I RADICALI - La radice aritmetica

aⁿ R "a R " n N

Consideriamo ora il problema inverso, cioè l'equazione

xⁿ=b,

dove b è un prefissato numero reale non negativo: b R ; chiediamoci: questa equazione ha soluzioni in R ? ossia, ci sono numeri reali positivi la cui potenza n-sima faccia b? Fissiamo intanto la seguente

Definizione. Un numero reale, se esiste, x 0 soddisfacente l'equazione xⁿ=b (b R , n N ) si chiama radice n-sima aritmetica di b e si scrive ⁿ b. b si chiama radicando, n indice di radice, la scrittura ⁿ b radicale.

L'aggettivo "aritmetica" sta a ricordarci che stiamo trattando soltanto con numeri non negat 545e44f ivi. È evidente che ¹ b=b, "b. La radice "prima" quindi non si usa. Se n=2, si scrive b sottintendendo l'indice 2 e si legge "radice quadrata"; se n=3, la radice si dice "cubica".

Le domande precedenti quindi sono: per ogni numero naturale positivo n 2 e per ogni numero reale non negativo b, esiste sempre qualche radice n-sima? Il quesito non è banale, come potrebbe sembrare ad una superficiale valutazione. Se ci restringessimo infatti all'insieme numerico N, mentre è vero che ogni numero naturale ha ogni potenza naturale (con l'eccezione di 0°)

0⁴=0;... (potenze banali)

( " " )

2°=1; 2¹=2; 2²=4; 2³=8; 2⁴=16;... (potenze non banali)

" " " )

( " " " )

non è però vero l'inverso: dati due numeri naturali positivi b ed n, non sempre esiste in N la radice n-sima di b, anzi trattasi di evento rarissimo. Per es., posto n=3,

0 esiste e vale 0;

1 esiste e vale 1;

2 non esiste in N

3 non esiste in N

4 non esiste in N

5 non esiste in N

6 non esiste in N

7 non esiste in N

8 esiste e vale 2;

poi, nessun numero naturale da 9 a 26 ha una radice terza naturale ed occorre arrivare a 27 per avere

poi fino a 64 non ci sono più radici cubiche naturali, ecc. ecc. I numeri naturali come 0, 1, 8, 27, 64,... che hanno la radice cubica naturale si chiamano cubi perfetti. In N quindi 1) non sempre c'è la radice n-sima, e 2) quando c'è, è unica. La stessa cosa succederebbe in Q : solo di tanto in tanto si può estrarre la radice n-sima, e quando c'è è unica. La situazione è completamente normalizzata in R , dove vale il seguente

Teorema dell'esistenza ed unicità. 'Dati n N, n 2 e b R , esiste sempre ed è unica la radice n-sima aritmetica di b, ⁿ b

Non daremo la dimostrazione di questo teorema, anche se non sarebbe difficile: basterebbe costruire le classi separate dei numeri razionali che sono approssimazioni per difetto e per eccesso di ⁿ b, e dimostrare che sono contigue: allora la sezione razionale così ottenuta, generalmente priva in Q di elemento separatore, sarebbe per definizione un numero reale, quello che chiamiamo radice n-sima aritmetica di b. C'interessa piuttosto rilevare la completezza del campo R rispetto agli altri insiemi numerici: non solo con i numeri reali possiamo eseguire sempre le 4 operazioni aritmetiche e l'operazione di potenza con esponente n Z (godendo esse della proprietà di chiusura), ma anche l'operazione inversa a quella di potenza (la radice) ha in R R la proprietà di chiusura.

§2. Proprietà dei radicali

I radicali hanno 5 proprietà, che sono le corrispettive delle relative proprietà delle potenze.

I PROPRIETA'. 'Il prodotto di due radicali aventi lo stesso indice è un radicale avente per indice lo stesso indice, e per radicando il prodotto dei radicandi.' In formule:

ⁿ a ⁿ b=ⁿ (ab).

II PROPRIETA'. 'Il quoziente di due radicali aventi lo stesso indice è un radicale avente per indice lo stesso indice, e per radicando il quoziente dei radicandi:

(ⁿ a)/( ⁿ b)=ⁿ (a/b).'

III PROPRIETA'. 'La potenza di una radice è uguale alla radice della potenza:

(ⁿ a) ^m=ⁿ (ab)^m.'

IV PROPRIETA'. 'La radice di una radice è una radice avente lo stesso radicando e per indice il prodotto degli indici:

ⁿ (^m a)=^nm a.'

V PROPRIETA' (detta invariantiva). 'Moltiplicando o dividendo per lo stesso numero naturale positivo l'indice di radice e l'esponente del radicando, il radicale non cambia:

ⁿ a=^nm (a ^nm).'

Tutte le proprietà dei radicali sono facilmente deducibili dalle proprietà delle potenze.

§3. Radici algebriche

Finora ci siamo limitati ad R . Consideriamo ora tutti i numeri reali, positivi e non. Chiediamoci: che cosa succede in R riguardo all'equazione

xⁿ=b (b R, n n, n

esiste anche in R sempre la radice n-sima di un numero dato? è unica?

Le risposte passano attraverso 4 distinzioni, se n è pari o dispari, e se b è negativo o positivo:

1) n pari e b<0: è facile vedere che, in questo caso, non c'è nessun numero reale x che elevato alla n faccia b. Infatti ogni numero reale, positivo o negativo, elevato ad una potenza pari dà per risultato un numero positivo; né può essere zero, perché 0ⁿ=0; quindi non può mai risultare un numero negativo. In conclusione non esistono in campo R le radici ad indice pari d'un numero negativo. Per es.

(-3/4),... non esistono in R

2) n pari e b>0: in questo caso, come già sappiamo esiste sempre ed è unica la radice aritmetica ⁿ b, ossia

xⁿ=b x= ⁿ b (ⁿ b)ⁿ =b.

Ma allora anche l'opposto -ⁿ b è una soluzione dell'equazione xⁿ=b; infatti

(- ⁿ b)ⁿ = (-1)ⁿ(ⁿ b)ⁿ=+1b=b.

In conclusione, in campo R per ogni radicando positivo le radici ad indice pari sono 2, uguali ed opposte. Esse si chiamano le 2 radici algebriche reali n-sime di b:

3) n dispari e b>0: in questo caso, come già sappiamo esiste sempre ed è unica la radice aritmetica ⁿ b. Andrebbe bene anche l'opposta - ⁿ b? No, perché stavolta

(- ⁿ b)ⁿ = (-1)ⁿ(ⁿ b)ⁿ=-1b=-b

Quindi, in campo R per ogni radicando positivo esiste un'unica radice algebrica ad indice dispari che coincide con la radice aritmetica;

4) n dispari e b<0: stavolta esiste ed è unica la ⁿ b, è un numero negativo ed è l'opposto della radice n-sima del radicando opposto. Per es.

E se il radicando è 0? È ovvio allora che, qualsiasi sia l'indice n 1, abbiamo un'unica radice, 0:

ⁿ "n

§4. Radicali doppi

Definizione. Si chiama radicale doppio un'espressione del tipo

Ammettiamo naturalmente che i valori di a e b siano tali che entrambi i radicali esistano: per questo è necessario che

a>0 b>0 a² b.

Generalmente il radicale doppio è un numero irrazionale, una cui approssimazione razionale si può ottenere approssimando b, addizionandola con a ed estraendo con l'approssimazione voluta la radice quadrata della somma così ottenuta. Se però a²-b è un quadrato perfetto, vale la pena usare la formula

che trasforma il radicale doppio nella somma algebrica di due radicali semplici.

§5. Razionalizzazione

Supponiamo di avere una frazione nel cui denominatore compaiano dei radicali. Se, usando in maniera opportuna la proprietà invariantiva, si riesce ad eliminare i radicali dal denominatore, questo processo si chiama razionalizzazione.

Per es., sia dato il numero

noi possiamo, per la proprietà invariantiva, moltiplicare sopra e sotto per 2, ottenendo

A tutti gli effetti pratici risulta più comodo lavorare con 2 2 che con 4/ 2; la razionalizzazione appena eseguita è quindi conveniente. Vediamo allora come si esegue in generale la razionalizzazione. Occorre distinguere 3 casi:

1) il denominatore consiste di una sola radice quadrata. In questo caso, basta semplicemente moltiplicare sopra e sotto - come nell'esempio di prima -, per il denominatore (e poi, eventualmente, semplificare). Es.

a²bc/ (ab)=a²bc (ab)/ab=ac (ab);

xy³/ (a-b)=xy³ (a-b)/(a-b);

2) il denominatore consiste di un'unica radice non quadrata. Bisogna allora moltiplicare sopra e sotto per una radice avente lo stesso indice ed il radicando elevato ad una potenza tale da eliminare la radice al denominatore. Es.

=4

=2

3) il denominatore consiste nella somma (o differenza) di due radici quadrate. Si moltiplica allora, sopra e sotto, rispettivamente, per la differenza (o somma) delle stesse radici. Es.

(x²-y²)/( x+ y)=(x²-y²) x- y)/[( x+ y)( x- y)]

=(x²-y²)( x- y)/(x-y)

=(x+y)( x- y);

Esistono evidentemente altri casi più complicati dei tre qui rappresentati, ma non li studieremo.

§6. Potenze ad esponente razionale

Ricordiamo che con il simbolo pⁿ (p R, n Z) intendiamo

pⁿ =pp...p  (n volte), se n>1;

pⁿ =p¹=p,   se n=1;

pⁿ =p⁰ =1,  se n=0, purché p

pⁿ =(1/p)^-n, se n< 0, purché p

L'operazione pⁿ si chiama potenza di un numero reale relativo elevato ad un numero intero relativo; p si chiama base, n si chiama esponente. Al simbolo 0ⁿ  (n non è attribuito nessun significato. L'operazione di potenza in R ad esponente intero relativo, così definita, gode di 5 proprietà:

1ª proprietà: p^mpⁿ =p^m+n;

2ª proprietà: p^m/pⁿ =p^m-n;

3ª proprietà: (p^m)ⁿ =p^mn;

4ª proprietà: (pq)^m =p^mq^m;

5ª proprietà: (p/q)^m =p^m/q^m.

E se l'esponente è razionale? Si può dare significato ad espressioni come 2^0.5, (1/3)^1/4, (-3/4)^-0.001, ( 2)^12.(13),. in cui la base sia un qualsiasi numero reale e l'esponente sia un qualsiasi numero razionale, positivo, nullo o negativo?

Ci proponiamo ora di estendere il significato di potenza al caso in cui l'esponente è un numero razionale a Q. Rinviamo invece al prossimo anno la definizione di potenze ad esponente irrazionale, tipo 3^p

Con il simbolo p^n/m (p R ; n,m Z) intenderemo

p^n/m =^m pⁿ, se n/m >0;

p^n/m =1/(^|m| p^|n| ), se n/m <0.

Notiamo che la definizione data vale solo per basi positive. Questa definizione salvaguarda 2 fondamentali condizioni di coerenza:

1) rientra nella definizione di potenza ad esponente intero, quando l'esponente è una frazione apparente;

2) soddisfa le 5 proprietà della vecchia definizione.

In riferimento agli esempi di sopra, quindi, abbiamo

(-3/4)^-0.001=impossibile (perché la base è negativa),

Come si vede, per calcolare una potenza ad esponente razionale bisogna prima trasformare l'esponente in frazione (se non lo è già). Si capisce anche perché abbiamo ristretto la definizione al caso in cui la base sia positiva: se è zero,  avremmo frazioni con denominatore 0 quando l'esponente è negativo; se è negativa, potrebbe capitare di dover estrarre una radice pari di un numero negativo, ciò che sappiamo essere impossibile in R

Le due condizioni di coerenza sono sempre soddisfatte. Appuralo anche tu, con tuoi propri esempi.