B =  U = (A\B)    (B\A)

Esempio:        =     =

Definizione: Dati 2 insiemi A e B non vuoti, si dice insieme prodotto cartesiano di A e di B l'insieme  A x B avente come elementi le coppie ordinate di elementi di A e di B.

A x B =

Esempio: Se    A =   e   B = , si ha:

                  A x B =

CORRISPONDENZE E FUNZIONI

Funzione: E' una relazione che lega 2 grandezze fisiche, economiche o qualitative attraverso una legge matematica. Queste 2 variabili verranno chiamate x e y.

·  x viene detta variabile indipendente;

·  y viene detta variabile dipendente, perché dipende dalla x, per cui: y = f (x).

Dominio: L'insieme delle x si chiama dominio di funzione o campo di esistenza; ed è l'insieme di tutti i valori di x per i quali è possibile calcolare il valore della funzione, la variabile di x si chiama dipendente.

 Funzione             Denominazione                    Dominio                                         Esempio

 

y = mx + q              funz. lineare                            D =                             y = 2x - 5

                                                                                                                                D =

y = ax2 + bx + c       funz. quadratica                      D =                        y = 2x2 - 3x - 1

                                                                                                                                D =

           N(x)                                                                                                                      x3 - 2x + 1

y =                           funz. algebrica              D =                   y =

           D(x)                     fratta                                                                                            x2 - 3




                                                                                                                         D =

y = nf(x)                 funz. irrazionale        "n" pari  D =          y =      x2 - 3                                                                                                                                                              

                                                                                                                          D =


                                                                   "n" dispari   D =                  y =   3   x + 4

                                                                                                                                 D =

y = log x                 funz. logaritmica               D =                     y = log (x2 - 1)                                                                                                                                                              

                                                                                                                            D =

y = ex                      funz. esponenziale        il D di questa funz. coincide                 y = ex2+3x                                                                                                                                                             

                                                                     con quello dell'esponente                  D =

y = sin f(x)                                                                                                          sin[(x2 +2x -7)3(x -2)]                                                                                                                                                            

y = cos f(x)          funz. goniometrica          il D di queste funz. coincidono             D =

y = tg f(x)                                                    con quello del loro argomento

                                                                                                                              sin     x2 +2x -8

                                                                                                                                      D =

Esempi:    y = 3x + 2        D = V x Є R

                   y = 2√2x - 1      essendo pari     D = 2x ≥ 1 →   x ≥ 1/2    D = V x Є R: x ≥ ½

                   y = 3√2x - 1      essendo dispari     D = V x Є R

                            4x2 - 2                        

                   y =                       x + 2 ≠ 0        x ≠ -2        D =    x Є R: x ≠ -2   

                             x + 2                   

                   y = loga (1 - x)        1 - x > 0        x < 1         D =    x Є R: x < 1

                   y = e-x^2         D =    x Є R

Codominio: l'insieme delle y si chiama codominio, le variabili di y si chiamano variabili dipendenti.

Definizione: Una funzione è detta:

·  Iniettiva: se ogni elemento di A ha al più una controimmagine in B;

                                      A                                        B


·  Suriettiva: se ogni elemento di A ha almeno una controimmagine in B;

                                      A                                        B


·  Biunivoca: se è sia iniettiva sia suriettiva; quindi se ad ogni punto di A corrisponde un punto di B.

                                      A                                        B







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