Caricare documenti e articoli online  
INFtube.com è un sito progettato per cercare i documenti in vari tipi di file e il caricamento di articoli online.
Meneame
 
Non ricordi la password?  ››  Iscriviti gratis
 

FUNZIONI DI DUE VARIABILI

matematica


Inviare l'articolo a Facebook Inviala documento ad un amico Appunto e analisi gratis - tweeter Scheda libro l'a yahoo - corso di



ALTRI DOCUMENTI

Limiti
Matematica finanziaria - La capitalizzazione composta frazionata o interesse composto frazionato
FUNZIONI DI DUE VARIABILI

FUNZIONI DI DUE VARIABILI

Si definisce funzione reale di due variabili reali una relazione che associa a ogni coppia ordinata di numeri reali (x,y) uno e un solo numero reale. Il dominio (o insieme di esistenza), della funzione z = f(x,y) è il sottoinsieme di D di R^2 costituito da tu 818f56i tte le coppie (x,y) di numeri reali aventi per corrispondente uno ed un solo numero reale z. Nello studio di funzioni di due variabili si deve per prima cosa determinare il dominio. Si definisce funzione reale di n variabili reali una relazione che associa ad ogni coppia di numeri reali (x,y) , appartenente al dominio uno ed un solo numero reale z. Nelle disequazioni di due variabili si risolve separatamente tutte le disequazioni del sistema e la soluzione è costituita dall'intersezione dei semipiani che soddisfano le singole disequazioni (regione ammissibile).

La rappresentazione grafica di una funzione di due variabili è piuttosto complicata, perciò spesso si fa ricorso alle linee di livello. La linea di livello vivono nel piano e sono i punti (x,y) per cui le funzioni ha lo stesso valore z = k. 

Si definisce intorno di un punto P0(x0,y0) qualsiasi sottoinsieme di R^2 contenente un intorno circolare di P0. Un insieme di punti si dice limitato se esiste un intorno circolare che lo contenga.



Possiamo avere tre tipi di punti:

  • Un punto P di un insieme I è detto punto interno all'insieme I se esiste un intorno circolare di P formato solo da punti dell'insieme I.
  • Un punto P, non appartenente ad un insieme I, è detto punto esterno all'insieme I se esiste un intorno circolare di P che non contiene alcun punto di I.
  • Un punto P, appartenente o non appartenente ad un insieme I, è detto punto di frontiera di I se ogni intorno i  P contiene punti di I e punti del complementare di I.

Un insieme si dice aperto se i suoi punti sono tutti interni, ossia non contiene alcun punto di frontiera. Mentre un insieme si dice chiuso se contiene tutti i punti della sua frontiera.

DERIVATE PARZIALI:

Per studiare l'andamento di una funzione di una variabile, ossia per conoscere in quali intervalli la funzione cresce o decresce, in quali punti ha massimi o minimi ecc.. si utilizza se esiste la funzione derivata.

  • Si definisce derivata parziale rispetto a x della funzione z = f(x,y) la derivata della funzione quando y si considera costante.
  • Si definisce derivata parziale rispetto a y della funzione z = f(x,y) la derivata della funzione quando x si considera costante.

MASSIMI E MINIMI:

Nello studio delle funzioni di due o più variabili, si determinano i massimi e i minimi, che possono essere massimi e minimi relativi (se il valore della funzione è rispettivamente, non inferiore o non superiore ai valori assunti in un certo intorno), massimi e minimi assoluti (se la condizione è verificata per tutti i punti del dominio).

Possiamo avere due tipi di massimi e minimi:

1.      massimi e minimi liberi tali che alle variabili si può assegnare qualunque valore del dominio

2.      massimi e minimi vincolanti tali che le variabili sono condizionate da relazioni di uguaglianza o disuguaglianza.

La ricerca dei massimi e dei minimi relativi può essere fatta nei seguenti modi:

  1. Mediante le linee di livello: in prossimità di un massimo o di un minimo le linee di livello si "restringono" e tendono ad un punto.
  2. Mediante le derivate: Se la funzione F(x,y) ha un minimo o massimo relativo in P0(x0,y0) appartenente al dominio in P0 devono necessariamente annullarsi le derivate parziali prime F'x(x0,y0) = 0 e F'y(x0,y0) = .

Punti critici, o stazionari, di una funzione sono i punti in cui si annullano le derivate parziali prime.

Se una funzione continua nel dominio ammette derivate parziali prime e seconde, si                      considera il determinante, detto hessiano.

·        Se H(x0, y0) > 0 e il primo numero è maggiore di zero allora il punto P0 è un minimo relativo

·        Se H(x0, y0) > 0 e il primo numero è minore di zero allora il punto P0 è un massimo relativo

·        Se H(x0, y0) < 0  allora il punto P0 è un punto di sella

·        Se H(x0, y0) = 0  non si può decidere la natura di P0

In una funzione differenziabile di tre variabili u = f(x, y, z) abbia un massimo relativo o un minimo relativo in un punto P0 interno al suo dominio, è che in P0 si annullino le derivate parziali prime. È importante rileva che come i massimi e minimi liberi anche i massimi e minimi vincolati possono essere relativi o assoluti. La ricerca dei massimi e minimi vincolati si può effettuare in due modi:

1.      Mediante le linee di livello: I punti di massimo e di minimo vincolato sono dati dai punti in cui le linee di livello sono tangenti alla linea l rappresentativa del vincolo.

2.      Mediante le derivate: Un metodo più generale per la risoluzione di un problema di estremi vincolati è il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, che trasforma un problema di massimi o di minimi vincolati in un problema di massimi o minimi liberi. Si suppone che la funzione z = f(x,y) ammetta derivate parziali seconde continue nel dominio e che la funzione g(x,y) ammetta derivate prime non nulle. Si considera un determinante detto hessiano orlato dove se:




·        Se l'hessiano orlato è maggiore di zero abbiamo un massimo vincolato

·        Se l'hessiano orlato è minore di zero abbiamo un minimo vincolato

·        Se l'hessiano orlato è uguale a zero non possiamo dire nulla sulla natura di P0

La ricerca dei massimi e minimi assoluti di una funzione f(x,y) in un insieme chiuso e limitato si effettua esaminando il valore della funzione nei seguenti punti:

1)      i punti di massimo o di minimo relativo interni,

2)      gli eventuali punti interni in cui la funzione non è differenziabile

3)      i massimi e i minimi appartenenti alla frontiera

La ricerca dei massimi e minimi assoluti si può effettuare in due modi:

1.Mediante le linee di livello: consiste nell'individuare la linea di livello con k maggiore e   quella con k minore

      2.Mediante le derivate: occorre determinare prima i massimi e i minimi relativi appartenenti ad S e successivamente i massimi ed i minimi vincolati dove i vincoli sono espressi dalle equazioni delle linee che costituiscono la frontiera.

FUNZIONI MARGINALI e ELASTICITÀ PARZIALI E INCROCIATE:

Data una funzione differenziabile di due o più variabili, si definisce funzione marginale rispetto ad una variabile, la derivata parziale della funzione rispetto a quella variabile.

Il grado di elasticità è una misura della variazione relativa di f al variare della x, quando tutte le altre variabili rimangono costanti, esprime cioè la sensibilità di f al variare di x. L'elasticità parziale della domanda di un bene rispetto al prezzo di un altro bene è detta elasticità incrociata. Si distinguono i beni in:

·        succedanei o surrogati, se un bene può sostituire l'altro (olio d'oliva e olio di mais)

·        complementari come ad esempio la benzina e l'automobile in tale caso l'elasticità incrociata risulta negativa, poiché l'aumento del prezzo delle automobili causa non solo la diminuzione della domanda delle automobili ma anche la diminuzione della domanda della benzina. Se fra i due beni non esiste relazione, l'elasticità incrociata è nulla.

RICERCA DEL MASSIMO PROFITTO DI UN'IMPRESA:

Uno dei principali obiettivi di un'impresa che produce uno o più beni  quello di determinare il livello di produzione dei singoli beni per massimizzare il profitto. Il profitto si calcola facendo ricavi meno costi.

Profitto di un'impresa in un mercato di concorrenza perfetta: Un'impresa produce due beni q1 e q2 e li vende in un mercato di libera concorrenza e li vende ai prezzi p1 e p2, i quali essendo i mercati di libera concorrenza sono fissi indipendenti dalla quantità richiesta.

Profitto di un'impresa in condizioni di monopolio: In questa situazione i prezzi non sono costanti, ma dipendono dalle funzioni di domanda dei due prodotti (che possono essere complementari tali che l'aumento del prezzo di uno faccia diminuire la domanda anche dell'altro, o surrogati tali che l'aumento del prezzo di uno si traduca nell'aumento della domanda dell'altro).

Profitto di un'impresa che vende un prodotto in due mercati diversi: Si devono determinare quali quantità q1 e q2 dello stesso prodotto deve immettere sui due mercati in modo che il profitto sia massimo, tenendo conto che le leggi della domanda nei due mercati sono diverse.

MASSIMO DELL'UTILITA' DEL CONSUMATORE CON IL VINCOLO DEL BILANCIO:

Il problema consiste nel massimizzare l'utilità del consumatore che per procurarsi i due beni ha a disposizione una somma B, detta nella teoria economica "bilancio" che vincola la scelta. Il vincolo è costituito dal bilancio espresso da:   B = p1*x1 + p2*x2     dove p1 e p2 sono i prezzi di mercato dei due beni. Per massimizzare l'utilità, il consumatore deve distribuire il suo bilancio in modo che sia uguale per ogni bene. Nello studio della funzione utilità U = U(x1, x2) si trova in economia un'efficace visualizzazione della funzione mediante le linee di livello. Si definiscono curve di indifferenza le linee di livello della funzione utilità.

FUNZIONI DI COBB-DOUGLAS:

Uno dei problemi che un'impresa deve risolvere è quello di combinare in modo ottimale i fattori di produzione. Gli economisti hanno trovato numerose funzioni per esprimere il legame fra il capitale impiegato, la quantità di lavoro utilizzata e la quantità di bene prodotto. Per trovare questo legame viene utilizzato la funzione di Cobb-Douglas. Due sono i problemi che si possono presentare:

1.      Minimizzare il costo totale dei fattori di produzione per produrre una quantità prefissata di bene. Si deve determinare il minimo della funzione costo di produzione.

2.      Massimizzare la produzione ad un livello di costi prefissato. Si deve determinare il massimo della funzione di produzione.







Privacy

Articolo informazione


Hits: 7330
Apprezzato: scheda appunto

Commentare questo articolo:

Non sei registrato
Devi essere registrato per commentare

ISCRIVITI

E 'stato utile?



Copiare il codice

nella pagina web del tuo sito.


Copyright InfTub.com 2019