Matematica - Preparazione al compito per l'orale

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Funzioni

Matematica - Preparazione al compito per l'orale:

1 - Funzioni esponenziale e logaritmica con relativi grafici e proprietà

2 - Funzioni in R

1.1) 626c28g 626c28g Funzione esponenziale

BASE MAGGIORE DI 1 BASE COMPRESA FRA 0 E 1

CARATTERISTICHE.

· 626c28g Assume solo valori positivi

· 626c28g Passa per P(0,1)

· 626c28g Ha come asintoto l'asse delle x

· 626c28g a>1 è crescente

· 626c28g 0<a<1 è decrescente

· 626c28g Dominio: R

· 626c28g Codominio: R⁺

Quando una funzione è espressa mediante un numero elevato all'esponente la funzione è detta funzione esponenziale , ha come base un numero e come esponente la variabile indipendente espressa da un numero reale (R).

La funzione esponenziale è sempre positiva e viene definita solo se la base è ≠0 o >0

Se la base è >1:

1. 626c28g la funzione è crescente all'aumentare delle x aumentano le y;

2. 626c28g D: ]-∞;+∞[

3. 626c28g la funzione passa per il punto 0;1

4. 626c28g quando la x tende ad assumere valori verso +∞ anche la y tende ad assumere valori verso +∞

Se la base è compresa tra 0;1

1. 626c28g la funzione è decrescente,

2. 626c28g D: ]-∞;+∞[ ,

3. 626c28g quando la x tende ad assumere valori verso +∞, la y assume valori che i avvicinano allo 0 senza mai raggiungerlo

4. 626c28g quando la x tende ad assumere valori verso -∞, la y assume valori verso +∞

Quando abbiamo una funzione esponenziale che ha l'esponente con una funzione algebrica, per ottenere il dominio D si applica alla funzione algebrica le regole delle funzioni razionali o irrazionali, intere o fratte.

La funzione esponenziale con 0<a<1 e quella con a>1 sono simmetriche rispetto all'asse y. È monotona, biiettiva e invertibile in R (la sua inversa è proprio la funzione logaritmica).

1.2) Funzione logaritmica

BASE MAGGIORE DI 1 BASE COMPRESA FRA 0 E 1

CARATTERISTICHE

· 626c28g Passa per P(1,0)

· 626c28g Ha come asintoto l'asse y

· 626c28g È decrescente

· 626c28g Dominio: R⁺

· 626c28g Codominio: R

Dati due numeri positivi a e b con a≠1, si chiama logaritmo in base a del numero b l'esponente da dare ad a per ottenere b.

PROPRIETA' DEI LOGARITMI

1. 626c28g Log _a b * c = Log _a b + Log _a c

Il logaritmo di un prodotto è = alla somma dei logaritmi dei singoli fattori

Log _a b/c = Log _a b - Log _a c

Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza del logaritmo del numeratore e del logaritmo del denominatore

Log _a b^c = c * Log _a b

Log _a ⁿ √ b ^m = m/n * Log _a b

Il logaritmo di un elevamento a potenza (o radice) è uguale all'esponente moltiplicato per il logaritmo

Log _a b = Log ₁₀ b / Log ₁₀ a

Proprietà del cambiamento di base

La funzione logaritmica con 0<a<1 e quella con a>1 sono simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

2.1) Gli intervalli limitati

Definizione

Dati due numeri reali a e b, con a<b, si dice:

- Intervallo aperto: l'insieme di tutti i numeri reali tali che a<x<b e si indica con (a,b) o ]a,b[.

- Intervallo chiuso: l'insieme di tutti i numeri reali tali che a≤x≤b e si indica con [a,b].

- Intervallo aperto a destra: l'insieme di tutti i numeri reali tali che a<x ≤ b e si indica con [a,b).

- Intervallo aperto a sinistra l'insieme di tutti i numeri reali tali che a ≤ x < b e si indica con (a,b].

2.2) Gli intervalli illimitati

Definizione

- Un intervallo si dice illimitato superiormente quando e si indica con (a,+∞) o [a, +∞)

- Un intervallo si dice illimitato inferiormente quando e si indica con (a,-∞) o (a, -∞]

2.3) Gli intorni

Definizione

- Intorno completo: un qualsiasi intervallo aperto che contenga il numero c.

- Intorno destro: un qualsiasi intervallo aperto a destra che abbia come estremo sinistro il numero c.

- Intorno sinistro: un qualsiasi intervallo aperto a sinistra che abbia come estremo destro il numero c.

Proprietà

- L'intersezione di due o più intorni di c è ancora un intorno.

- Per ogni coppia di punti distinti a e b R esistono un intorno di a e uno di b disgiunti.

- Un insieme E è limitato superiormente quando esiste un numero reale b che risulta ≥ ad ogni numero di E

- Un insieme E è limitato inferiormente quando esiste un numero reale a che risulta ≤ ad ogni numero di E.

2.4) Relazione fra punto e insieme

Definizione

Un punto si dice:

- Interno all'insieme E: se esiste un intorno di c interamente costituito da punti che appartengono ad E.

- Esterno all'insieme E: se esiste un intorno di c che non contenga alcun punto di E, cioè sia costituito solo da punti appartenenti al complementare di E.

- Di frontiera per E: se non è né interno né esterno ad E, ovvero se in un qualsiasi intorno di c cadono almeno un punto di E, e almeno un punto del complementare di E.

- Di accumulazione per E: se in ogni intorno di c cadono infiniti punti di E;

- Isolato per E: se esiste un intorno di c nel quale l'unico punto di E è c.

2.5) Estremi

Definizione

Un numero s si dice estremo superiore di un insieme non vuoto E se:

- Ogni numero di E non supera s;

- Comunque si fissi ε>0, esiste in E almeno un numero maggiore di s - ε.

Un numero i si dice estremo superiore di un insieme non vuoto E se:

- Ogni numero di E è ≥ i;

- Comunque si fissi ε>0, esiste in E almeno un numero maggiore di i + ε.

2.6) Funzioni

Definizione

Dati due insiemi non vuoti A e B si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.

Proprietà

- Una funzione si dice costante se l'insieme A contiene un solo numero

- Una funzione si dice identità quando associa ad ogni elemento di A l'elemento stesso.

- Due funzioni sono uguali se hanno dominio, codominio e legge uguali.

- Una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.

- Una funzione si dice iniettiva quando fa corrispondere ad elementi distinti di A elementi distinti di B.

- Una funzione si dice biiettiva o corrispondenza biunivoca quando esiste una legge che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B e viceversa.

2.7) Grafici delle funzioni

Definizione

Si chiama grafico di una funzione f di A in B l'insieme G di tutte le coppie ordinate (x,y) che si ottengono prendendo un valore di per in A e trovando il corrispondente y = f(x) in B.

2.8) Tipi di funzione

Definizione

Una funzione f: A→R si dice:

- Pari se risulta f (-x) =f (x)

- Dispari se risulta f (-x) = - f(x)

Monotona:

Definizione:

Sia f(x) una funzione reale della variabile reale x, definita nell'insieme A, e A contenga almeno due punti. Quando per ogni coppia di punti x1 e x2 di A risulta:

- x1 < x2 f(x1)<f(x2) la funzione si dice crescente in A

- x1 < x2 f(x1)>f(x2) la funzione si dice decrescente in A

- x1 < x2 f(x1)≤ f(x2) la funzione si dice non decrescente in A (crescente e costante)

- x1 < x2 f(x1)≥ f(x2) la funzione si dice non crescente in A (decrescente e costante)

Periodica:

Definizione

Una funzione si dice periodica di periodo T≠0 se xA, xA (x+T) A e f(x+T) =f(x)

Composta:

Definizione

Date le funzioni g: A→B ed f: C→D con z = g(x), y = f(x) e g(A)C, si chiama funzione composta di g ed f (nell'ordine) la funzione h: A→C tale che h(x) = f (x) g(x) A.