LA CIRCONFERENZA

Ö[(x - p)2+ (y - q)2] = r

Elevando al quadrato ambo i membri otteniamo:

(x - p)2+ (y - q)2= r2

che è l'equazione della circonferenza con centro nel punto C (p, q 848i83i ) e raggio r. Svolgendo i quadrati e portando tutti i termini a primo membro otteniamo, dopo semplici calcoli, l'equazione generale della circonferenza in "forma canonica" (dal greco kánon = modello):

x2 + y2 + ax + by + c = 0

dove a, b, c sono numeri reali e sono legati alle coordinate del centro C e alla lunghezza del raggio r dalle relazioni:

- coordinate del centro C (-a/2, -b/2)

- lunghezza del raggio r = Ö[(a/2)2 + (b/2)2 - c]

Poiché la lunghezza del raggio di una circonferenza deve essere un numero reale positivo segue che il radicando, cioè l'espressione che sta sotto il segno di radice nella relazione che dà il raggio, deve essere positivo ovvero:

(a/2)2 + (b/2)2 - c > 0

e quindi

(a/2)2 + (b/2)2 > c

Se (a/2)2 + (b/2)2 = c la circonferenza degenera in un punto, cioè il suo raggio vale 0, mentre se (a/2)2 + (b/2)2 < c allora la circonferenza non esiste nel campo reale e si chiama "circonferenza immaginaria" che non può essere rappresentata nel piano cartesiano usuale.

Una circonferenza che ha il centro nell'origine degli assi coordinati nell'equazione ha a = 0 e b = 0 (circonferenza 1 in figura 11) mentre una circonferenza che passa per l'origine ha sempre c = 0 nella sua equazione (circonferenza 2 in figura 11); se il centro della circonferenza giace sull'asse delle y, allora nella sua equazione il termine a è nullo (circonferenza 2 in figura 11), mentre se il centro giace sull'asse delle X allora è nullo il termine b.

Poiché nell'equazione canonica della circonferenza ci sono tre quantità indeterminate, cioè a, b e c, ne segue che per determinare univocamente l'equazione di una circonferenza sono necessarie tre condizioni: si conoscono tre punti della circonferenza oppure si conoscono le coordinate del centro (due condizioni) e un punto della circonferenza oppure si conosce il raggio (due condizioni) e un punto della circonferenza. Se, per esempio, sono dati tre punti A (1, 1), B (2, 5) e C (3, 0) per determinare l'equazione della circonferenza (se esiste) passante per i tre punti dati si sostituiscono le coordinate dei punti al posto delle x e y nell'equazione generale della circonferenza x2 + y2 + ax + by + c = 0:

passaggio per il punto A (1, 1) si ottiene 1 + 1 + a + b + c = 0

passaggio per il punto B (2, 5) si ottiene 4 + 25 + 2a + 5b + c = 0

passaggio per il punto C (3, 0) si ottiene 9 + 3a + c = 0

risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni nelle tre incognite a, b e c si ottiene:

a = -55/9; b = -47/9; c = -26/9

e l'equazione della circonferenza è:

x2 + y2 -55/9 x -47/9 y -26/9 = 0

il cui centro ha coordinate:

O (55/18, 47/18) (il centro è stato indicato con la lettera O per non confonderlo col punto C)

e il raggio è lungo:

r = Ö3085/162 cioè circa 4, 36.

Data una circonferenza e una retta possono verificarsi una e una sola delle seguenti tre situazioni:

1. la retta non interseca mai la circonferenza

2. la retta interseca la circonferenza in due punti distinti A e B

3. la retta interseca la circonferenza in due punti coincidenti T, ovvero la retta è tangente alla circonferenza nel punto T.

Per determinare i punti di intersezione (se esistono) si procede nel seguente modo: si mette a sistema l'equazione della circonferenza e l'equazione della retta, che nel caso generale è:

x2 + y2 + ax + by + c = 0

y = mx + q

Risolvendo il sistema per sostituzione otteniamo:

x2 + (mx + q)2 + ax + b(mx + q) + c = 0

sviluppando il quadrato del binomio e facendo i prodotti abbiamo

x2 + m2x2 + q2 + 2mqx + ax + mbx +bq +c = 0

e raccogliendo i termini comuni si ottiene:

(1 + m2)x2 + (2mq + mb +a)x + q2 + bq + c = 0

che è una equazione di 2° grado algebrica nell'incognita x. Come è noto, data un'equazione di 2° grado in una incognita le soluzioni possono essere:

1. due soluzioni reali distinte, se il discriminante dell'equazione è positivo

2. due soluzioni reali coincidenti se il discriminante dell'equazione è nullo

3. nessuna soluzione reale se il discriminante dell'equazione è negativo.

Il primo caso sarà quello di una retta che interseca la circonferenza in due punti A e B distinti; il secondo caso invece è quello in cui la retta è tangente alla circonferenza, ovvero la interseca in due punti coincidenti; il terzo caso invece è quello in cui la retta non interseca mai la circonferenza.

Risolvendo l'equazione si avranno le coordinate x dei punti che sostituite nell'equazione della retta daranno le coordinate y.