Matematica finanziaria - Dispensa n° 6

Si fa distinzione tra piani di risparmio generici e piani di risparmio finalizzati:

• Un piano di risparmio è generico quando non è pensato in funzione del raggiungimento di un obiettivo specifico;
• Un piano di risparmio è finalizzato quando è pensato in funzione del raggiungimento di un obiettivo specifico. L’obiettivo può avere natura diversa (acquisto di un immobile o di un auto, ecc.). in questo caso vengono fissate a priori la data in cui si vuole, presumibilmente, raggiungere l’obiettivo e la somma di cui si vorrà disporre.

Vogliamo disporre tra un certo numero di anni (n) di una determinata somma (S) che intendiamo costituire effettuando n versamenti annui posticipati, ciascuno di importo R. In questo caso la somma da versare annualmente deve essere tale che il montante, calcolato all’atto dell’ultimo versamento e al tasso  i, della rendita costituita dagli n versamenti, ciascuno di importo R, sia uguale alla somma S. Deve essere:

S = R S_n┐_i

Quindi si ha:

R =    S

S_n┐_i

Cioè

R =   S

(1 + i)ⁿ – 1

i

di solito di pone:

R = S   i

(1 + i)ⁿ – 1

i 1 1 viene indicato con s_n┐_i

(1 + i)ⁿ – 1 S_n┐_i S_n┐_i

Il simbolo   s_n┐_i si legge sigma posticipato, figurato n al tasso i.

s_n┐_i è il reciproco di S_n┐_i

Posto S = 1 allora R = s_n┐_i

Da questo si de 242e48c duce che:

• s_n┐_i rappresenta la rata costante da versare annualmente, per n anni, posticipatamente, per costituire, al tasso i, la somma di un euro all’atto dell’ultimo versamento.

Tenendo presente che s_n┐_i è il reciproco di S_n┐_i si deduce che:

• al tasso zero si ha s_n = 1

S_n┐₀

• il valore di s_n┐_i    decresce al crescere del tasso di interesse tendendo ad avvicinarsi allo zero

	Tizio vuol disporre fra 5 anni della somma di € 3000 e a tale scopo decide di effettuare 5 versamenti annui posticipati, tutti di uguale importo: tasso 5,25% annuo In questo caso: S = 3000 n = 5 i = 0,0525 Quindi: R = 3000 s R = 3000 0,0525 = 1,05255- 1 R = 3000 0,18007332 = 540,22

Per fondo di costituzione ad una data epoca si intende il montante delle rate versate fino a quell’epoca. In particolare:

1. se si vuole sapere il valore del fondo ad una particolare data (k), in cui k è un numero intero di anni, basta calcolare il montante delle rate versate fino all’epoca k. Quindi si ottiene:

F_k = R S_k┐_i = S s_n┐_i S_k┐_i

Riprendiamo l’esempio precedente. Calcoliamo il valore del fondo di costituzione alla fine del terzo anno. Calcoliamo il montante dei versamenti fatti vino alla fine del terzo anno, calcolato all’atto del terzo versamento. Quindi: F3 S3┐0,0525 ) 1,05253 – 1 = 1707,23 0

2. se si vuole calcolare il valore del fondo ad una data costituita da k+f, ovvero una data formata da anni , mesi e giorni, si ottiene:

F_{k + f  =} F_k (1 + i)^f

Riprendiamo l’esempio precedente. Calcoliamo il valore del fondo di costituzione dopo tre anni e sette mesi. Calcoliamo il montante dei versamenti fatti vino all’atto del terzo versamento e portando avanti il valore del fondo per altri sette mesi. Quindi: F3 (1 + i)7/12 = 1,05257/12=

A volte si rende necessario redigere un piano di costituzione. Si tratta di un prospetto che serve ad evidenziare il modo in cui l’operazione di costituzione si svolge nel tempo.

	Con riferimento allo stesso esempio il piano di costituzione si presenta come nella tabella seguente. Anni k Fondo in k Fk Interesse Fk  i Rata in k + 1 Fondo in k + 1

Spesso la costituzione di un capitale avviene mediante rate semestrali, quadrimestrali e così via, in tal caso si parla di costituzione frazionata di frequenza m per indicare che la costituzione avviene mediante versamento di m rate all’anno, una per ogni 1/m di anno. La determinazione della rata, del fondo e la redazione del piano di costituzione non presentano alcuna difficoltà.

Tizio vuol costituire la somma di € 10000 mediante versamento di 32 rate mensili posticipate. Determiniamo la rata nelle ipotesi di tasso annuo convertibile mensilmente del 9% e di tasso annuo (non convertibile) del 10%. nel caso di tasso annuo convertibile mensilmente del 9% ricaviamo, prima di tutto, il tasso mensile. Otteniamo: i12 quindi si trova: R = 10000 s R = 10000 0,0075 = 277,66 1,007532- 1 nel caso di tasso annuo non convertibile del 10% ricaviamo prima il tasso mensile equivalente. Otteniamo: i12 quindi si trova: R = 10000 s R = 10000 0,00797 = 275,58 1,0079732- 1

Dato che l’operazione di costituzione di un capitale è, generalmente, di lunga durata può accadere che nel corso del suo svolgimento si renda necessario effettuare qualche modifica al piano formulato originariamente. Ciò può accadere:

1. perché occorre modificare la somma inizialmente stabilita. Tale necessità può verificarsi in relazione ad un cambiamento delle esigenze di vita della persona che effettua la costituzione oppure in relazione a sopravvenute perdite nel potere d’acquisto della moneta. In questo caso la somma inizialmente stabilita non sarebbe più sufficiente a raggiungere l’obiettivo inizialmente previsto.

Si vuole costituire la somma di € 10000 mediante 20 versamenti annui posticipati, al tasso annuo del 6%. Subito dopo il versamento dell’ottava rata si decide di aumentare la somma da costituire a € 12000. In questo caso la rata che si paga all’origine è: R = 10000 s R = 10000 0,06 = 271,80 1,0620- 1 dopo il versamento dell’ottava rata, in conseguenza della modifica che aumenta la somma da costituire, occorre modificare la rata e per determinare la nuova rata conviene procedere come segue: per effetto delle 8 rate già versate si dispone, all’atto in cui si decide la modifica, di un somma pari a F8 F8 = 271,80 S8┐0,06 = 271,80 1,068 - 1 = 2690,13 0,06 il fondo calcolato resta impiegato al tasso del 6% per altri 12 anni. Questo significa che la somma di cui si disporrà in 20 per effetto del fondo già accumulato in 8 è: F8 1,0612 = 2690,13 1,0612 = 5413,07 la somma da costituire nei restanti 12 anni è: sapendo che questa somma deve essere costituta mediante 12 versamenti si conclude che la rata da versare è: R’ = 6586,93 s = 6586,93 0,06 = 390,45 1,0612 - 1

2. per intervenute variazioni di tasso

Si vuole costituire la somma di € 10000 effettuando 20 versamenti annui posticipati, al tasso annuo del 6%. Subito dopo il versamento dell’ottava rata il tasso viene aumentato al 6,5%. La rata originaria del piano è: R = 10000 s R = 10000 0,06 = 271,80 1,0620- 1 poiché, subito dopo il versamento dell’ottava rata, il tasso viene aumentato occorre determinare il fondo costituito in 8 F8 = 271,80 S8┐0,06 = 271,80 1,068 - 1 = 2690,13 0,06 la somma così accantonata frutterà interessi al nuovo tasso del 6,5% fino al tempo 20. la somma di cui si disporrà in 20 per effetto dei versamenti fatti fino a 8 è: F8 1,06512 = 2690,13 1,06512 = 5727,52 La somma che resta da costituire mediante i restanti 12 versamenti è: la rata da versare per i successivi 12 anni è: R’ = 4272,52 s ┐0,065 = 4272,52 0,065 = 245,96 1,06512 - 1

3. perché si rende necessario modificare la durata. Occorre aumentare o diminuire la rata.

Tre anni fa Tizio ha deciso di costituire la somma di € 6000 con versamento di 9 rate annue posticipate; tasso annuo del 7%. Subito dopo il versamento della terza rata decide di portare a termine la costituzione con successivi 4 versamenti in sostituzione dei 6 previsti inizialmente. La rata originaria di costituzione è: R = 6000 s R = 6000 0,07 = 500,92 1,079- 1 il fondo costituito dopo il versamento della terza rata è: F3 = 500,92 S3┐0,07 = 500,92 1,073 - 1 = 1610,41 0,07 considerando che la costituzione va completata al tempo 7 anziché al tempo 9 si ha che la somma disponibile per effetto della capitalizzazione del fondo costituito in 3 per altri 4 anni è: F3 1,074 = 1610,41 1,074 = 2110,92 La somma che resta da costituire è:  la rata da versare per i successivi 4anni è: R’ = 3889,08 s ┐0,07 = 3889,08 0,07 = 875,93 1,074 - 1