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Equazioni biquadratiche, trinomie, reciproche
Equazioni biquadratiche
Si definisce equazione biquadratica elementare un'equazione di quarto grado, priva dei termini contenenti le potenze dispari dell'incognita, cioè un'equazione della forma:
con quantità note.
Queste equazioni si risolvono immediatamente con un semplice artificio, consistente nell'introdurre una nuova incognita (detta incognita ausiliara), legata alla dalla relazione:
Da qui otteniamo l'equazione equivalente:
Indicate con e le sue radici, abbiamo:
da cui, estraendo la radice quadrata, otteniamo i quattro valori:
Detto ciò, si ha:
L'equazione biquadratica ammette quattro radici, a due a due opposte, espresse dalla formula:
dove i segni sono scelti nei quattro modi possibili.
Indicando con il discriminante dell'equazione risolvente, segue:
Se , l'equazione risolvente ha due radici complesse e quindi l'equazione biquadratica ammette quattro radici complesse;
se , la risolvente ha due radici reali coincidenti e quindi la biquadratica ammette due radici, reali o complesse, secondo che e siano concordi o discordi, oppure una radice se risulta
se , l'equazione risolvente ammette due radici reali e ; se esse sono entrambe positive, la biquadratica ammette quattro radici reali; se sono una positiva e una negativa, ammette due radici reali e due complesse; se e sono entrambe negative, la biquadratica ammette quattro radici complesse.
Esempio 1
Risolvere l'equazione:
Ponendo si ottiene l'equazione risolvente:
da cui
Quindi l'equazione risolvente ha radici e . Si ha allora che:
da cui, estraendo la radice quadrata, si ricavano per l'equazione data le quattro radici reali e , a due a due opposte.
Esempio 2
Risolvere l'equazione:
Ponendo si ottiene l'equazione risolvente:
da cui
Quindi l'equazione risolvente ha radici e . Si ha allora che:
da cui, estraendo la radice quadrata, si ottengono le quattro radici complesse e
Esempio 3
Risolvere l'equazione:
Ponendo si ottiene l'equazione risolvente:
da cui
Quindi l'equazione risolvente, avente il , ammette una sola radice . Si ha allora:
da cui, estraendo la radice quadrata, si ottengono le due radici
Esempio 4
Risolvere l'equazione:
Ponendo si ottiene l'equazione risolvente:
da cui
Quindi l'equazione risolvente, avente il , ammette due radici complesse e . Si ha allora che:
Estraendo la radice quadrata, si ottengono le quattro radici complesse e
Equazioni trinomie
Si chiama equazione trinomia ogni equazione del tipo:
dove sono numeri reali diversi da zero e un numero intero positivo.
Analogamente alle equazioni biquadratiche (che sono un caso particolare delle equazioni trinomie), anche le equazioni trinomie si risolvono mediante l'introduzione di un'incognita ausiliaria y, ponendo:
Da qui otteniamo l'equazione risolvente:
cioè una banale equazione di secondo grado. Dette e le sue radici, abbiamo:
Se è pari, possiamo avere quattro casi:
Se la risolvente ammette due soluzioni distinte positive e , allora l'equazione trinomia ammette le quattro soluzioni reali (che si riducono a tre nel caso in cui una di esse sia nulla):
se la risolvente ammette due soluzioni discordi, allora la trinomia ammette quattro soluzioni due reali e due complesse;
se la risolvente ammette una soluzione reale , allora la trinomia ammette due soluzioni se , una se e nessuna se
Se la risolvente non ammette soluzioni reali, lo stesso dicasi per l'equazione originaria.
Se è dispari, invece, possiamo avere tre casi:
Se la risolvente ammette due soluzioni distinte e , allora l'equazione trinomia ammette le due soluzioni reali:
se la risolvente ammette una soluzione reale , allora la trinomia ammette una soluzione
se la risolvente non ammette soluzioni reali, lo stesso dicasi per l'equazione originaria.
Nel caso in cui , abbiamo una banale equazione di secondo grado, invece, se , abbiamo un'equazione biquadratica.
Esempio
Risolvere l'equazione:
Ponendo , si ha l'equazione risolvente:
da cui
Quindi l'equazione risolvente ha radici e . Si ha allora che:
da cui, estraendo la radice cubica, si ottengono le due radici e
Equazioni reciproche
Si chiamano equazioni reciproche tutte quelle equazioni che per ogni soluzione ammettono anche la sua reciproca.
Dalla definizione si capisce che se è la soluzione ammessa dell'equazione, allora è ammessa anche .
Queste equazioni sono caratterizzate dal fatto che i termini estremi e quelli equidistanti dagli estremi sono uguali. Sono dette di prima specie se i segni dei termini equidistanti risultano uguali, di seconda specie se risultano opposte.
Nel caso in cui un'equazione reciproca di seconda specie abbia grado pari, deve mancare del termine medio che, essendo alla stessa distanza dagli estremi, deve essere uguale al suo opposto, cioè
Per la risoluzione delle equazioni reciproche bisogna distinguere prima tra prima e seconda specie e poi tra grado dispari e grado pari.
grado dispari - prima specie: equazione di terzo grado
Teorema fondamentale dell'algebra Un'equazione di grado ammette sempre soluzioni reali distinte, reali coincidenti o complesse - coniugate. |
Osservazione Possiamo utilizzare anche un altro metodo per risolvere un'equazione reciproca di terzo grado di prima specie. Consideriamo l'equazione: Per risolvere l'equazione, ricorriamo a un raccoglimento parziale: Ricordando che abbiamo Adesso, applicando la legge dell'annullamento del prodotto, si ha: da cui, risolvendo, si avranno le tre soluzioni dell'equazione. |
cioè:
A questo punto, si pone uguale a zero ogni fattore, e si hanno le soluzioni desiderate:
Quindi le soluzioni dell'equazione iniziale sono date da:
grado dispari - seconda specie: equazione di terzo grado
Anche in questo caso, essendo l'equazione reciproca di grado dispari, poiché ogni soluzione deve avere la sua reciproca e, per il teorema fondamentale dell'algebra, le soluzioni sono in numero dispari, allora (intuitivamente) tra le soluzioni dovrà sempre esservi (o ) come numero reciproco di se stesso: in questo caso però, essendo l'equazione di seconda specie, una soluzione è . Detto ciò, per risolvere l'equazione possiamo utilizzare il metodo di Ruffini anche in questo caso e scomporre l'equazione per . Infatti, sostituendo nell'equazione si ha:
Osservazione Possiamo utilizzare anche in questo caso un altro metodo per la risoluzione di un'equazione reciproca di terzo grado di seconda specie. Consideriamo l'equazione: Seguendo il metodo precedente: Poiché abbiamo Adesso, applicando la legge dell'annullamento del prodotto, si ha: da cui, risolvendo, si avranno le tre soluzioni dell'equazione. |
cioè:
A questo punto, si pone uguale a zero ogni fattore, e si hanno le soluzioni desiderate:
Quindi le soluzioni dell'equazione iniziale sono date da:
grado pari - prima specie: equazione di quarto grado
Poiché non è una soluzione, dividiamo tutti i membri per , ottenendo:
A questo punto poniamo e, di conseguenza, , da cui . Andando a sostituire nell'equazione data, avremo:
che prende il nome di equazione risolvente. Risolvendo quest'ultima equazione, le eventuali radici reali di essa, sostituite successivamente al posto della nella relazione:
ci permettono di calcolare i valori della che soddisfano l'equazione data.
Esempio:
Dividendo per si ha:
Ponendo e , otteniamo:
che risolta da le radici e . A questo punto, applichiamo la sostituzione e avremo due equazioni:
da cui, avremo le due equazioni di secondo grado:
Quindi le soluzioni dell'equazione iniziale sono date da:
grado pari - seconda specie: equazione di quarto grado
Un'equazione reciproca di quarto grado di seconda specie è sempre divisibile per e . Infatti:
Quindi, per trovare le altre due soluzioni,procediamo con la scomposizione:
cioè:
Successivamente, scomponiamo ancora ma questa volta per
Quindi, riunendo le soluzioni, avremo che:
A questo punto, si pone uguale a zero ogni fattore, e si hanno le soluzioni desiderate:
Quindi le soluzioni dell'equazione iniziale sono date da:
Osservazione Possiamo utilizzare anche un altro metodo per la risoluzione di un'equazione reciproca di quarto grado di seconda specie. Consideriamo l'equazione: Seguendo il metodo già utilizzato per le reciproche di terzo grado, si ha: da cui: Adesso, applicando la legge dell'annullamento del prodotto, si ha: da cui, risolvendo, si avranno le quattro soluzioni dell'equazione. |
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