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Ellisse

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Ellisse

Ellisse:dati due punti,F1 e F2,appartenenti al piano π, si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti (P) per cui costante la somma di F1 e F2 che si dicono fuochi. E=(Pappartenente π|PF1+PF2=2a; 2 353e46d a>F1F2) F1F2=distanza focale=2c equazione canonica dell'ellisse:

x∕a + y∕b=1 dimostrazione: dati F1(c,0) e F2(-c,0) i fuochi e un punto P(x,y) appartenenti al piano tale che PF1+PF2=2, considerato il triangolo PF1F2 si ha che PF1+PF2>F1F2 quindi 2a>2c cio a>c

(√(x+c)+y)+(√(x-c)+y)=2a √(x+c)+y=2-√(x-c)+y elevo tutto a quadrato: x+2cx+c+y=4a+x+c-2cx+y-4a√(x-c)+y semplificando a√(x-c)+y=a-cx si eleva tutto al quadrato di nuovo a((x-c)+y)=a+cx-2acx a(x+c-2cx+y)=a+cx-2acx

ax+ac-2acx+ay=a+cx-2acx ax-cx+ay+ac-a=0 (a-c)x+ay=a(a-c) siccome a>c quindi a-c>0 e si pone a-c=bcos l'equazione diventa bx+ay=ab e dividendo tutto per ab si ottiene l'equazione canonica. Propriet: 1) se P(x,y) appartiene a E anche P1(x,-y), P2(-x,y), P3(-x,-y) appartengono a E. 2)x/a+y/b=1 x/a<1 0<x/a<1 -a<x<a l'ellisse sempre iscritta in una circonferenza di dimensioni 2a, 2b. 3)eccentricit:c/a=costante=distanza focale/asse focale.

b=a-c c=a-b c=√a-b e=(√a-b)/a 0<e<1 se e =0 circoferenza, se e=1 parabola. 5)area= πab

se i fuochi sono sull'asse y e=c/b PF1+PF2=2b a=b-c 2b=semiasse.

Curve deducibili dall'ellisse: x/a+y/b=1 y/b=1-x/a y=b/a y=(b/a)(a-x) per -a<x<a ammette due soluzion y=b/a√a-x e y=-b/a√a-x







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