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Concetto di asintoto

matematica


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Concetto di asintoto

Asintoto e' una parola che deriva dal greco: a privativo che significa no e sympěptein che significa congiungere cioe' significa che non tocca, in pratica si tratta di una retta che si avvicina alla funzione senza mai toccarla, per questo si dice anche che l'asintoto e' la tangente all'infinito della funzione.
Quindi se non sappiamo come si comporta una funzione all'infinito sappiamo pero' come all'infinito si comporta una retta e se troviamo l'equazione della retta che accompagna la funzione all'infinito (asintoto) potremo tracciare il grafico della funzione che tende all'infinito con buona app 222h76c rossimazione.

Una funzione puo' tendere all'infinito avvicinandosi ad una retta in tre modi diversi come puoi vedere dalle tre figure qui sotto

Asintoto verticale

Asintoto orizzontale



Asintoto obliquo

  • Asintoto verticale: quando la x si avvicina ad un valore finito la funzione tende all'infinito avvicinandosi ad una retta verticale
  • Asintoto orizzontale: quando la x tende all'infinito la funzione si avvicina ad una retta orizzontale
  • Asintoto obliquo:quando la x tende all'infinito la funzione tende all'infinito avvicinandosi ad una retta obliqua

Da notare che l'asintoto orizzontale esclude l'asintoto obliquo e viceversa perche' al crescere della x la funzione puo' andare all'infinito in un solo modo

Asintoto verticale

Si ha un asintoto vericale quando, all'avvicinarsi della x ad un valore finito, il valore della y cresce all'infinito
Poiche' il valore infinito e' solo una convenzione ne deriva che la funzione avra' valore infinito dove la x non e' definita, cioe' per valori non appartenenti al campo di esistenza
Quindi per trovare gli asintoti verticali dovremo trovare quei valori della x per cui la funzione vale infinito, cioe' supponendo che nel punto x = c la funzione non sia definita dovremo calcolare:
limx->c f(x) =
se il risultato vale   allora la retta
x = c   sara' l'asintoto verticale

E' bene al fine di calcolare esattamente come la funzione sparisce all'infinito calcolare sia il limite destro che il limite sinistro per trovare il segno dell'infinito a destra e a sinistra dell'asintoto

ricordati del teorema della permanenza del segno che ti permette di assegnare all'infinito (anche se non esiste) un segno positivo o negativo

I quattro casi possibili sono rappresentati qui sotto:

limx->c- f(x) = +
limx->c+ f(x) = +

limx->c- f(x) = -
limx->c+ f(x) = -

limx->c- f(x) = +
limx->c+ f(x) = -

limx->c- f(x) = -
limx->c+ f(x) = +

Facciamo un esercizio semplicissimo: vediamo se la funzione
         3x
y = -------
       x - 1
ha asintoti verticali
il campo di esistenza e' tutti i valori eccetto x = 1 per cui si annulla il denominatore
calcolo:
              3x
limx->1 -------- = 3/0 =
             x - 1
quindi la retta
x = 1
e' un asintoto verticale
Per tracciarlo al meglio calcoliamo i limiti destro e sinistro della funzione nel punto 1

  • limite sinistro:
                  3x
    limx->1- --------
                 x - 1
    per calcolare un limite di questo genere basta sostituire alla x un valore un pochino piu' piccolo di 1 (ad esempio 0,9 ) e fare il conto dei segni
      3·0,9
    ----------
    0,9 - 1
    il numeratore e' positivo mentre il denominatore e' negativo quindi l'espressione e' negativa cioe'
                  3x
    limx->1- -------- = -
                 x - 1
  • limite destro:
                  3x
    limx->1+ --------
                 x - 1
    per calcolare un limite di questo genere basta sostituire alla x un valore un pochino piu' grande di 1 (ad esempio 1,1 ) e fare il conto dei segni
      3·1,1
    ----------
    1,1 - 1
    il numeratore e' positivo ed anche il denominatore e' positivo quindi l'espressione e' positiva cioe'
                  3x
    limx->1+ -------- = +
                 x - 1
    quindi il risultato e' quello della figura qui sotto


limx->1- f(x) = -
      limx->1+ f(x) = +




Asintoto orizzontale

Si ha un asintoto orizzontale quando, al crescere della x la y si avvicina ad un valore ben determinato.
in pratica c'e' l'asintoto se
limx-> f(x) = numero
e l'asintoto sara' la retta orizzontale
y = numero


e' inoltre possibile calcolare se rispetto all'asintoto la funzione si trovi sopra o sotto sostituendo al numero dell'asintoto un numero piu' piccolo o piu' grande e vedendo se l'orizzontale relativa taglia o no la funzione, ma io penso che cio' sia inutile, in quanto in uno studio completo di funzione si hanno parecchi altri dati da cui ricavare se la funzione si avvicina all'asintoto da sopra o da sotto


Facciamo anche qui un esercizio molto semplice: calcoliamo, se esiste, l'asintoto orizzontale per la funzione:
         3x
y = -------
       x - 1
in pratica devo calcolarne il limite per x tendente ad infinito
              3x
limx-> -------- = / = 3
             x - 1


Infatti numeratore e denominatore hanno lo stesso grado ed il rapporto fra le x di grado maggiore e' 3.
se non hai capito bene come ho fatto ridai un'occhiata alle forme indeterminate
oppure puoi calcolare la derivata sopra e sotto e rifare il limite come abbiamo visto nelle applicazioni sulle derivate


quindi la retta
y = 3
sara' l'asintoto orizzontale
la funzione e' la stessa che abbiamo usato per l'asintoto verticale e con i dati che ho posso cominciare ad abbozzarne un eventuale grafico (per tracciarlo effettivamente mi mancano ancora parecchi dati):

Asintoto obliquo

Si ha un asintoto obliquo quando la funzione, andando verso infinito si avvicina ad una retta obliqua


C'e' da dire subito che l'asintoto obliquo non esiste sempre perche' una funzione andando all'infinito potrebbe avvicinarsi all'orizzontale oppure crescere avvicinandosi ad una parabola o ad una cubica..... Questo pero' esula da questo corso


Vediamo quali sono le condizioni perche' una funzione ammetta asintoto obliquo della forma
y = mx + q
Prima di tutto bisogna dire che la funzione deve tendere all'infinito:
limx-> f(x) =
poi devono esistere m e q, cioe' devono esistere finiti i due limiti

  • limx-> f(x)/x = m
  • limx-> (f(x) - mx) = q

Ti consiglio di dare un'occhiata alla dimostrazione


facciamo anche qui un semplice esercizio:
trovare l'asintoto obliquo per la funzione
      3x2 - 1
y = ----------
         x
si ha subito
              3x2 - 1
limx-> ------------- =
                x


Infatti il numeratore ha grado superiore al denominatore.
se non hai capito bene come ho fatto ridai un'occhiata alle forme indeterminate
oppure puoi calcolare la derivata sopra e sotto e rifare il limite come abbiamo visto nelle applicazioni sulle derivate

ora vado a calcolare (se esistono) m e q
Dividere una funzione per x vuol dire moltiplicarne il denominatore per x quindi:
                    3x2 - 1
m = limx-> ---------- = 3
                        x2
quindi m = 3
calcolo q
                    3x2 - 1
q = limx-> ---------- - 3x = x


                  3x2 - 1 - 3x2
= limx-> ----------------- =
                             x

                  1
= limx-> ----- = 0
                  x

quindi q = 0
l'asintoto e' la retta
y = 3x








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