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La Logica - Il linguaggio degli enunciati

matematica


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                                                                              La Logica

La logica studia i ragionamenti corretti per partire da alcune ipotesi ed arrivare a determinate conclusioni.

La matematica si interezza della parte formale della logica, cioè non della semantica, bensì della sintassi.

Si ha innanzitutto bisogno di un alfabeto A che racchiuda tutti i simboli utilizzabili. A partire da questo alfabeto si possono creare numerose stringhe (o parole), di diverse lunghezze; queste stringhe sono le combinazioni dei vari simboli dell'alfabeto A. L'insieme delle stringhe possibili da formare viene chiamato A*.

Ma non tutte le stringhe che si possono formare con quell'alfabeto sono formalmente accettabili, dunque c'è bisogno di scindere le formule ben formate (fbf), che sono quelle che si possono tenere presenti per dei ragionamenti.

Ma le formule ben formate non sono tutta la logica, sono infatti solo un'informazione preliminare, un punto di partenza.

Infatti per produrre un sistema formale abbiamo bisogno di determinati elementi:

·         L'insieme alfabeto A.



·         L'insieme L delle fbf  che appartengono a A (linguaggio formale)

·         L'insieme F degli assiomi

·         L'insieme delle regole d'inferenza R

Gli assiomi sono delle formule ben formate che potremmo chiamare "formule di partenza", da cui poter avviare il lavoro della deduzione; le regole d'inferenza sono invece quelle regole date attraverso le quali si può ricavare una struttura attraverso un'altra, seguendo, appunto, quelle regole. Le regole d'inferenza servono per formare catene di formule ben formate.

                                                               Il linguaggio degli enunciati

Chiamiamo proposizione, o enunciato, ogni formula ben formata alla quale è possibile dare un valore di verità (vero o falso). Ogni proposizione può essere formata da una o più enunciati. Può essere dunque formata da altre proposizioni più semplici correlate tra di loro attraverso dei connettivi, ognuno caratterizzato attraverso la sua "tavola di verità".

·         Negazione: viene indi 535c24f cata con il simbolo ¬, che equivale a dire "Non", quindi se diciamo ¬A, è equivalente a dire l'opposto di A.

·         Congiunzione: equivale a "e", e si indica con Ù . Questo simbolo congiunge due proposizioni per ottenerne una terza., che è vera solo se sono entrambe vere.

·         Disgiunzione: equivale a "o", e si indica con Ú  e, come la congiunzione, unisce due proposizioni per ottenerne una terza, che è falsa solo se sono entrambe false.

Negazione:

                                               A

                                         ¬ A

                                               V

                                           F

                                               F

                                           V

Congiunzione:

A

B

A ÙB

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Disgiunzione:

A

B

A Ú  B

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F



C'è anche un altro connettivo, ed è l'implicazione. Un elemento (A) implica un altro elemento (B) quando dall'uno si può arrivare all'altro, quindi A => B.

A

B

A Ù B

 A => B

V

V

V

V

V

F

F

F

F

V

F

V

F

F

F

V

La proposizione A => B è falsa solo nel caso in cui la premessa è vera e la conseguenza falsa.

C'è anche la doppia implicazione, che si ha quando l'implicazione è reciproca, ovvero "A implica B e B implica A" e si indica con A<=>B. Essa è vera nel caso in cui congiunge due proposizioni vere o quando sono entrambe false.

A

B

A<=>B

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Utilizzando dunque le lettere enunciative, i connettivi e le parentesi, si possono costruire formule ben formate, cioè gli elementi per il linguaggio degli enunciati.

Gli elementi del linguaggio sono quindi detti "forme enunciative".

Conoscendo la verità delle proposizioni elementari che costituiscono gli enunciati, è sempre possibile stabilirne la verità.

Se una proposizione si presenta sempre vera, indipendentemente dai valori di verità delle lettere enunciative che vi compaiono, essa è detta tautologia; mentre, al contrario, se è sempre falsa, si chiama contraddizione.

Alcuni esempi di tautologie sono che:

·         ¬¬A è logicamente equivalente ad A, poiché in matematica due negazioni affermano.

·         ¬(A o B) è logicamente equivalente a ¬A o ¬B, così come è uguale con la congiunzione.

Il linguaggio dei predicati

Nel linguaggio degli enunciati non ci sono variabili, poiché alla presenza di variabili non si può dare un valore di verità!

Nei predicati, invece, possono essere presenti le variabili x,y o qualsivoglia altra, ma soprattutto è importante riuscire a vedere ogni singola proposizione elementare non solo come un "atomo" che compone quella più complessa, ma i rapporti che essa ha all'interno di tutta la stringa.

Dunque da qui parte il sillogismo: il sillogismo è formato, di solito, da due o più premesse ed una conseguenza

Come già detto, ad una scrittura che contiene variabili no è possibile dare un valore di verità, ma se dovessimo farle diventare proposizioni si potrebbe:

·         sostituire i valori costanti alle variabili

quantificare le variabili.

Ci sono due tipi di quantificatori: il quantificatore universale (che indica "per ogni", " ), ed il quantificatore esistenziale (che indica "esiste" $  ).

                                               Le inferenze nella logica dei predicati

Il linguaggio dei predicati è decisamente più complesso di quello degli enunciati, e se prima, tenendo in considerazione gli elementi costitutivi del sistema formale, ci si era soffermati più sui primi due aspetti (alfabeto e fbf), ora invece si presta più attenzione ai secondi due elementi, che sono gli assiomi e le regole di inferenza.




                Gli assiomi possono essere scelti sia come verità evidenti, cioè scelti avendo già in mente la teoria che si vuole costruire formalmente, oppure si può costruire un sistema del tutto formale senza porsi il problema del significato della teoria che si sta costruendo.

Comunque, per formulare degli assiomi, ci sono sempre delle regole, infatti il sistema formale deve essere consistente, e gli assiomi non devono essere, per esempio, in antitesi tra di loro, altrimenti, se si afferma una cosa ed il suo contrario, si afferma anche tutto il resto.

Oltretutto, gli assiomi devono essere indipendenti tra di loro, cioè che non siano ricavabili l'uno dall'altro.

Dagli assiomi, attraverso delle regole di inferenza è possibile ricavare dei teoremi. Le regole di inferenza hanno due caratteristiche essenziali: permettono di produrre formule che sono anch'esse formule ben formate, e secondo poi permettono di formare delle tautologie se le premesse stesse sono delle tautologie.

Alcune regole di inferenza sono:

·         il modus ponens (mp)

F1=>F2

F1

----------

F2

·         il modus tollens (mt)

F1=>F2

¬F2

----------

¬F1

da un'implicazione e dalla negazione della sua conseguenza, si può inferire la negazione della premessa dell'implicazione.

·         Introduzione della congiunzione

F1

F2

---------

F1 e F2

                                                               L'assetto formale di una

                                           teoria matematica

Ogni parte della matematica usa come metodo l'astrazione, cioè si cerca un modo per scrivere delle cose che siano valide generalmente, non solo nel singolo caso.

La matematica qui pone in termini "generali" cose che possono essere applicate dunque a dei casi specifici, come ad esempio,

 2+1=1+2

è uguale a dire

a+b=b+a.

quindi con una sola scrittura si può esprimere qualcosa che è valido in infiniti casi.

La matematica utilizza anche molti simboli.

La matematica utilizza un processo ipotetico-deduttivo, cioè deduce a partire da ipotesi.

La matematica si compone anche di diverse teorie: ogni teoria si esprime con il linguaggio delgi insiemi e della logica e prende il via dagli assiomi. A partire da essi, attraverso le regole d'inferenza si ricavano i teoremi.

·         Ogni assioma deve essere una formula ben formata

·         Gli assiomi non devono essere contraddittori tra di loro

·         Devono essere indipendenti tra di loro, o il minor numero possibile.

Il principio di induzione

Deduzione: dal generale al particolare

Induzione: dal particolare al generale.

Siccome la matematica si propone, appunto, di trovare delle singole strutture che valgano per numerosi casi, allora si usa il metodo dell'induzione per molte cose.

Per esempio, se "l'oggetto A cade verso il basso, l'oggetto B cade verso il basso, e l'oggetto C cade verso il basso", noi possiamo dire che "tutti gli oggetti cadono verso il basso.

·         Si deduce una proposizione quando essa è ricavata da proposizioni più generali

·         Si induce una proposizione quando essa è ricavata da più proposizioni particolari.

Principio di induzione matematica:

Una proposizione è vera per ogni numero naturale n ≥n0 se:

base dell'induzione: la proposizione è vera per un valore iniziale n0;

si può dimostrare che, qualunque sia  k≥n0, se la proposizione è vera per n≥k, allora è vera per n=k+1

                              

                                   La centralità dell'aritmetica nella

                                               Matematica

I numeri naturali vengono definiti attraverso diversi assiomi che sono quelli di Peano; questi assiomi sono cinque:

·         0 è un numero naturale

·         se n è un numero naturale, lo è anche il suo successivo n+1

·         due numeri naturali diversi hanno i successivi diversi

·         ogni numero naturale tranne 0 è il successivo di un altro numero naturale

·         principio d'induzione: se una proposizione è vera per k, allora lo sarà anche per il successivo.

La centralità dell'aritmetica nella

                        Logica

Gödel inventò una funzione per la quale ogni segno diventava un numero aritmetico e così, tramite il "numero di Gödel, ogni asserzione logica può essere scritta come numero naturale.

Ad ogni simbolo dell'alfabeto matematico che si vuole usare corrisponde un numero naturale dispari. Ad ogni formula corrisponde un numero naturale PARI, ma scomposto in fattori primi ha ogni fattore con esponente dispari.

Di conseguenza, il numero di Gödel per una sequenza di formule è un numero pari che, scomposto in fattori primi, ha tutti esponenti pari.

Così aritmetica e linguaggio formale possono corrispondere.

                                                               L'aritmetica come esempio di

                                               Teoria formale

Se tutti gli insiemi numerici sono costruiti a partire dall'insieme N, e se ogni espressione formale può essere riscritta in numero naturale, possiamo allora costruire un sistema formale per l'aritmetica, a partire dai suoi assiomi.

Agli assiomi di Peano ne aggiungiamo quindi degli altri, che sono, tutti insieme, gli Assiomi dell'aritmetica.

A1: "x"y"x(x=y)Þ((x=z)Þ(y=z))

A2: "x"y (x=y) Þ (x¢=y¢)



                Da questi primi due assiomi ricaviamo i teoremi dell'uguaglianza, simmetria e transitività.

A3: "x"y (x¢=y¢)Þ (x=y)

A4: "xØ (0=x¢)

                Questi due assiomi corrispondono agli assiomi 3 e 4 di Peano per i numeri naturali

A5: "x (x+0=x)

A6: "x"y (x+y¢ = (x+y)¢)

A7: "x (x*0=0)

A8: "x"y (x*y¢= (x*y) +x)

                 Questi quattro assiomi definiscono le proprietà dell'addizione e della moltiplicazione.

A9: Per ogni fbf A(x) che contiene il termine x :

       A(0)Þ ("x (A(x) Þ A(x¢)) Þ "x A(x))

Questi sono gli assiomi dell'atirmetica e possono essere sommati a quelli del linguaggio degli enunciati e dei predicati e a tutti i teoremi e tautologie che è possibile dimostrare.

Con gli assiomi logici, gli assiomi dell'aritmetica e le regole di inferenza è possibile dimostrare tutti i problemi dell'aritmetica.

                                               L'antinomia di Russell e la crisi dei

                                               Fondamenti

L'antinomia è una proposizione che è contraddittoria in sé, come ad esempio il paradosso del mentitore :

                                               "io mento"

Se questa frase fosse vera, allora egli starebbe dicendo la verità e quindi, per quel ce afferma, sarebbe falsa.

Se invece non stesse mentendo, e dicesse il falso, sarebbe vera.

                Gli insiemi possono essere divisi in due categorie: quelli che comprendono sé stessi al loro interno e quelli che non si appartengono.

 Quindi, indichiamo con k l'insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi. Possiamo scrivere:

                K=

Ma allora, K appartiene o no a se stesso?

Se K appartiene a sé stesso, allora non fa parte del suo stesso insieme quindi,

                KÎK Þ KÏK

Se invece K non appartiene a se stesso, allora, ha la proprietà di avere sé stesso tra i suoi elementi:

                K Ï K Þ K Î K

Un elemento comune a tutte le antinomie è l'autoreferenzialità, cioè il fatto di poter affermare in una teoria qualcosa intorno alla teoria stessa.

Le antinomie ci fanno vedere quanta cautela occurra per poter formare un linguaggio, per poter formulare dei giudizi autoreferenziali e e per definire concetti astratti: dunque esse mostrano i limiti dell'astrazione e della formalizzazione e della loro capacità di descrivere la realtà.

                                                               Il teorema di Gödel

Teorema di completezza:

a)       una formula è vera in quanto risulta vera qualunque si il valore di verità delle proposizioni che la conpongono.

b)       Una formula è vera poiché è dimostrata a partire da degli assiomi con determinate regole di inferenza.

Secondo il teorema di completezza per il calcolo dei predicati, una proposizione vera implica il fatto che sia dimostrabile,  ed una proposizione dimostrabile implica il fatto che sia vera. (formalmente: Vero Û dimostrabile)

                Ma solo un anno dopo, Gödel dimostrò che la matematica non è in grado di di dimostrare la propria contraddittorietà, infatti una sola teoria non può comprenderle tutte e quindi, se un sistema di assiomi dell'aritmetica elementare è consistente, ciò significa che non è completo.

Infatti, se abbiamo un sistema di assiomi nel quale non ci sono contraddizioni, ciò non vuol dire che in esso si possano dimostrare tutte le proposizioni vere dell'aritmetica. Ci sono infatti delle proposizioni indecidibili, che non possono cioè essere considerate né vere né false.

L'aritmetica non può dimostrare la sua consistenza da sola e con i soli propri mezzi perché essa è alla base dell'intero processo costruttivo della matematica! Quindi c'è un limite a tale formalizzazione senza ricorrere a livelli superiori.

Per dimostrare la coerenza di qualunque linguaggio matematico o sistema formale si ha bisogno di un "metalinguaggio", cioè un linguaggio che utilizzi strutture più complesse del sistema stesso.

                              

                                               Il sistema assiomatico di Euclide

La geometria fu la prima scienza ad avere un impianto deduttivo; Euclide, nella sua opera "elementi", crea un notevole risultato partendo da pochi elementi.

Ciò su cui Euclide si basa per poi trarre tutti i teoremi della geometria piana possono essere divisi in tre gruppi:

a)       Termini: quelli che danno l'idea di ciò che si sta rappresentando (linea retta, punto, angolo). i termini sono definizioni descrittive di oggetti che possono comunque essere rappresentati.

b)       Postulati: sono gli assiomi che stabiliscono le relazioni tra i diversi enti geometrici (una linea retta è costituita da infiniti punti)

c)       Nozioni comuni: assiomi logici indipendenti dallo specifico contenuto geometrico.

La nascita delle geometrie non-euclidee

Fu il quinto postulato di Euclide (quello secondo cui se due rette non si intersecano, allora la somma degli angoli coniugati interni che esse formano con una trasversale è un angolo piatto) a far nascere le prime perplessità sulla veridicità della geometria euclidea e sull'unicità di essa. Lobacevskij, infatti, costruì un sistema geometrico nel quale non vi era soltanto una parallela per ogni retta, ma altre parallele per arrivare al punto in cui si trova la parallela presa come "unica". Secondo L., inoltre, la somma degli angoli coniugati con la trasversale è minore di un angolo piatto.

La geometria di L. viene anche chiamata "geometria iperbolica", in cui le superfici sono a curvatura negativa. In questa geometria non c'erano contraddizioni ed era dunque un sistema coerente.  Dunque, non era una sola la geometria "giusta", ma ci potevano essere anche più geometrie.

Anche un altro matematico, Riemann, formulò un'altra geometria che noi chiamiamo "geometria ellittica" (o modello di Riemann). Riemann negava sia l'unicità della parallela sia la sua esistenza, in quanto non esisteva secondo lui nessuna parallela, e che ogni retta si intersecava in un punto con ogni altra retta.  Secondo Riemann, oltretutto, la somma degli angoli coniugati con la trasversale è maggiore di 180 gradi. Nella geometria di Riemann le superfici sono quindi a curvatura positiva.







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