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Matematica finanziaria

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Matematica finanziaria

Classe V ITC

Dispensa n° 5

 

 

 

Finora ci siamo trovati di fronte problemi relativi alla valutazione di singoli capitali. Queste sono le operazioni più semplici riscontrabili nell’ambito finanziario: valutare, dopo un certo periodo di tempo, un capitale disponibile al tempo zero oppure valutare, al tempo zero, un capitale disponibile nel futuro. Nel primo caso abbiamo utilizzato i regimi finanziari dell’interesse mentre nel secondo i regimi dello sconto.

Passiamo ora a valutare una serie di capitali. Si  dice rendita qualsiasi sequenza di capitali ciascuno dei quali caratterizzato da una determinata scadenza. I capitali che formano la rendita si chiamano rate.



Consideriamo una rendita le cui rate scadono a intervalli costanti di tempo. Si dice periodo della rendita l’intervallo costante di tempo che intercorre tra la scadenza di una rata e la successiva. Se il periodo di intervallo è 1 anno, si parla di rendite annue; se il periodo di intervallo è uguale a una frazione di anno, 1/m di anno, si parla di rendita frazionata di frequenza m.

Le rendite posticipate sono quelle per le quali, per ciascun per 727f55h iodo, la rata di competenza del periodo scade alla fine del periodo stesso; le rendite anticipate sono quelle per le quali, per ciascun per 727f55h iodo, la rata di competenza del periodo scade all’inizio del periodo stesso.

Facendo riferimento alla possibile durata di una rendita si fa distinzione fra rendite temporanee, o limitate, e rendite perpetue, o illimitate. Le prime hanno un numero finito di rate mentre le seconde hanno una durata illimitata.

Per quanto riguarda la decorrenza delle rate si fa distinzione fra rendite immediate, le cui rate hanno decorrenza immediata, e rendite differite, nella quale le rate non hanno decorrenza immediata.

Esempio di una rendita:

           250               715                              326                         419                     860


      0      2                    7                                15                           23              28

La rendita precedente ha le seguenti caratteristiche: è una rendita limitata, in quanto sappiamo che l’ultima rata verrà corrisposta al tempo 28; è composta da cinque rate ciascuna delle quali diversa; il tempo non è costante poiché tra il pagamento di una rata e l’altro passa un tempo sempre diverso.

Anche per le rendite, così come nel caso dei singoli capitali, sorge il problema della valutazione. Il primo problema che dobbiamo affrontare è: quale epoca di valutazione dobbiamo prendere in considerazione?

Si possono distinguere tre casi a seconda dell’epoca in cui viene fatta la valutazione:

1.     valutazione della rendita ad un’epoca anteriore a tutte le scadenze o coincidente con la scadenza della prima rata;

2.     valutazione della rendita ad un’epoca posteriore a tutte le scadenze o coincidente con la scadenza dell’ultima rata;

3.     valutazione della rendita ad un’epoca compresa tra la scadenza della prima rata e quella dell’ultima.

nel primo caso, ciascuna rata deve essere trasferita indietro nel tempo e quindi di ciascuna deve essere calcolato il valore attuale (nel caso in cui si trasferisca fino al tempo zero) o il valore scontato (nel caso in cui venga trasferita indietro ad un tempo diverso dallo zero). Quindi per ottenere il valore della rendita bisogna fare la somma dei valori attuali o dei valori scontati.

Nel secondo caso, ciascuna rata deve essere trasferita avanti nel tempo e quindi di ciascuna bisogna calcolare il montante. Per ottenere il valore della rendita si deve fare la somma dei montanti.

Nel terzo caso, le rate che scadono prima dell’epoca di valutazione devono essere portate avanti nel tempo e quindi è necessario calcolare dei montanti; le rate che scadono dopo l’epoca di valutazione devono invece essere portate indietro nel tempo e si rende in questo caso il calcolo di valori scontati. Il valore della rendita sarà quindi dato dalla somma dei montanti e dei valori scontati ottenuti.

Per calcolare il valore delle rendite, in tutti e tre i casi esaminati, si utilizzano i regimi finanziari dell’interesse e dello sconto: interesse semplice ed interesse composto e sconto composto, sconto commerciale e sconto semplice.

La determinazione del valore di una rendita a una data epoca si riduce al calcolo di una somma di montanti, o di valori scontati, oppure di montanti e valori scontati al tempo stesso. Nell’eseguire queste somme non è possibile operare nessuna semplificazione fino a che le rate e le scadenze non presentino una certa regolarità (che può riguardare le rate o le scadenze, o le rate e le scadenze al tempo stesso). Le semplificazioni possibili portano alla costruzione di formule il cui uso si dimostra particolarmente utile.

Montante di rendite annue

Sono annue quelle rendite le cui rate scadono annualmente.

Si indica con         R   l’importo di ciascuna rata    e    n  il numero delle rate.

Rendita posticipata

Consideriamo la rendita schematica rappresentata dal diagramma della figura seguente.

0         1         2          3         4                                                   n-1        n


           R          R         R          R                                                    R         R

                                                                                    

                                                                                                                         M

Vogliamo calcolare il montante in n, cioè all’atto in cui scade l’ultima rata: rendita posticipata. Se il montante della rendita viene calcolato all’atto in cui scade l’ultima rata, la rendita si dice posticipata. Il montante sarà dato dalla somma di tutti i montanti. Sommiamo i montanti iniziando a calcolarli dal tempo n:

M = R + R (1 + i) + R (1 + i)2 + R(1 + i)3 + … + R(1 + i)n-1

Mettendo R in evidenza:

M = R [ 1+ (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)n-1]

A questo punto bisogna calcolare la somma che figura all’interno delle parentesi quadre. Tale somma rappresenta una progressione geometrica che ha come primo termine 1 e come costante (1 + i). Si ottiene:

1+ (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)n-1 = 1  (1 + i)n – 1 = (1 + i)n – 1

                                                                           (1 + i) – 1             i

In definitiva, si trova:      M = R (1 + i)n – 1

                                                        i

di solito si pone    (1 + i)n – 1  =  Sni

                                   i



il simbolo Sni si legge: S posticipato, figurato n, al tasso i.

Una rendita annua è costituita da 12 rate (annue), ciascuna di € 1800. si vuole determinare il montante, al tasso del 7,15%, all’atto in cui scade l’ultima rata.

R = 1800     n = 12         i = 0,0715

Quindi:

M = 1800  S120,0715                 M = 1800 1,071512 – 1

                                                                  0,0715

M = 1800   18,04713 = 32484,90

 


Ponendo R = 1, si ha M = Sni. Si deduce, quindi, che Sni è il montante di una rendita annua posticipata, costituita da n rate, ciascuna di un euro.

Il simbolo Sni è definito per valori interi di n. Una rendita non può avere che un numero intero di rate.

Fermo restando il valore di n il valore di Sni cresce al crescere del tasso i.

Per i = 0 si ha Sn0 = n.

 

Montante calcolato k anni dopo la scadenza dell’ultima rata

Accade spesso che di una rendita annua, costituita da n rate, occorra calcolare il montante k anni dopo la scadenza dell’ultima rata. A questo proposito possiamo esaminare il diagramma seguente:

0         1         2          3         4                                                   n-1        n           n + k


                    R          R          R         R                                                    R         R             M

In questo caso si ha:

M = R  Sni (1 + i)k

Una rendita annua è costituta da 9 rate (annue), ciascuna di € 2000. si vuole determinare il montante, 5 anni dopo la scadenza dell’ultima rata, al tasso del 7,5%.

R = 2000              n = 9           i = 0,075     k = 5

Quindi:                 M = 2000  S90,075 (1 + 0,075)5 =

2000 1,0759 – 1  (1 + 0,075)5 =    35115,14

           0,075

 


 

Valore attuale di rendite annue immediate e temporanee

Nella determinazione del valore attuale di una rendita occorre distinguere a seconda che si tratti di rendite immediate oppure differite, di rendite temporanee oppure illimitate. Stando a ciò si distinguono i casi:

1.     rendite immediate temporanee;

2.     rendite differite temporanee

3.     rendite immediate illimitate

4.     rendite differite illimitate.

Quando si dice rendita immediata, l’immediatezza può essere intesa in un duplice significato:

La rendita è immediata nel senso che la prima rata scade tra un anno. In questo caso il valore attuale, che è calcolato in zero, viene calcolato un anno prima della scadenza della prima rata. La rendita si dice immediata e posticipata.

La rendita è immediata nel senso che la prima rata scade in zero. In questo caso il valore attuale, che è calcolato in zero, viene calcolato in zero, viene calcolato all’atto in cui scade la prima rata. La rendita si dice immediata e anticipata.




 


Valore attuale di una rendita temporanea posticipata

Consideriamo la rendita schematicamente rappresentata come segue

0         1         2          3         4                                                   n-1        n


         A         R         R          R         R                                                    R        R

La rendita è immediata, nel senso che la prima rata scade dopo un anno. Volendo calcolare il valore attuale un anno prima della scadenza della prima rata si ha una rendita immediata posticipata.

V = R (1 + i)-1 + R (1 + i)-2 + R(1 + i)-3 + … + R(1 + i)-(n-1) + R(1 + i)-n

V = R [(1 + i)-1 + (1 + i)-2 + R(1 + i)-3 + … + R(1 + i)-(n-1) + (1 + i)-n]

A questo punto si tratta di calcolare la somma dentro parentesi quadre. Siamo in presenza della somma di n termini variabili in progressione geometrica di primo termine uguale a (1 + i)-1  e costante anch’essa uguale a (1 + i)-1. Quindi, si ha:

(1 + i)-1 + (1 + i)-2 + R(1 + i)-3 + … + R(1 + i)-(n-1) + (1 + i)-n =

       (1 + i)-1    1 - (1 + i)-n         =       1         -       (1 + i)-n     =

                       1 - (1 + i)-1                    (1 + i)-1 [1 -  (1 + i)-1]

 

1  -   (1 + i)-n     = 1  -   (1 + i)-n     

                      1 + i – 1                     i

In definitiva, si ottiene:

V = 1  -   (1 + i)-n     

                                  i

Di solito, si pone:

1  -   (1 + i)-n     = a ni

                             i

e quindi si scrive: V = R  a ni

Il simbolo a ni si legge a posticipato, figurato n al tasso i.

Una rendita annua è costituita da 11 rate (annue), ciascuna di € 2300. Si vuole determinare il valore attuale, al tasso del 7%, un anno prima della scadenza della prima rata (rendita posticipata).

R = 2300              n = 11                  i = 0,07      

Quindi:                 A = 2300  a110,07  =

2300 1 - 1,07-11  = 17247,03

           0,07

 


Ponendo R = 1, si ha  V = ani. Si deduce, quindi, che ani è il valore attuale di una rendita annua posticipata, costituita da n rate, ciascuna di un euro.

Il simbolo ani è definito per valori interi di n. Una rendita non può avere che un numero intero di rate.

Fermo restando il valore di n il valore di Sni decresce al crescere del tasso i. Più il tasso cresce più il valore attuale si avvicina a zero.

Per i = 0 si ha an0 = n.







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