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Equazioni biquadratiche, trinomie, reciproche - Equazioni biquadratiche

matematica


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Equazioni biquadratiche, trinomie, reciproche

Equazioni biquadratiche

Si definisce equazione biquadratica elementare un'equazione di quarto grado, priva dei termini contenenti le potenze dispari dell'incognita, cioè un'equazione della forma:

con  quantità note.



Queste equazioni si risolvono immediatamente con un semplice artificio, consistente nell'introdurre una nuova incognita  (detta incognita ausiliara), legata alla  dalla relazione:

Da qui otteniamo l'equazione equivalente:

Indicate con  e  le sue radici, abbiamo:

da cui, estraendo la radice quadrata, otteniamo i quattro valori:

Detto ciò, si ha:

L'equazione biquadratica  ammette quattro radici, a due a due opposte, espresse dalla formula:

dove i segni sono scelti nei quattro modi possibili.

Indicando con  il discriminante dell'equazione risolvente, segue:

1.      Se , l'equazione risolvente ha due radici complesse e quindi l'equazione biquadratica ammette quattro radici complesse;

2.      se , la risolvente ha due radici reali coincidenti  e quindi la biquadratica ammette due radici, reali o complesse, secondo che  e  siano concordi o discordi, oppure una radice se risulta ;

3.      se , l'equazione risolvente ammette due radici reali  e ; se esse sono entrambe positive, la biquadratica ammette quattro radici reali; se sono una positiva e una negativa, ammette due radici reali e due complesse; se  e  sono entrambe negative, la biquadratica ammette quattro radici complesse.

Esempio 1

Risolvere l'equazione:

Ponendo  si ottiene l'equazione risolvente:

da cui

Quindi l'equazione risolvente ha radici  e . Si ha allora che:

da cui, estraendo la radice quadrata, si ricavano per l'equazione data le quattro radici reali  e , a due a due opposte.

Esempio 2

Risolvere l'equazione:

Ponendo  si ottiene l'equazione risolvente:

da cui

Quindi l'equazione risolvente ha radici  e . Si ha allora che:

da cui, estraendo la radice quadrata, si ottengono le quattro radici complesse  e .

Esempio 3

Risolvere l'equazione:

Ponendo  si ottiene l'equazione risolvente:

da cui

Quindi l'equazione risolvente, avente il , ammette una sola radice . Si ha allora:

da cui, estraendo la radice quadrata, si ottengono le due radici .

Esempio 4

Risolvere l'equazione:

Ponendo  si ottiene l'equazione risolvente:

da cui

Quindi l'equazione risolvente, avente il , ammette due radici complesse  e . Si ha allora che:

Estraendo la radice quadrata, si ottengono le quattro radici complesse  e .

Equazioni trinomie

Si chiama equazione trinomia ogni equazione del tipo:

dove  sono numeri reali diversi da zero e  un numero intero positivo.

Analogamente alle equazioni biquadratiche (che sono un caso particolare delle equazioni trinomie), anche le equazioni trinomie si risolvono mediante l'introduzione di un'incognita ausiliaria y, ponendo:

Da qui otteniamo l'equazione risolvente:

cioè una banale equazione di secondo grado. Dette  e  le sue radici, abbiamo:

Se  è pari, possiamo avere quattro casi:

1.      Se la risolvente ammette due soluzioni distinte positive  e , allora l'equazione trinomia ammette le quattro soluzioni reali (che si riducono a tre nel caso in cui una di esse sia nulla):

2.      se la risolvente ammette due soluzioni discordi, allora la trinomia ammette quattro soluzioni due reali e due complesse;



3.      se la risolvente ammette una soluzione reale , allora la trinomia ammette due soluzioni se , una se  e nessuna se ;

4.      Se la risolvente non ammette soluzioni reali, lo stesso dicasi per l'equazione originaria.

 Se  è dispari, invece, possiamo avere tre casi:

1.      Se la risolvente ammette due soluzioni distinte  e , allora l'equazione trinomia ammette le due soluzioni reali:

2.      se la risolvente ammette una soluzione reale , allora la trinomia ammette una soluzione ;

3.      se la risolvente non ammette soluzioni reali, lo stesso dicasi per l'equazione originaria.

Nel caso in cui , abbiamo una banale equazione di secondo grado, invece, se , abbiamo un'equazione biquadratica.

Esempio

Risolvere l'equazione:

Ponendo , si ha l'equazione risolvente:

da cui

Quindi l'equazione risolvente ha radici  e . Si ha allora che:

da cui, estraendo la radice cubica, si ottengono le due radici  e .

Equazioni reciproche

Si chiamano equazioni reciproche tutte quelle equazioni che per ogni soluzione ammettono anche la sua reciproca.

Dalla definizione si capisce che se  è la soluzione ammessa dell'equazione, allora è ammessa anche  .

Queste equazioni sono caratterizzate dal fatto che i termini estremi e quelli equidistanti dagli estremi sono uguali. Sono dette di prima specie se i segni dei termini equidistanti risultano uguali, di seconda specie se risultano opposte.

Nel caso in cui un'equazione reciproca di seconda specie abbia grado pari, deve mancare del termine medio che, essendo alla stessa distanza dagli estremi, deve essere uguale al suo opposto, cioè .

Per la risoluzione delle equazioni reciproche bisogna distinguere prima tra prima e seconda specie e poi tra grado dispari e grado pari.

·         grado dispari - prima specie: equazione di terzo grado

Teorema fondamentale dell'algebra

Un'equazione di grado  ammette sempre  soluzioni reali distinte, reali coincidenti o complesse - coniugate.

Essendo l'equazione reciproca di grado dispari, siccome ogni soluzione deve avere la sua reciproca e, per il teorema fondamentale dell'algebra, le soluzioni sono in numero dispari, allora (intuitivamente) tra le soluzioni dovrà sempre esservi  (o ) come numero reciproco di sé stesso: in questo caso, essendo di prima specie, una soluzione è . Detto ciò, per risolvere l'equazione possiamo utilizzare il metodo di Ruffini e scomporre l'equazione per . Infatti, sostituendo  nell'equazione si ha:

Osservazione

Possiamo utilizzare anche un altro metodo per risolvere un'equazione reciproca di terzo grado di prima specie.

Consideriamo l'equazione:

Per risolvere l'equazione, ricorriamo a un raccoglimento parziale:

Ricordando che  abbiamo

Adesso, applicando la legge dell'annullamento del prodotto, si ha:

da cui, risolvendo, si avranno le tre soluzioni dell'equazione.

Quindi, procediamo con la scomposizione:

                                                            

cioè:

A questo punto, si pone uguale a zero ogni fattore, e si hanno le soluzioni desiderate:

Quindi le soluzioni dell'equazione iniziale sono date da:

·         grado dispari - seconda specie: equazione di terzo grado

Anche in questo caso, essendo l'equazione reciproca di grado dispari, poiché ogni soluzione deve avere la sua reciproca e, per il teorema fondamentale dell'algebra, le soluzioni sono in numero dispari, allora (intuitivamente) tra le soluzioni dovrà sempre esservi  (o ) come numero reciproco di se stesso: in questo caso però, essendo l'equazione di seconda specie, una soluzione è . Detto ciò, per risolvere l'equazione possiamo utilizzare il metodo di Ruffini anche in questo caso e scomporre l'equazione per . Infatti, sostituendo  nell'equazione si ha:

Osservazione




Possiamo utilizzare anche in questo caso un altro metodo per la risoluzione di un'equazione reciproca di terzo grado di seconda specie.

Consideriamo l'equazione:

Seguendo il metodo precedente:

Poiché  abbiamo

Adesso, applicando la legge dell'annullamento del prodotto, si ha:

da cui, risolvendo, si avranno le tre soluzioni dell'equazione.

Quindi, procediamo con la scomposizione:

cioè:

A questo punto, si pone uguale a zero ogni fattore, e si hanno le soluzioni desiderate:

Quindi le soluzioni dell'equazione iniziale sono date da:

·         grado pari - prima specie: equazione di quarto grado

Poiché  non è una soluzione, dividiamo tutti i membri per , ottenendo:

A questo punto poniamo e, di conseguenza, , da cui . Andando a sostituire nell'equazione data, avremo:

che prende il nome di equazione risolvente. Risolvendo quest'ultima equazione, le eventuali radici reali di essa, sostituite successivamente al posto della  nella relazione:

ci permettono di calcolare i valori della  che soddisfano l'equazione data.

Esempio:

Dividendo per  si ha:

Ponendo  e , otteniamo:

che risolta da le radici  e . A questo punto, applichiamo la sostituzione e avremo due equazioni:

da cui, avremo le due equazioni di secondo grado:

Quindi le soluzioni dell'equazione iniziale sono date da:

·         grado pari - seconda specie: equazione di quarto grado

Un'equazione reciproca di quarto grado di seconda specie è sempre divisibile per  e . Infatti:

Quindi, per trovare le altre due soluzioni,procediamo con la scomposizione:

cioè:

Successivamente, scomponiamo ancora ma questa volta per :

Quindi, riunendo le soluzioni, avremo che:

A questo punto, si pone uguale a zero ogni fattore, e si hanno le soluzioni desiderate:

Quindi le soluzioni dell'equazione iniziale sono date da:

Osservazione

Possiamo utilizzare anche un altro metodo per la risoluzione di un'equazione reciproca di quarto grado di seconda specie.

Consideriamo l'equazione:

Seguendo il metodo già utilizzato per le reciproche di terzo grado, si ha:

da cui:

Adesso, applicando la legge dell'annullamento del prodotto, si ha:

da cui, risolvendo, si avranno le quattro soluzioni dell'equazione.







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